2022年高考數(shù)學(xué)痛點(diǎn)問題訓(xùn)練《12 三角形的心的千萬應(yīng)用》（解析版）

專題12三角形的心的千萬應(yīng)用

【基本知識(shí)】

名稱定義性質(zhì)

重心三角形各邊的中線的交點(diǎn)重心為任意三角形的中線的三分點(diǎn)

外心三角形各邊的中垂線的交點(diǎn)外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，外接圓的半徑

內(nèi)心三角形各邊的角分線的交點(diǎn)內(nèi)心到各邊的距離相等，內(nèi)切圓的半徑

垂心三角形各邊的垂線的交點(diǎn)垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)應(yīng)的邊垂直，即為高

1.重心G的性質(zhì)：（1）重心G是中線的三等分點(diǎn)；（2）GA+GB+GC^Q；

⑶若4%,y）、8（々,>2）、C5，％），則6%+2+/,凹+.'：+-

2.等腰三角形中頂角角平分線、底邊中線、底邊高線三線合一。等邊三角形四心合一。

3.射影定理：a-hcosC+ccosB

b=acosC+ccosA

c—acosB+bcosA

4.角平分線定理：A￡>為AA3C的角平分線，則

ABBD

~AC~~CD

一、求三角形的外接圓的半徑

1、直角三角形

（1）如果三角形是直角三角形，那么它的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊.

（2）如果三角形一個(gè)邊的中點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，那么這個(gè)三角形為直接三角形；

2.等邊三角形，其外接圓的圓心就是其中心（重心，垂心，內(nèi)心），設(shè)等邊三角形的變成為a,則其中線上

為；重心到底邊的距離為：三角形的面積為：。

3.任意三角形的外接圓半徑，通過正弦定理求解.

二'求三角形的內(nèi)切圓的半徑

1、直角三角形:AABC外接圓。。的半徑為空譬.

2

2.一般三角形:利用等面積，已知三邊的長(zhǎng)度利用公式Js(s-a)(s-b)(s-c)(其中$=彗上)可求面積

112S

已知邊和夾角一a方sin8=—c周長(zhǎng)r=r=——1

22C周長(zhǎng)

三.直角三角形中的結(jié)論：

(1)兩銳角互余，即A+B=90°。

(2)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半。

(3)勾股定理：a2+Z>2=c2.

(4)斜邊上的中線等于斜邊的一半，外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，垂心為直角頂點(diǎn)。

(5)如圖可得：RtMBCsRtMCDsRtMJBD

(6)由(2)可得直角三角形中的射影定理：

AC2=ADABBC2=BDBACD2=DA-DB

四.平面向量與三角形的心

1.重心(barycenter)三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比

為2：la

若G為A48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^GA+GB+GC=O

oG是三角形的重心，

證明：設(shè)80中點(diǎn)為。，則2劭=麗+覺

GA+GB+GC=O<^-GA=GB+GC

:.-GA^2GD,

這表明，G在中線A0上，

同理可得G在中線BE,CF上

故G為AA3C的重心

結(jié)論2：

若P為A48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則=；（PA+P4+PC）,

<=>G是A4BC的重心

證明:而=；（陽+而+定）=（丐一百）+（所-而）+（所—正）=6

<^GA+GB+GC=6

oG是A43C的重心

2、垂心（orlhocenter）三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

結(jié)論3：

若H為A46C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則瓦1麗=麗?阮=近.麗

o"是AABC的垂心

證明:加?“月=〃從從（兩一"。）=0

oHBAC^OoHBlAC

同理，有HALCB,HC上AB

故”為三角形垂心。

A

結(jié)論4：

若H為AA8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則不始+BC=HB+AC^HC'+AB,

0H是AABCfi勺垂心

證明：由而2+BC2=HB2+CA2^,HA2+(HB-HC)2^HB2+(HC-HA)2

<^HBHC=HCHA

同理可證得，雨HB^HBHC^HCHA

由結(jié)論3可知命題成立

3、外心(circumcenter)

三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)。用這個(gè)點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。

結(jié)論5：

若。是A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則|方卜\0B\=\0C\o。是A4BC的外心

證明：由外心定義可知命題成立

結(jié)論6：

若。是AA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則

COA+OB）BA^（OB+OC）CB^（OC+OA）AC<^。是AABEj外心

證明:?.?（方+麗?麗=（方+OBXOA-麗）=|研-阿

----?.?I?|2?——*|2...I?]2I——*|2

：.（OB+OC）CB^\OB\-|OC|,（OC+OA）-AC^\OC\-\OA\

故同2T的2T函2—函2=函2T礴

n網(wǎng)=|函=函

故。為澳8球外心

A

4、內(nèi)心（incenter）三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓的圓心。

結(jié)論7：

若P為A48C所在平面一點(diǎn)，則

OP是兒46。勺內(nèi)心

證明：記通，恁方向上的單位向量分別為不,

/____\

-?—?ABAC—__

OP—OA+4〔?網(wǎng)“+卜1支=AP=4（G+?2）

由平行四邊形法則知,（1+豢）在AB,AC邊夾角平分線上

即P在N4平分線上同理可得，P在NB,N。的平分線上故P為AABC的內(nèi)心

結(jié)論8：

若P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則a西+人而+c定=。

oP是A4B球內(nèi)心

證明：不妨設(shè)麗=4斤

aPA+bPB+cPC^Q^a(PD+DA)+h(PD+DB)+cPC^O

=>(Aa+4。+c)PC+(aDA+bDB)=6

由于定與方，而不共線，則

4a+4b+c=0,aDA+bDB=6

DAb

即==g由角平分線定理，CO是NAC加勺平分線

DBa

同理可得其他的兩條也是平分線

故P是A4BC的內(nèi)心

五.立體幾何中的三角形的心

1.三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影

條件結(jié)論（頂點(diǎn)在底面的射影）

三棱錐的三條側(cè)棱相等外心

三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直垂心

三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等（線面角）外心

三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面所成二面角相等（二面角）內(nèi)心

三棱錐的側(cè)棱與底面三角形同交點(diǎn)的邊所成角相等（線線角）射影落在對(duì)應(yīng)角的角分線上

2.正四面體與球

如圖,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為民取AB的中點(diǎn)O,連接CASE為正四面體的

高,在截面三角形SDC內(nèi)作一個(gè)與邊SROC相切，圓心在高SE上的圓。.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性,內(nèi)切球

和外接球的球心同為。.此時(shí),CO=OS=R,OE=r,又SE=J，,CE=*z,則有R+r=l|a,R2-戶=|CE|2■，解得

DV6y/6

R二——a,r-——a

412

3.正方體與球

（1）正方體的內(nèi)切球:截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，則

|OJ|=r=出r為內(nèi)切球半徑）.

（2）與正方體各棱相切的球:截面圖為正方形EFHG的外接圓，則|GO|=R=wa.

叵

⑶正方體的外接球:截面圖為正方形ACCA的外接圓，則|A[O|=R'=3a

4.三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球

（1）若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的

外接球的球心.即三棱錐Ai-ABiDi的外接球的球心和正方體ABCD-A\B\C\D\的外接球的球心重合.如圖，設(shè)

M=a，則R與i.

（2）若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等,則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球的球心就是三棱錐的

外接球的球，心.尺2=必”《=。（/為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)）.

44

【基本技能】

八個(gè)有趣模型—搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）

方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(27?)2=〃+匕2+C2,即2/?="2+從+,2,求出火

例1(1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是()

A.16萬B.20〃C.24%D.32"

解：V=a2h=16.a-2,47?2=cr+cr+hr=4+4+16=24,S=24〃，選C；

引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直。證明如下：

如圖(3)-1,取AB,BC的中點(diǎn)￡>,E,連接AE,CD，AE,CD交于H,連接S”，則H是底面正三角

形ABC的中心，.?.平面ABC,二

vAC^BC,..CDLAB,二A3,平面SO,

ABVSC,同理：BC1SA,AC1SB,即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，

本題圖如圖（3）-2,?/AM1MN.SB//MN,

AMA.SB,vACLSB.SB1平面S4C,

SBISA,SB工SC,-：SBISA,BC1SA,

SA,平面SBC,SALSC,

故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直。

（4）在四面體S-ABC中，SAL平面ABC,N84C=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球

的表面積為（D）Albr及7萬C.W乃D.—7T

33

（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是

（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何

體外接球的體積為

解析：(4)在AABC中，BC2=AC2+AB2-2ABBCCOS120U=7.

BC_77_2V7

BC=EAABC的外接球直徑為2r

sinABACV3V3

2

箸2+4號(hào)S當(dāng)，選D

（5）三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c（a,b,c&R+）,則

ab-\2

<bc=8?abc-24>a-3)b-4<c=2,(27?):=a2+b2+c2=29>S-4^/?2—29TT)

ac-6

類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）

1.題設(shè)：如圖5,平面ABC

圖5

解題步驟:

第一步：將A43c畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直

徑A。，連接PZ),則必過球心。；

第二步：q為A4BC的外心，所以。。,平面ABC,算出小圓。的半

徑=「(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得

—==—^=2r),Oq」PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①RR。=+(2月202H=+0r門:

②R?=r2+OO,2oR=M+OO：

2.題設(shè)：如圖6,7,8,P的射影是AABC的外心o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等o

三棱錐P—ABC的底面AA8C在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)

第一步：確定球心。的位置，取AA3C的外心。廠則P,。,。三點(diǎn)共線；

第二步：先算出小圓Q的半徑AQ=「，再算出棱錐的高2。=力(也是圓錐的高);

第三步：勾股定理：Q42=0^2+0,02=>??2=(/z-/?)2+r2,解出R

方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。

例2一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C

16%

A.3〃B.2〃C.---D.以上都不對(duì)

3

解：選C,(V3-/?)2+l=/?2,3-2V3/?+/?2+l=l?2,4-2回=0,

R=《.S=4成216

一71

3

類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）

1.題設(shè)：如圖9-1,平面PAC_L平面A8C,且ABLBC（即AC為小圓的直徑）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑4c=2「；

第二步：在APAC中，可根據(jù)正弦定理一生=—2_=上-=2R，求出R

sinAsinBsinC

2.如圖9-2,平面尸AC,平面ABC,且（即AC為小圓的直徑）

222

OC=OtC+OtOoR2=r2+002oAC=2』R2-OQ2

3.如圖9-3,平面尸AC,平面ABC,且A3,5c（即AC為小圓的直徑），且P的射影是AA8C的外

心o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等o三棱P-ABC的底面A4BC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐

的頂點(diǎn)

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心。廠則P,。,Q三點(diǎn)共線;

第二步：先算出小圓01的半徑4Q=r,再算出棱錐的高P01="(也是圓錐的高);

第三步：勾股定理：OA2=0^2+0,02=>R2^(h-R)2+r2,解出H

4.如圖9-3,平面PAC_L平面ABC,且AB_L5C(即AC為小圓的直徑)，且PALAC,則

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2=PA2+(2r)2。2/?="投片+(2?2；

②R2=y+00：OR=dr2+OO；

例3(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2百，則該球的表面積為

(2)正四棱錐S-ABC。的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為近，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為—

解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4成2=49萬,

47r

(2)方法一：找球心的位置，易知廠=1,h=l,h=r,故球心在正方形的中心ABC。處，R=l,V=—

3

方法二:大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是ASAC的外接圓，此處特殊，R/ASAC的斜邊是球半徑，2R=2,

4萬

R=l,V=——

3

(3)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的求面上,AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球。的直徑,

且SC=2,則此棱錐的體積為()A

V2

A.V■~T

解:電.亞=也

333436

任意三角形)

第一步：確定球心。的位置，。|是AA3C的外心，則平面ABC；

第二步：算出小圓。?的半徑A。=r,00=344(A4=//也是圓柱的高)；

第三步：勾股定理：QI?=4勾2+002=：2=(g)2+產(chǎn)=R=J-+(g)2,解出R

例4(1)一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

9

且該六棱柱的體積為底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為

8

解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為。，正六棱柱的高為/?，底面外接圓的關(guān)徑為「，則。=,，

2

擊石U(6/1\23Acz3V3.9fT2/V32/1\21

底血枳為S—6(—)----,Vg—Sh------h--,h—\3,R—(---)+(一)—1,

4288822

47r

R=l,球的體積為V

3

(2)直三棱柱ABC—A4G的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若A6=AC=A4,=2,NB4C=120°,則此球

的表面積等于。

解：BC=2y/3,2r=-2岳“=4,r=2,R=45,S=20萬

sin1200

(3)已知AEAB所在的平面與矩形ABC。所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60°,則

多面體E-ABC。的外接球的表面積為。

E

解析：折疊型，法一："AB的外接圓半徑為八=石，00,=1,

_______C/lQO1Q

R=J1+3=2；法二：0,M=,r,=0,D=■——,R2=—I---=4,R=2,S=16%

222244

類型五、折疊模型

題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)

圖11

第一步：先畫出如圖所示的圖形，將ABCD畫在小圓上，找出ABCD和的外心M和”2；

第二步：過和"2分別作平面BCD和平面43。的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心。，連接OE,OC；

第三步：解△。七”1,算出所|,在火必。?！ǎ葜?，勾股定理：OH；+CH；=0C?

例5三棱錐P-4BC中，平面P4C_L平面ABC,△PAC和△ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐

P-ABC外接球的半徑為.

2421

解析：病=百’百02H

4=22=百’

2八rj22145J15

RD=0、H+r,——I——一，R=-----

3333

1H

法二：0#=73°'=iAH^l,

心從心心+^爐+西號(hào)，R=半

類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（A3=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；

第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為。，"c,AD=BC=x,AB=CD^y,AC=BD=z,列方程組,

a-+b2=x2

22

=y2n(2R)2=a2+b2+C2='+)+Z

c+〃“=z

圖12

補(bǔ)充：VA-BCD=abc-工abc義4='abc

63

第三步：根據(jù)墻角模型，2R7a2S+c2x-+y-+z-

例如，正四面體的外接球半徑可用此法。

例6（1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角

形（正四面體的截面）的面積是.

（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正

三棱錐的體積是（）

解：（1）截面為APCO-面積是收；

⑴題解答圖

(2)高〃=R=1,底面外接圓的半徑為R=l,直徑為2R=2,

設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，則2/?=—^=2,"5s3淮

sin6044

1/0

:燧他的體,收為1/=—5/?二衛(wèi)二

34

(3)在三棱錐A—BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐A—BCD外接球的表面

積為。一K

2

解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,仇c,則"+"2=9,

22222

/+02=4,c+a=16:.2(/+〃+。2)=9+4+16=29,2(a+&+c)=9+4+16=29,

,,,,29,2929

a"+b~+c2=—,4R-=—,S=—n

222

(4)如圖所示三棱錐A-38,其中AB=CO=5,AC=5O=6,AO=BC=7,則該三棱錐外接球的表

面積為.

解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,

2(。2+〃+。2)=25+36+49=110,a2+b2+c2=55,4々=55,5=55%

【55乃；對(duì)稱幾何體；放到長(zhǎng)方體中】

(5)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為正，則該正面體外接球的體積為

解析：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中，2R=6,

436g

R一冗------------7C,

咚"382

類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型

題設(shè)：ZAPB=ZACB=9Q°,求三棱錐P—ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)0,連接

OP,OC,則。4=0B=0C=0P=gAB,.?.。為三棱錐P-A3C外接球球心，然后在0CP中求出半

徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。

例7（1）在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角3-AC-。，則

四面體ABC。的外接球的體積為（）

125125125125

A.7tB.7tC.71D.71

12963

解：（1）2R=AC=5,/?=-,V=3成3=3乃?/,選C

23386

類型八、錐體的內(nèi)切球問題

1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P-A3C上正三棱錐，求其外接球的半徑。

圖14

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E”分別是兩個(gè)三角形的外心；

第二步：求DH=1BD,PO^PH-r,PD是側(cè)面A4BP的高；

3

°FPC）

第三步：由APOE相似于APOH,建立等式：—,解出r

DHPD

2.題設(shè)：如圖15,四棱錐尸-ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑

圖15

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；

第二步：求/H=PO^PH-r,Pf是側(cè)面APCD的高;

2

第三步：由APOG相似于改尸"，建立等式：—,解出

HFPF

3.題設(shè)：三棱錐P-A8C是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑

方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等

第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：VP_ABC=VO_ABC+VO_PAB++VO_PBC

^P-ABC=§^MBC.'+§SpAB,廠+§PAC.'+§SPBC,「=§BMBC+^APAB+PAC+^APBc),r

3Vp-ABC

第三步：解出，=

^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC

類型一在三角形中

1.設(shè)AABC的內(nèi)角為A，B,C,ADJ_3c于。.若AABC外接圓半徑等于AO,則sinB+sinC的最小

值是

A.0B.2C.y/3D.1

【答案】A

A￡)R1

【解析】在RtAACD中，由sinC=——，設(shè)圓的半徑為R,則AO=R,sinC=---------=-——，

b2RsinB2sinB

由sinB+sinC=sinB+—!—..2.、口=&,當(dāng)且僅當(dāng)241?3=1，即sinB=Y^時(shí)，取等號(hào)，故選：A.

2sinBV22

2.在ZXABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=2石，且

/c________3

2asinCcos5=osinA—人sinB+J/?sinC，點(diǎn)。滿足函+礪+優(yōu)=0，cosZCAO=-,則

28

△ABC的面積為（）

A.半B.375C.572D.V55

【答案】D

J5

【解析】由2。sinCeosB=asinA-Osin8+——OsinC，

2

可得2acx土上土=°2一/+@從，鄴c=J.又c=2布,所以b=4.

2ac22

因?yàn)槲?礪+元=0，所以點(diǎn)。為△ABC的重心,

所以通+/=3而，所以通=3而一部，

兩邊平方得廊『=9］而『一6|叫|狗cosNCA。+|/F

3

因?yàn)閏osNC4O=2所以再『=9|而『-6|AO||ACx-+AC\2,

8

于是9|布「一9畫卜4=0,所以畫卜1,

△AOC的面積為;x[而岡羽xsinNC4O=gx3x4x

因?yàn)閆VIBC的面積是△AOC面積的3倍.故ZVIBC的面積為病.

3.已知AABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別是“，b,c,且d+/—cZMacosB+^cosAbHc,

若AABC的外接圓半徑為2叵，則AABC的周長(zhǎng)的取值范圍為（）

3

A.（2,4]B.（4,6]C.（4,6）D.（2,6]

【答案】B

【解析】

因?yàn)椋?+尸一＜?）?（acosB+Z?cosA）=abc,所以2abeosCsinAcosB+sinBeosA^=absinC,

2cosc?sin(A+8)=si/C,2cosc=1,C=^,c=2x~~~xs^n

2122aa+

因U七c?=cr+b-labcosC=a+b-ab=^a+b^-3ab>(<a+b^-?>>S—^~=^^

（"+'）'2?,。+人44，因?yàn)椤?人＞。=2,所以。+8+。€（4,6],選B.

4—

類型二在平面向量中

1.在ZVLBC中，他=3,AC=5，點(diǎn)N滿足麗=2配，點(diǎn)。為AABC的外心，則麗.亞的值為（）

1759

A.17B.10C.—D.—

26

【答案】D

【解析】取AB的中點(diǎn)E，連接0E,

A

C

因?yàn)?。為A4BC的外心，0EJ.A8,.?.布?赤=0,?麗=2祝,.?.BM=§近，

________2____7____1__2__

：.AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

.?.衣.麗=6而+前)麗=:|砌2=：,

______1_____.25

同理可得4O,AC=—|AC『二一，

22

―.—.(1—.2—一?1---.2—?—?1922559

AN-AO=\-AB+-AC?A0=-AO+—AC-AO=—x'+—x三=二故選：D.

U3J3332326

2.已知點(diǎn)G是AABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足GZ+G豆+6心=6，若NBAC=。，AB?AC=1-則所（的最小值是

（）

y/3

、?RD.^2C.DU."

3---------------2----------------3----------------2

【答案】A

【解析】因?yàn)镚X+而+GC=。，所以G是AABC重:心，因此A5=AB+AC

從而碼舉那=1VAB2+AC2+2AB?—>1J口口+

坤ABT拉髭

R吟，選A.（當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|時(shí)取等號(hào)）

3.已知AABC的邊AB，AC的長(zhǎng)分別為20,18,N84C=120。，則AABC的角平分線AO的長(zhǎng)為（)

A常9018090

B.—C.---D.一V3

191919

【答案】C

【解析】

如圖，因?yàn)锳。是AABC的角平分線,

BDAB2010寸,、，亦f罰不

所以---=----=—=—,所以A,D=AB+BD—A.BH---BC

DCAC18919

=AB+—(AC-AB\=-AB+-AC,^AD=-AB+-AC.

19v)19191919

2

兩邊平方得而2=-L81X202+100X182+2X10X9X18X20X180

19

所以AO=|而卜產(chǎn)，故選C.

4.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為2月的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)〃為圓上任意一點(diǎn),

麗=》麗+），而（x,yeR）,則2x+y的最大值為（）

A

A.V2B.y/3c.2D.2^2

【答案】C

【解析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以(0,1)為圓心，1為半徑的圓：

根據(jù)三角形面積公式得到工x鼠長(zhǎng)xr=S=工xA3xACxsin60°,

22

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：3bG,0),C(G,0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sine)

的=(cos6+G,l+sine),麗=(33),而=(G,0)

故得到BM=(cos0+V3,l+sin8)=(gx+Gy,3x)

故得到cos0=>/3x+V3y-百,sin。=3x—1

1+sin。

x=---------

3.cos0sin。42./八、4,八

9X—廠+—+—=—sin（e+°）+—<2.

cos。sin。23333

一

故最大值為：2.故答案為C.

5.已知R/AABC，AB=3,BC=4,CA=5,P為△ABC外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且而=》而+,

則x+y的最大值是()

545

A.-B.-C叵D.-

43'~6~3

【答案】B

【解析】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則AABC外接圓的方程為爐+/=(1)2,設(shè)尸的坐標(biāo)為(geosegsin9

4I?39

過點(diǎn)、B作BD垂直工軸，VsinA=—,AB=3BD—ABsinA——,AD—AB-cosA=—x3=—,

OD^AO-AD^-????珂c加

2I/，

,45=AC=（5,0）,=|—cos^+—sin^

（222

9129412

-cos6>+-,-sin^|=x+y（5,0）=—x+5y,—x

222J

5八525.八

??一COS夕H----x+5y,-sin^=—x,Ay=-cos^--sin^+-,x=—sing,

22525-28224

1215/134

x+y=—cos6+—sing+—=—sin（6+e）+—,其中sin/=一,cos9=—

232625

當(dāng)sin（e+0）=l時(shí)，x+y有最大值，最大值為之+，=&,

623

故選：B.

類型三在解析幾何中的應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離

是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.己知AABC的頂點(diǎn)A(4,0),B(0,2),

且AC=3C,則AA6C的歐拉線方程為()

A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0C,x-2y-3=0D.2x-y-3=0

【答案】D

【解析】因?yàn)锳C=3C，可得：A43C的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上

4(4,0),3(0,2),則A,8的中點(diǎn)為(2,1)

2-01

-5'所以A3的垂直平分線的方程為：y-l=2(x-2),即y=2x-3.故選：D

2.已知雙曲線3?-4=l(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B,P為雙曲線左支上一點(diǎn)，AABP為等腰

ab'

三角形且其外接圓的半徑為右4,則該雙曲線的離心率為()

A后RV15rV15nV15

5432

【答案】C

【解析】由題意知等腰AWP中，|AB|=|AH=2a,設(shè)NA3P=NAPB=8,則/片AP=2。，其中。必

為銳角????△ABP外接圓的半徑為6a，???2行。=當(dāng)，.,.sin6?=且，cos^=—.

sin655

..V5275_4Me,2也、2.3

,,sin2。=2x—x-----——,cos2。=2x(------)—1=—?

55555

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為O,y),5JiJx=-(a+|AP|cos26)==|AP|sin20=^f

故點(diǎn)p的坐標(biāo)為(一四,包).由點(diǎn)p在雙曲線上得(3)2(y)21整理得與=2,

55—^3--------73—=1a23

22

已知橢圓二+與=

3.1(a>h>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn)2,點(diǎn)尸為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意

a2b2

一點(diǎn)，/為bPF[F]的內(nèi)心，且S&[pF\=4sAy尸百—SRPF?,若橢圓的離心率為e,則4=()

12個(gè)

A.-B.-C.cD.2。

ee

【答案】A

【解析】設(shè)記內(nèi)切圓的半徑為r則554=]?|尸用，5根%=；廣|產(chǎn)用，5加的=；八|耳目?

I1I

SS

vhiPF,~AIPF2>：.-r-\PFl\=-r-\FlF2\--r-\PF2\

整理得/耳閭=|尸耳|+|尸閭二?尸為橢圓上的點(diǎn)，.?.42=勿,解得力=上故選:A

22

4.已知點(diǎn)尸為雙曲線鼻-斗=13>0,6>0)右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q,尸2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是△PFIF2

的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有SIPF-SIPF>—SIFF成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（）

A.（1,6）B.（1,272）

C.（1,2721D.（1,V21

【答案】A

【解析】設(shè)△*記的內(nèi)切圓的半徑為「，則“"G=；|PQr,S△帙=g|P段忻用

因?yàn)镾A呻—SA帙之力5所以附日尸瑪/寧山周，

由雙曲線的定義可知?dú)w周一歸周=2a,比用=2c,

所以受c，即又由e=￡>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是（1,J5],故選D.

2aa

r2丫2

5.雙曲線二―二>=13>0