期末專題02 平面圖形的認識（二）大題綜合-【備戰(zhàn)期末必刷真題】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試真題必刷滿分訓(xùn)練（江蘇專用）解析版

期末專題02平面圖形的認識（二）大題綜合（江蘇專用）一、解答題1．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）將下列證明過程補充完整：已知：如圖，點E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：．證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴（）．【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】證明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分線的性質(zhì)），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．2．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）下面是某同學(xué)的一次作業(yè)，請仔細閱讀并完成后面的問題：如圖，，∠A＝∠D．求證：．證明：①∵（已知）∴∠A＝∠AFC，∠D＝∠BED（）②∵∠A＝∠D（已知）∴∠AFC＝∠BED（等量代換）③∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）(1)請將推理①的數(shù)學(xué)理論依據(jù)補充完整，______；(2)該同學(xué)的推理過程有沒有錯誤？如有錯誤，請指出是推理幾，并寫出完整的證明過程．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等(2)有錯誤，是推理③，過程見解析【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)直接可得結(jié)果．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等（2）有錯誤，是推理③證明：∵（已知），∴∠A＝∠AFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠A＝∠D（已知），∴∠AFC＝∠D（等量代換），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查平行線，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，，，垂足分別為D，F(xiàn)，DM//BC，．求證：DM//FG．請將證明過程補充完整，并在括號內(nèi)填寫推理的依據(jù)．證明：∵（已知），∴（①________）．同理．∴（等量代換）．∴BD//EF（同位角相等，兩直線平行）．②________（③________）．又∵∠1=∠2（已知），∴④________（⑤________）．∴BC//FG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．又∵DM//BC（已知），∴DM//FG（⑥________）．【答案】①垂直的定義；②（）；③兩直線平行，同位角相等；④（）；⑤等量代換；⑥平行于同一條直線的兩條直線平行．【分析】應(yīng)用垂線的定義，平行線的判斷與性質(zhì)及平行公理進行判定即可得出答案，【詳解】證明：∵BD⊥AC（已知），∴∠BDC=90°（垂直的定義）．同理∠EFC=90°．∴∠BDC=∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠DBC=∠2（兩直線平行，同位角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DBC（等量代換）．∴BC∥FG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．又∵DM∥BC（已知），∴DM∥FG（平行同一條直線的兩條直線平行）．故答案為：垂直的定義；∠DBC=∠2；兩直線平行，同位角相等；∠1=∠DBC；等量代換；平行于同一條直線的兩條直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判斷與性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度．的頂點都在格點上，平移后得到，點C的對應(yīng)點是格點．(1)畫出；(2)連接、，則這兩條線段之間的關(guān)系是______；(3)利用網(wǎng)格畫出的中線，并求出的面積．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)見解析；的面積為5【分析】（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)三角形中線的定義作圖，然后用△ABC所在的長方形面積減去周圍三個三角形面積即可得到答案．（1）解：如圖，即為所求；（2）解：由平移的性質(zhì)可知，，故答案為：平行且相等；（3）解：如圖所示，AD即為所求；．【點睛】本題主要考查了平移作圖，平移的性質(zhì)，三角形面積，三角形的中線，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點D、E、F、G在△ABC的邊上，且，∠1＋∠2＝180°．(1)求證：；(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)84°【分析】（1）根據(jù)，可得∠2+∠3=180°，從而得到∠1=∠3，即可求證；（2）根據(jù)∠2＝138°，可得∠3=42°，從而得到∠ABC=84°，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴∠2+∠3=180°，∵∠1＋∠2＝180°．∴∠1=∠3，∴；（2）解：∵，∴∠2+∠3=180°，∵∠2＝138°，∴∠3=42°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=84°，∵，∴∠AGF=∠ABC=84°．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）證明三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于．已知：，求證：．(1)證明：如圖①，作邊的延長線，過點C作．所以____________（____________），____________（____________）．因為（____________），所以（等量代換）．(2)請利用圖②中給出一種不同于以上思路的證明方法，并寫出證明過程．【答案】(1)∠A；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠B；兩直線平行，同位角相等；平角的定義(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及平角的定義進行解答；（2）如圖，過點作，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和平角的定義進行證明．【詳解】（1）∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B（兩直線平行，同位角相等）．（平角的定義），（2）如圖，過點作．則：，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵（平角的定義），∴【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和180°的證明思路，將三角形的三個角轉(zhuǎn)化為一個平角，從而證明三角形的內(nèi)角和為180°．7．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B、C、D在一條直線上，．求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線性質(zhì)得出，然后結(jié)合即可得出，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：因為，所以，又因為，所以，因為，，所以【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇連云港·七年級校考期末）如圖，已知，直線與交于點，與交于點，射線和射線交于點．(1)若平分，平分，，則______；(2)若，，，則______；(3)將（2）中“”改為“”，其余條件不變，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)若將分成兩部分，也將分成兩部分，，則的度數(shù)=______________________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)進行計算即可；（4）分四種情況：①當，時；②當，時；③當，時；④當，時，進行討論，即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，即，，∴，∵平分，平分，，∴，，∴．故答案為：．（2）解：∵，，∴，∵，，，∴，，∴；故答案為：．（3）解：∵，，∴，∵，，，∴，，∴．（4）解：①當時，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；②當時，，∵將分成兩部分，即，∴射線和射線無交點；③當時，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；④當時，，∵，∵將分成兩部分，即，∴，∵，∴，解得：；綜上可得：的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在（4）中找出所有情況．三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．9．（2022春·江蘇淮安·七年級?？计谀┤鐖D，F(xiàn)N交HE、MD于點A、點C，過C作射線CG交HE于點B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．(1)求證：AB∥CD；(2)求∠ABG的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)135°【分析】（1）由對頂角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；（2）由平角的定義得到∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．（1）證明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，∴∠EAF＝∠FCD，∴AB∥CD；（2）解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，∴∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，由（1）知，AB∥CD，∴∠ABG＝∠BCD，∠ABG＝135°，故∠ABG的度數(shù)是135°．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇淮安·七年級?？计谀┤鐖D，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范圍；(2)若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)1＜CD＜9(2)80°【分析】（1）三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，據(jù)此可得CD的取值范圍；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠AEF的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠C的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴5?4＜CD＜5＋4，∴CD的取值范圍是：1＜CD＜9；（2）解：∵AE∥BD，∴∠AEF＝∠BDE＝130°，∵∠AEF是△ACE的外角，∴∠C＝∠AEF?∠A＝130°?50°＝80°．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．11．（2022春·江蘇蘇州·七年級?？计谀┤鐖D：在正方形網(wǎng)格中有一個格點三角形，（即的各頂點都在格點上），按要求進行下列作圖：(1)畫出中邊上的高；(2)畫出將先向左平移2格，再向上平移3格后的；(3)畫直線，將分成兩個面積相等的三角形．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）直接利用鈍角三角形高線作法得出答案；（2）利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（3）利用三角形中線平分其面積進而得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示：CD即為所求；（2）解：如圖所示：，即為所求；（3）解：如圖所示：三角形ABC三條中線AF、CE、BO所在直線，即為所求．【點睛】本題主要考查了平移變換以及基本作圖，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．(1)若∠C＝40°．①∠P的度數(shù)為；②如圖2，過點P作直線DE∥BC，交邊AB、AC于點D、E，則∠APE-∠BPD=°；(2)若∠C＝α°，小明將（1）中的直線DE繞點P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB，AC于點C，D，如圖3，試問在旋轉(zhuǎn)過程中∠APE-∠BPD的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不變，求出∠APE-∠BPD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由．【答案】(1)①∠P=110°；②70(2)∠APE﹣∠BPD的度數(shù)不變；90°﹣α【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）∠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．（1）解：①∵∠C=40°，∴∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠P=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-×140°=110°，故答案為：110°；②∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠ADP=∠DBP+∠DPB=2∠DPB，∴∠APE-∠BPD=∠BAP+∠ADP-∠DPB=∠BAP+∠ABP=（∠CAB+∠ABC）=×140°=70°，故答案為：70；（2）解：∠APE-∠BPD的度數(shù)不變，∵∠APE-∠BPD=∠ADP+∠DAP-∠BPD=∠ABP+∠BPD+∠DAP-∠BPD=∠ABC+∠BAC=（180°-α）=90°-α．∴∠APE-∠BPD的度數(shù)不變．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．13．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是的角平分線，在AB上取點D，使∠ADE＝2∠DBE．(1)求證：；(2)若∠A＝65°，∠AED＝55°，求∠EBC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE＝∠EBC，根據(jù)已知以及三角形的外角的性質(zhì)可得2∠DBE＝∠DBE＋∠DEB，即可得∠DBE＝∠DEB，等量代換可得∠DEB＝∠EBC，根據(jù)平行線的判定定理即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的角平分線即可求解．（1）解：∵BE是的角平分線，∴∠DBE＝∠EBC，∵∠ADE＝2∠DBE，∠ADE＝∠DBE＋∠DEB∴2∠DBE＝∠DBE＋∠DEB，∴∠DBE＝∠DEB∴∠DEB＝∠EBC，∴；（2）解：∵，∴∠C＝∠AED＝55°，在中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴．∵BE是的角平分線，∴．【點睛】本題考查了三角形角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇蘇州·七年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E，點F為AC延長線上的一點，連接DF．(1)求∠CBE的度數(shù)；(2)若∠F＝25°，求證：BEDF．(3)若BEDF，探究∠A、∠F有怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫答案，不用證明）【答案】(1)65°(2)見解析(3)∠A+∠F=45°【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=90°-∠A=50°，由鄰補角定義得出∠CBD=130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE=65°；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB=90°-65°=25°，再根據(jù)∠F=25°，即可得出BEDF．（3）由平行線的性質(zhì)得出∠F=∠BEA，再由三角形外角性質(zhì)和角平分線定義得∠DBE＝∠CBD=(∠A+∠ACB)=(∠A+90°)，∠DBE=∠A+∠BEA=∠A+∠F，則(∠A+90°)=∠A+∠F，即可得出結(jié)論．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠DBE＝∠CBD＝65°；（2）證明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DFBE．（3）解：∵BEDF，∴∠F=∠BEA，∵BE是∠CBD的平分線，∴∠ＤBE＝∠CBD=(∠A+∠ACB)=(∠A+90°)，∵∠DBE=∠A+∠BEA=∠A+∠F，∴(∠A+90°)=∠A+∠F，∴∠A+∠F=45°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，角平分線定義．掌握三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·江蘇蘇州·七年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)校考期末）已知△ABC中，BE平分∠ABC，點P在射線BE上．(1)如圖1，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度數(shù)；(2)若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直線CP與△ABC的一條邊垂直，求∠BPC的度數(shù)．【答案】(1)100°(2)70°或40°或110°【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：∠PCD=∠PBC+∠BPC=100+x，可得結(jié)論；（2）直線CP與△ABC的一條邊垂直，分三種情況：①當CP⊥BC時，②當CP⊥AC時，③當CP⊥AB時，根據(jù)三角內(nèi)角和列式可得結(jié)論．（1）解：設(shè)∠ABP＝x，則∠PBC＝∠ACP＝x，△ABC中，∠ACD＝∠A+∠ABC，∴x+∠PCD＝100°+2x，∴∠PCD＝100+x，△BCP中，∠PCD＝∠PBC+∠BPC，∴100+x＝x+∠BPC，∴∠BPC＝100°；（2）解：分三種情況：①當CP⊥BC時，如圖2，則∠BCP＝90°，∵∠PBC＝20°，∴∠BPC＝70°；②當CP⊥AC時，如圖3，則∠ACP＝90°，△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；③當CP⊥AB時，延長CP交直線AB于G，如圖4，則∠BGC＝90°，∵∠ABC＝40°，∴∠BCG＝50°，△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；綜上，∠BPC的度數(shù)為70°或40°或110°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是關(guān)鍵，是一道綜合運用三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)的好題．16．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠1＝∠BCE，∠2＋∠3＝180°．(1)判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若CA平分∠BCE，EF⊥AB于點F，∠1＝72°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)平行，理由見解析(2)54°【分析】（1）由，可得到直線與平行，可得到與間的關(guān)系，再由判斷與的位置關(guān)系；（2）由（1）的結(jié)論及垂直可得到的度數(shù)，再由平行線及角平分線的性質(zhì)得到的度數(shù)，利用角的和差的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．理由：，，．，．．（2）解：，平分，．，又．，于，．.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)及垂直的性質(zhì)，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定．17．（2022春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有三個論斷：①；②；③，請你從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，并證明該命題的正確性．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及對頂角相等進行證明．【詳解】已知：，求證：證明：如圖，∵又∴∴∴又∵∴∴∴【點睛】此題考查命題與定理問題，證明的一般步驟：寫出已知，求證，畫出圖形，再證明．18．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）在中，平分，垂足為F，與交于點D．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，在內(nèi)部作，求證：．【答案】(1)10°(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直的定義可求，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可求，進一步根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直的定義可求，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解．【詳解】（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵平分，∴．∵，∴．∵在中，，在中，，∴．又是的外角，∴又，∴．又∵，∴．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．19．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中每個小正方形邊長均為1，在方格紙內(nèi)將△ABC的點C平移至點C'得到△A'B'C'．(1)畫出△A'B'C'；(2)借助方格畫出AB邊上的中線CD和高CE；(3)四邊形ACC'A'的面積為_______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)23【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B的對應(yīng)點A′，B′即可；（2）根據(jù)三角形的中線，高線的定義畫出圖形即可；（3）四邊形ACC'A'的面積=2S△ACA′，利用割補法求解．【詳解】（1）解：如圖，△A′B′C′即為所求；（2）解：如（1）圖，線段CD，CE即為所求；（3）解：四邊形ACC'A'的面積=；故答案為：23【點睛】本題考查作圖-平移變換，三角形的中線，高線等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，學(xué)會利用割補法求三角形面積．20．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為個單位長度，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)畫出先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度所得的；(2)畫出的邊上的高；(3)找（要求各頂點在格點上，不與點重合），使其面積等于的面積．滿足這樣條件的點共______個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；（2）取格點連接交于點，線段即為所求；（3）利用等底等高的兩三角形面積相等即可求解．【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，線段即為所求；（3）如圖，滿足這樣條件的點共有個，故答案為：．【點睛】本題考查作圖-平移變換，三角形的高，線段的垂直平分線等知識，解題的關(guān)鍵是如何用相關(guān)知識在網(wǎng)格中找出關(guān)鍵的格點．21．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）推理填空：如圖，，，．將求的過程填寫完整．因為，（已知）所以______．（____________）又因為，（已知）所以______．（等量代換）所以______．（____________）所以______（____________）又因為，所以______．【答案】∠3；兩直線平行，同位角相等；∠3；DG；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠AGD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；110°．【分析】此題要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代換可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．【詳解】解：∵EF∥AD（已知）∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等）；∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換）；∴AB∥DG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴∠BAC+∠AGD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．故答案為∠3；兩直線平行，同位角相等；∠3；DG；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠AGD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；110°．【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．22．（2022春·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D①，∠1、∠2是四邊形ABCD的兩個不相鄰的外角．(1)猜想并說明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．請直接寫出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)133°(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說明與、的數(shù)量關(guān)系；（2）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，即可求的度數(shù)；（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線．進而可以寫出、與的的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想：，理由如下：，∴又，；（2）解：，，，又、分別平分與，，，，；（3）解：、分別是四邊形外角、的角平分線．，，由（1）可知：，，，．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，鄰補角互補，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是證明（1）中結(jié)論并應(yīng)用（1）中結(jié)論求解．23．（2022春·江蘇南京·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，點在上，，點在上，(1)若，求的度數(shù)．(2)當?shù)亩葦?shù)是______時，是直角三角形．【答案】(1)35°(2)90°或55°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和即可得；根據(jù)直角三角形兩個銳角互余可得，然后利用直角三角形定義即可得結(jié)論．【詳解】（1）∵DEAC，，，，，，；（2）當?shù)亩葦?shù)是或時，是直角三角形．理由如下：當?shù)亩葦?shù)是時，是直角三角形．當，時，是直角三角形．故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)定理．24．（2022春·江蘇南京·七年級?？计谀咎骄拷Y(jié)論】（1）如圖，，為形內(nèi)一點，連結(jié)、得到，則、、的關(guān)系是______（直接寫出結(jié)論，不需要證明）：【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問題：（2）如圖，，直線分別交、于點、，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點和，求證：．（3）如圖，已知，為上一點，，，若，的度數(shù)為整數(shù)，則的度數(shù)為______．【答案】（1）；（2）見解析；（3）42°或41°【分析】過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而可求解；由可知：，由角平分線的定義結(jié)合可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可證明結(jié)論；由知：，設(shè)，則，可求得，結(jié)合度數(shù)的取值范圍可求解的取值范圍，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：過點作，，，，，．，等量代換，故答案為：；證明：由可知：，平分，，，，，；由知：，設(shè)，則，，，，又，，解得，又是的外角，，的度數(shù)為整數(shù)，或，或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識的綜合運用，靈活運用平行線的性質(zhì)求解角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期末）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了，兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即，，為上兩點，平分交于點，為上一點，連接，平分交于點．(1)若，求的大??；(2)作交于點，且滿足，當時，試說明：；(3)在（1）問的條件下，探照燈、照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，探照燈射出的光線以每秒度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，光線轉(zhuǎn)至射線后立即以相同速度順時針回轉(zhuǎn)，若它們同時開始轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為秒，當光線回到出發(fā)時的位置時同時停止轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中，為何值時光線與光線互相平行或垂直，請直接寫出的值．【答案】(1)110°(2)見解析(3)t的值為5s或s或s或20s或s【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可解；（2）通過計算，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行判定即可；（3）分五種情況畫圖，列出關(guān)于的式子即可解答．【詳解】（1）解：∵，，，，，平分，，；（2）解:∵，，，，平分，，，，，，，，，，，∴；（3）解:，當時，則，如圖，∵，，，由題意，，，，；當時，則，如圖，∵，，，，，；當時，則，如圖，∵，，，，；當時，則，如圖，由題意，，，，∵，，，；當時，，如圖，，，，．綜上，的值為或或或或【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定定理有：同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，反之亦然．26．（2022春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）【概念認識】如圖①所示，在中，若，則，叫做的“三分線”，其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問題解決】(1)如圖②所示．在中．，．若的三分線交于點D．求的度數(shù)．(2)如圖③所示，在中．，分別是的鄰三分線和的鄰三分線，且．求的度數(shù)．【延伸推廣】(3)在中，是的外角，的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點P，若，．求出的度數(shù)．（用含m的式子表示）【答案】(1)或；(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)題意分是“鄰三分線”與是“鄰三分線”討論可求得的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解；（2）結(jié)合（1）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且，即可求的度數(shù)；（3）分2種情況進行畫圖計算：情況一：如圖，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，可得，可求解；情況二：如圖，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，可得可求解．情況三：如圖，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，可得，可求解；情況四：如圖，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，可得可求解．【詳解】（1）解：①當?shù)泥徣志€交于點，，，，，②當?shù)泥徣志€交于點時，，，，，故答案為：或；（2）解：在中，，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，；（3）解：如圖3-1所示，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，，，，，即，，，；如圖3-2所示，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，，，，，即，，，．如圖3-3所示，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，，，，，即，，，；如圖3-4所示，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，，，，，即，，，．綜上所述：的度數(shù)為：或或或．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角三等分線的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．27．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）【概念認識】在四邊形ABCD中，，如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點P，滿足，那么稱點P是四邊形ABCD的“映角點”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，，點P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點”．若DA//CP，DP//CB，則的度數(shù)為________°．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，點P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點”，延長CP交邊AB于點E．求證：．【綜合運用】（3）在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD的“映角點”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當DE和CF所在直線相交于點Q時，請直接寫出∠CQD與滿足的關(guān)系及對應(yīng)的取值范圍．【答案】（1）60；（2）證明見解析；（3）當時，；當時，．【分析】（1）根據(jù)題意可知∠A=∠B=∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，可以得到∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∠DPB是△ADP的外角，則∠DPC+∠CPB=2∠A，則∠DPC的度數(shù)可求；（2）四邊形ADPE中，∠ADP+∠AEP=180°，而∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP=∠CEB；（3）當時，當時，分別作出圖形，根據(jù)題意作出圖形都可以求出∠COD與α的關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)題意可知∠A=∠B=∠DPC，∵DA∥CP，∴∠DPC=∠ADP，∵DP∥CB，∴∠DPC=∠PCB，∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∵∠DPB是△ADP的外角，∴∠DPC+∠CPB=2∠A，∴∠A=∠CPB，∴∠B=∠CPB=∠PCB=60°，故答案為：60．（2）方法一：∵點P是四邊形ABCD的“映角點”∴，又，∴，在四邊形ABCD中，∴，又∴．方法二：如圖，過點P作分別交AD、BC于點F、G∵，∴，∵點P是四邊形ABCD的“映角點”∴．∴．在△DFP中，即∵，即∴∴．方法三：如圖③，延長DP交邊AB于F，∵點P是四邊形ABCD的“映角點”∴，∵，∴，在△ADF中，，在△PEF中，，∴∴（3）當時，；如圖，∠A=∠B=∠DPC=α，由（2）可知∠ADP=∠CGB，設(shè)∠ADP=∠CGB=x，∠DPC=y，當時，；如圖，∠A=∠B=∠DPC=α，由（2）可知，∠ADP=∠CEB，設(shè)∠ADP=∠CEB=x，∠DPE=y，∴∠ECQ=（180°-x-α），則α+y=180°，x+y+（180°-x-α）+∠Q=180°，∴∠Q=α-90°，∵α?90°＞0°，∴60°＜α＜180°，∴∠Q=α-90°（60°＜α＜180°）．當時，．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角與外角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形外角的性質(zhì)．28．（2022春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點E在四邊形ABCD的邊BC的延長線上，BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，設(shè)∠BAD＝α，∠ADC＝β．(1)如圖1，若α＋β＝180°，判斷BM、CN的位置關(guān)系，并說明理由：(2)如圖2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于點O．①當α＝70°，β＝150°時，則∠BOC＝_______；②∠BOC與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．(3)如圖3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延長線相交于點O，則∠BOC＝______．（用含α、β的代數(shù)式表示）．【答案】(1)BMCN，理由見解析(2)①20°；②，理由見解析(3)【分析】（1）由α+β=180°先判斷ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠ABC，再由角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）①根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；②根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；（3）根據(jù)α和β的度數(shù)，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．【詳解】（1）解：CNBM，理由如下：∵α+β=180°，∴ABCD，∴∠DCE=∠ABC，∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠CBM，∴CNBM；（2）解：①∵α=70°，β=150°，∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+140°-2y=180°，∴x-y=20°，∴∠BOC=20°．故答案為：20°；②∠BOC=，理由如下：∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分別是∠ABC、∠DCE的角平分線，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，設(shè)∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=；（3）解：∠BOC=，理由如下：∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分別是∠ABC、∠D