合情推理與演繹推理題型整理總結(jié)講解

題型一用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1：通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。；；；.解析：猜想：證明：左邊===右邊注；注意觀察四個(gè)式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性,（2）觀察角的“共性”（1）先猜后證是一種常見(jiàn)題型（2）歸納推理的一些常見(jiàn)形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性）題型二用類(lèi)比推理猜想新的命題例2：已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類(lèi)似的結(jié)論是______.解析：原問(wèn)題的解法為等面積法，即，類(lèi)比問(wèn)題的解法應(yīng)為等體積法，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高注：（1）不僅要注意形式的類(lèi)比，還要注意方法的類(lèi)比（2）類(lèi)比推理常見(jiàn)的情形有：平面向空間類(lèi)比；低維向高維類(lèi)比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類(lèi)比；圓錐曲線間的類(lèi)比等（3）在平面和空間的類(lèi)比中，三角形對(duì)應(yīng)三棱錐（即四面體），長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)面積；面積對(duì)應(yīng)體積；點(diǎn)對(duì)應(yīng)線；線對(duì)應(yīng)面；圓對(duì)應(yīng)球；梯形對(duì)應(yīng)棱臺(tái)等。（4）找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等題型三利用“三段論”進(jìn)行推理例3某校對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了五個(gè)方面的多元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式樣來(lái)計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高則評(píng)價(jià)效果越好，若某班在自測(cè)過(guò)程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出，則下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1個(gè)單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為．（填入中的某個(gè)字母）解析：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時(shí)，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時(shí)，S的值增長(zhǎng)越多，，所以c增大1個(gè)單位會(huì)使得S的值增加最多注：從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律；此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過(guò)思考才能得到1.下列說(shuō)法正確的是（）A.類(lèi)比推理是由特殊到一般的推理B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個(gè)別到一般的推理D.合情推理可以作為證明的步驟答案：C3.已知，考察下列式子：；；.我們可以歸納出，對(duì)也成立的類(lèi)似不等式為答案：4.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為．類(lèi)比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為．[解析]解法的類(lèi)比（特殊化）易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為5.已知的三邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為（用），則；類(lèi)比這一結(jié)論有：若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐體積[解析]6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；則類(lèi)似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_(kāi)_______________,球心在的球的一般方程為_(kāi)______________________.答案；；7.（1）已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．類(lèi)比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；（2）已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為_(kāi)___________．答案：（1）在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；（2）；8.對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為答案：(2014全國(guó)I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一個(gè)城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為.1、小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。小王說(shuō)：“我肯定考上重點(diǎn)大學(xué)?！毙⒄f(shuō)：“重點(diǎn)大學(xué)我是考不上了?！毙堈f(shuō)：“要是不論重點(diǎn)不重點(diǎn)，我考上肯定沒(méi)問(wèn)題?！卑l(fā)榜結(jié)果表明，三人中考取重點(diǎn)大學(xué)、一般大學(xué)和沒(méi)考上大學(xué)的各有一個(gè)，并且他們?nèi)齻€(gè)人的預(yù)言只有一個(gè)人是對(duì)的，另外兩個(gè)人的預(yù)言都同事實(shí)恰好相反。可見(jiàn)：（）（A）小王沒(méi)考上，小劉考上一般大學(xué)，小張考上重點(diǎn)大學(xué)（B）小王考上一般大學(xué)，小劉沒(méi)考上，小張考上重點(diǎn)大學(xué)（C）小王沒(méi)考上，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張考上一般大學(xué)（D）小王考上一般大學(xué)，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張沒(méi)考上3、給出下列三個(gè)命題：①若；②若正整數(shù)滿足，則；③設(shè)上任意一點(diǎn)，圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時(shí)，圓相切。其中假命題的個(gè)數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）3二、填空題4、設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為.一、選擇題（1）由推理知識(shí)，可知應(yīng)選（C）（3）由不等式的基本性質(zhì)以及圓方程的性質(zhì)，可知應(yīng)選（B）二、填空題（4）分析此題利用類(lèi)比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的倒序相加法，觀察每一個(gè)因式的特點(diǎn)，嘗試著計(jì)算：，，，發(fā)現(xiàn)正好是一個(gè)定值，，.【典型例題】例1：（1）迄今為止，人類(lèi)已借助“網(wǎng)格計(jì)算”技術(shù)找到了630萬(wàn)位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個(gè)質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列41，43，47，53，61，71，83，97的一個(gè)通項(xiàng)公式，并根據(jù)通項(xiàng)公式得出數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。小王欣喜萬(wàn)分，但小王按得出的通項(xiàng)公式，再往后寫(xiě)幾個(gè)數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫(xiě)出不是質(zhì)數(shù)的一個(gè)數(shù)是（） A．1643 B．1679 C．1681 D．1697答案：C。解析：觀察可知：累加可得：，驗(yàn)證可知1681符合此式，且41×41=1681。（2）下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類(lèi)比推理：①?gòu)?fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則；②由向量a的性質(zhì)|a|2=a2類(lèi)比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；③方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的條件是可以類(lèi)比得到：方程有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條件是；④由向量加法的幾何意義可以類(lèi)比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.其中類(lèi)比錯(cuò)誤的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案：D。解析：由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知。（3）定義的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.B.C.D.答案：B。例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，則△ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫(xiě)出相類(lèi)似的結(jié)論。答案：本題是“由平面向空間類(lèi)比”。考慮到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體來(lái)考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是。例4：請(qǐng)你把不等式“若是正實(shí)數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案：推廣的結(jié)論：若都是正數(shù)，證明：∵都是正數(shù)∴，………，，【課內(nèi)練習(xí)】1．給定集合A、B，定義，若A={4,5,6},B={1,2,3},則集合中的所有元素之和為（）A.15B.14C.27D.-14答案：A。解析：，1+2+3+4+5＝15。2．觀察式子：，…，則可歸納出式子為（）A、B、C、D、答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ〢.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。4．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個(gè)三角數(shù)與第28個(gè)三角數(shù)的差為。答案：59。解析：記這一系列三角數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則由歸納猜測(cè)，兩式相加得?；蛴?，猜測(cè)。5．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類(lèi)比上述結(jié)論，寫(xiě)出正項(xiàng)等比數(shù)列，若=，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.答案：。6．“AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是。答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分。7．在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶,第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形,第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形,第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形,第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形,以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_______________顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為_(kāi)_______________顆.(結(jié)果用表示)圖1圖1圖2圖3圖4答案：66,。解析：利用歸納推理知。8．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN，如果用表示三個(gè)側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類(lèi)比得到的結(jié)論是.答案：。9．已知橢圓C：具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明。答案：本題明確要求進(jìn)行“性質(zhì)類(lèi)比”。類(lèi)似的性質(zhì)：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。證明如下：設(shè)，其中設(shè)，由，得將代入得。10．觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，回答下列問(wèn)題：（Ⅰ）求第六行的第一個(gè)數(shù)．（Ⅱ）求第20行的第一個(gè)數(shù)．（Ⅲ）求第20行的所有數(shù)的和．答案：（Ⅰ）第六行的第一個(gè)數(shù)為31 （Ⅱ）∵第行的最后一個(gè)數(shù)是，第行共有個(gè)數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)是∴ ∴ ∴第20行的第一個(gè)數(shù)為3（Ⅲ）第20行構(gòu)成首項(xiàng)為381，公差為2的等差數(shù)列，且有20個(gè)數(shù)設(shè)第20行的所有數(shù)的和為則 【作業(yè)本】A組1．在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項(xiàng)為 （）A．25 B．6 C．7 D．8答案：C。解析：對(duì)于中，當(dāng)n＝６時(shí)，有所以第２５項(xiàng)是７。OxABFy2．如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”.類(lèi)比“黃金橢圓”,可推算出”O(jiān)xABFyA.B.C.D.答案：A。解析：猜想出“黃金雙曲線”的離心率等于.事實(shí)上對(duì)直角△應(yīng)用勾股定理,得,即有,注意到,,變形得.3．下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是（）A、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180°B、由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)C、某校高三共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測(cè)各班都超過(guò)50人D、在數(shù)列中，，由此推出的通項(xiàng)公式答案：A。解析：B是類(lèi)比推理，C、D是歸納推理。4．由①正方形的對(duì)角線相等；②平行四邊形的對(duì)角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是。答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論。5．公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則有也成等比數(shù)列，且公比為；類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項(xiàng)和，則數(shù)列也成等差數(shù)列,且公差為。答案：，，；300。解析：采用解法類(lèi)比。6．二十世紀(jì)六十年代，日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它，如果是奇數(shù)，則將它乘以3后再加1，反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算，必然會(huì)得到什么結(jié)果，試考查幾個(gè)數(shù)并給出猜想。答案：取自然數(shù)6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其過(guò)程簡(jiǎn)記為6→3→10→5→16→8→4→2→1。取自然數(shù)7，則有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。取自然數(shù)100，則100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。歸納猜想：這樣反復(fù)運(yùn)算，必然會(huì)得到1。7．圓的垂徑定理有一個(gè)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，這一性質(zhì)能推廣到橢圓嗎？設(shè)AB是橢圓的任一弦，M是AB的中點(diǎn)，設(shè)OM與AB的斜率都存在，并設(shè)為KOM、KAB，則KOM與KAB之間有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論。答案：KOM·KAB=。證明：設(shè)，則=0∵即KOM·KAB=，而，即KOM·KAB≠－1∴OM與AB不垂直，即不能推廣到橢圓中。B組1．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對(duì)應(yīng)密文,例如,明文對(duì)應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時(shí),則解密得到的明文為（）A．B．C．D．答案：C。解析：本題考查閱讀獲取信息能力,實(shí)則為解方程組，解得，即解密得到的明文為。2．平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成塊區(qū)域，有，則的表達(dá)式為（）A、B、C、D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3．設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為（）A、B、2C、3D、4答案：C。解析：。4．考察下列一組不等式：.將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是___________________. 答案：（或?yàn)檎麛?shù)）。解析：填以及是否注明字母的取值符號(hào)和關(guān)系，也行。5．如下圖，第（1）個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來(lái)，第（2）個(gè)多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，……如此類(lèi)推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為，則；＝.答案：42；。6．指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5與2可以比較大?。唬?）直線。答案：（1）大前提是實(shí)數(shù)可以比較大小，小前提是5與是實(shí)數(shù)。（2）大前提是平行于同一條直線的兩直線互相平行，小前提是。7．已知函數(shù)，對(duì)任意的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，且，求的值。答案：∵當(dāng)，由，從而可得：=8．已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫(xiě)出a1,a2,a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)證明所得的結(jié)論。答案：(1)a1＝,a2＝,a3＝,猜測(cè)an＝2－(2)①由（1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即ak＝2－,當(dāng)n＝k＋1時(shí),a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－,ak＋1＝2－,即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立.根據(jù)①②得n∈N+,an＝2－都成立一、填空題1.如下圖，對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是___________，若的“分裂”中最小的數(shù)是211，則的值為_(kāi)__________.2.下面給出三個(gè)類(lèi)比推理命題（其中為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集）；①類(lèi)比推出②類(lèi)比推出,若③類(lèi)比推出其中類(lèi)比結(jié)論正確的序號(hào)是_____________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）3.已知，則中共有項(xiàng)．4.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是______________.二、選擇題5.“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電，”此推理類(lèi)型屬于A．演繹推理B．類(lèi)比推理C．合情推理D．歸納推理6.用三段論推理命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以＞0”，你認(rèn)為這個(gè)推理（）A．大前題錯(cuò)誤B．小前題錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．是正確的7.已知扇形的弧長(zhǎng)為，所在圓的半徑為，類(lèi)比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可類(lèi)比8.下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為類(lèi)比對(duì)象較為合適的是（）Ａ．三角