第20講 圓單元復(fù)習(xí)（原卷版）

第20講圓單元復(fù)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系；探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；

2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；

3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積；知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.

注意：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

注意：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）3．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

注意：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.知識(shí)點(diǎn)02與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

注意：

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí)，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.知識(shí)點(diǎn)03三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1．三角形的內(nèi)心、外心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

注意：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.

知識(shí)點(diǎn)04圓中有關(guān)計(jì)算1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

注意：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.能力拓展能力拓展考法01圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【典例1】如圖，在中，點(diǎn)B、O、C和點(diǎn)A、O、D分別在同一條直線上，則圖中有（）條弦．A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．考法02弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【典例3】如圖，在中，如果＝2，則下列關(guān)于弦AB與弦AC之間關(guān)系正確的是（

）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【即學(xué)即練】如圖，在⊙O中，，D、E分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)，連接OC，AC，BC，CD，CE，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA【典例4】如圖，是的直徑，于E，，，則為（

）A．17 B．30 C．34 D．36【即學(xué)即練】如圖，是的弦，半徑為，，則弦的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．考法03與圓有關(guān)的位置關(guān)系【典例5】已知的半徑為，點(diǎn)P到圓心O的距離為，則點(diǎn)P和的位置關(guān)系為（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定【即學(xué)即練】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A． B． C． D．．【典例6】已知的面積為，若點(diǎn)O到直線的距離為，則直線與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【即學(xué)即練】如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為3，5，直線l與大交于點(diǎn)A，B，若，則直線l與小的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定考法04圓中有關(guān)的計(jì)算【典例7】如圖，是的外接圓，，則的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．70° D．75°【即學(xué)即練】如圖，在中，半徑垂直弦于點(diǎn)D．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【典例8】若圓的半徑為9，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C． D．【即學(xué)即練】半徑為1的圓中，扇形的圓心角為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．考法05圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【典例9】如圖，與正方形的兩邊，相切，且與相切于點(diǎn)．若的半徑為4，且，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C． D．6【即學(xué)即練】已知過正方形頂點(diǎn)，，且與相切，若正方形邊長(zhǎng)為，則圓的半徑為（

）A． B． C． D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知⊙O中最長(zhǎng)的弦為8cm，則⊙O的半徑為()cm．A．2 B．4 C．8 D．162．圓錐的地面半徑為10cm．它的展開圖扇形半徑為30cm，則這個(gè)扇形圓心角的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°3．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．16 B．14 C．12 D．104．已知AB、CD是兩個(gè)不同圓的弦，如AB＝CD，那么弧AB與弧CD的關(guān)系是（）A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能確定5．如圖，已知A，B，C，D是圓上的點(diǎn)，弧AD＝弧BC，AC，BD交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD6．如圖工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示．則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度是（）A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm7．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為______．8．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝6，EB＝2，則⊙O的半徑為_____．9．如圖，直線，垂足為P，測(cè)得．（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A，C兩點(diǎn)分別與直線和相切；（2）求該圓弧的長(zhǎng)．10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，．（1）求的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．若，求EF的長(zhǎng)．題組B能力提升練1．已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．52．如圖，半圓的圓心為0，直徑AB的長(zhǎng)為12，C為半圓上一點(diǎn)，∠CAB＝30°，的長(zhǎng)是（

）A．12π B．6π C．5π D．4π3．過⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10cm，最短弦長(zhǎng)為8cm，則OM的長(zhǎng)為（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm4．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．5．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．π B．π C．π D．2π6．如圖的矩形ABCD中，E為的中點(diǎn)，有一圓過C、D、E三點(diǎn)，且此圓分別與相交于P、Q兩點(diǎn)．甲、乙兩人想找到此圓的圓心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分線L，作的中垂線，交L于O點(diǎn)，則O即為所求；（乙）連接，兩線段交于一點(diǎn)O，則O即為所求對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（

）A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確7．如圖，半圓形紙片AMB的半徑為1cm，用如圖所示的方法將紙片對(duì)折，使對(duì)折后半圓弧的中點(diǎn)M與圓心O重合，則折痕CD的長(zhǎng)為________.8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為______．9．如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求圓片的半徑R．10．如圖，在中，，是的平分線，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：為的切線；(2)當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖所示，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=70°，則∠AOC的度數(shù)等于(

)A．140° B．130° C．120° D．110°2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，則弦AB所對(duì)的圓周角是（）A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°3．如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA＝10，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是（）A．10 B．18 C．20 D．224．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，則下列結(jié)論正確的是（

）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA5．如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結(jié)論：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連AP，取AP中點(diǎn)Q，連CQ，則線段CQ的最大值為(

)A．3 B．1+ C．1+3 D．1+7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作直線記的垂線，垂足為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C