13.4 最短路徑問題（解析版）

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊同步配套教學講義與重難點突破（人教版）13.4最短路徑問題理解和掌握最短路徑的作圖方法，能夠運用軸對稱的性質(zhì)求得最短路徑；1.求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求。如圖所示，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CA+CB最短，這時點C是直線l與AB的交點。2.求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求。如圖所示，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CA+CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B',則點C是直線l與A為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C',連接AC',B證明：由作圖可知，點B和B'關于直線l對稱，所以直線l是線段BB因為點C與C'在直線l上，所以在△AB'C'中，AB'<A如圖，在中，，是的一條角平分線，點E，F(xiàn)分別是線段，上的動點，若，，那么線段的最小值是（

）A． B．5 C．4 D．6【答案】A【分析】過點作于點，交于，此時，即的最小值，利用面積法可求出的值，即的最小值．【詳解】解：過點作于點，交于，

，是的一條角平分線，點為底邊的中點，，，點、關于對稱，，，此時的最小值，，，，，，的最小值為．故選A．1．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點，P是上的一個動點，當與的和最小時，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，則的長度即為與和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，與交于點P，∵是等邊三角形，，∴，∴，即就是的最小值，∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．2．如圖，中，，，平分，如果、分別為、上的動點，那么的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】過點作于，交于點，過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，進而得到，利用面積法求出，由此得到的最小值．【詳解】解：過點作于，交于點，過點作于點，∵平分，∴，∴，∵中，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故選D．一、單選題1．如圖，在中，，，的面積為12，于點，直線垂直平分交于點，交于點，是線段上的一個動點，分別連接，，則的周長的最小值是（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】連接，由得到是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)及的面積為12得到，，由直線垂直平分交于點，交于點，則，由是線段上的一個動點得到，即當三點共線時，取最小值，最小值等于為的長，即可得到的周長最小值為【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴是等腰三角形，∵，于點D，的面積為12，∴，,∴，∵直線垂直平分交于點，交于點，∴，∵是線段上的一個動點，∴，∴當三點共線時，取最小值，最小值等于為的長，∴的周長為，即的周長的最小值是7．故選：B．2．如圖，在中，的垂直平分線分別交邊于點、，點為上一動點，則的最小值是以下哪條線段的長度（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到當時，的值最小，即的值最小，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，是線段的垂直平分線，，，的最小值的最小值，，當時，的值最小，即的值最小，的最小值是線段的長度，故選：C．

3．如圖，邊長為的等邊中，是上中線且，點在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進而作點A關于直線的對稱點M，連接交于E，此時的值最小，最后依據(jù)周長的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點E在射線上運動()，作點A關于直線的對稱點M，連接交于，此時的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長的最小值．故選：B．4．如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點F．點P是線段CF上一動點，則EP＋AP的最小值為（）A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當點在線段上時，的最小值是，問題得解．【詳解】解：連接，平分交于點，，，，，且，當點在線段上時，的最小值是，，的最小值為7．故選：

5．如圖，在中，，，是的兩條中線，是線段上的一個動點，則下列線段的長等于最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出Q、M、C共線時，的值最小，最小值為的長度．【詳解】解：如圖連接

，是的兩條中線，Q、M、C共線時，的值最小，最小值為的長度故選D．6．如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于和的對稱點，，即可得出，即可得出答案．【詳解】解：作A關于和的對稱點，，連接，交于，交于，∴，，∴，，則即為的周長最小值，，，，，，，，故選：D．7．如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則關于，的數(shù)量關系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關于的對稱點，N關于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關于的對稱點，N關于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．8．如圖，點在等邊的邊上，，射線，垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當?shù)闹底钚r，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】作E點關于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，當三點共線，時，的值最小，利用所對直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長關系計算的長即可．【詳解】解：作E點關于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，∴，,∴，當三點共線，時，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．二、填空題9．如圖，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，

，，，，，，，，是等邊三角形，點E為邊上的中點，，，即的最小值為，故答案為：．10．如圖，，點M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關于對稱的點為，點P關于對稱的點為，當點P在直線上運動時，的面積最小值為．【答案】【分析】連接，過點作交的延長線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當點與點重合時，取得最小值，的面積最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作交的延長線于，

，且，，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當點與點重合時，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：．11．如圖，在中，平分交于點，點，分別是和上的動點，當，時，的最小值等于．【答案】3【分析】根據(jù)是的平分線確定出點關于的對稱點在上，根據(jù)垂線段最短，過點作于交于，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點即為使最小的點，，過點作于，利用三角形的面積求出，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得，從而得解．【詳解】解：如圖，過作于交于，

則，是的平分線，，，，，點關于的對稱點在上，過點作于交于，由軸對稱確定最短路線問題，點即為使最小的點，，過點作于，，，，解得，是的平分線，與關于對稱，，是等腰三角形，，即的最小值是3．故答案為：3．12．如圖，在中，，，，點D為斜邊上任意一點，作點B關于所在直線的對稱點．（1）當時，；（2）的最小值為．【答案】3【分析】（1）先由直角三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)當時，可求得，從而求得，然后由軸對稱的性質(zhì)可求解；（2）點D在邊上運動時，點B關于對稱點運動路徑是以C為圓，長為半徑的半圓弧，所以當點在與半圓的交點時，此時最小，由可求解．【詳解】解：（1）當時，如圖，∵在中，，，∴，，∵∴，∴，∴，∵點B關于所在直線的對稱點∴，故答案為：3；（2）點D在邊上運動時，點B關于CD對稱點運動路徑是以C為圓，長為半徑的半圓弧，所以當點在與半圓的交點時，此時最小，∴，故答案為：三、解答題13．如圖，欲在河邊上建一個水泵站，使到張莊、李莊所用水管最短．試用尺規(guī)作圖法確定水泵站的修建位置（不寫作法，但須保留清晰的作圖痕跡）【分析】作點關于小河的對稱點，連接與小河的交點，即為所求．【詳解】解：如圖所示：14．如圖，在中，，，，，是的平分線，若，分別是和上的動點，求的最小值．【答案】【分析】在上截取，連接，，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知點和點關于對稱，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及最短路徑結(jié)合面積法即可得出答案．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，

是的平分線，在與中點和點關于對稱，連接，與交于點，連接，此時，是動點，也是動點，當與垂直時，最小，即最?。藭r，由面積法得．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、M、N都在格點上．(1)作關于直線對稱的圖形；(2)點P在直線上，當周長最小時，僅用無刻度的直尺在直線上作出點P的位置．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作關于直線對稱的圖形；（2）連接交直線于點，即可使周長最?。驹斀狻浚?）解：如圖，即為所求；

（2）∵點關于的對稱點為，連接交直線于點，此時周長最?。c即為所求．16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，網(wǎng)格中有一個格點．(1)在圖中作出關于直線的對稱圖形．(2)求的面積．(3)在直線上找一點P，使得的值最?。敬鸢浮?1)見解析(2)(3)畫圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和軸對稱的性質(zhì)畫出、的對稱點即可；（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形三角形的面積去計算的面積；（3）連接交于點，利用兩點之間線段最短可得到此時的值最小，然后利用勾股定理計算出得到這個最小值．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

（2）的面積；（3）如圖，點為所作，，此時的值最?。?7．如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應點為，連結(jié)．(1)直接填空：與的位置關系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當時，；當時，【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，在上取點，使得，結(jié)合對稱性質(zhì)推出，確定三點共線且垂直于時，取得最小值，結(jié)合面積進行計算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應點為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點，使得，連接，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當B、P、M三點共線，且時，取得最小值，此時，如圖所示，

由對稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當時，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當時，．18．如