2023-2024學(xué)年福建省福州市臺(tái)江區(qū)高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市臺(tái)江區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章3.1一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B．C． D．2．橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（

）A． B． C．4 D．83．圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知直線恒過(guò)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．4 D．86．在等比數(shù)列中，的前項(xiàng)之積為，則的公比（

）A． B． C．2 D．7．某地兩廠在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為，一條河所在直線的方程為.若在河上建一座供水站，則到兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）A． B．32 C． D．488．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．若直線，則（

）A．與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為4B．的交點(diǎn)坐標(biāo)為C．D．之間的距離為10．已知曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是圓B．當(dāng)時(shí)，是焦距為4的橢圓C．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，D．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，11．已知直線，圓，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到的距離為，則的值可能為（

）A． B．2 C． D．812．已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前100項(xiàng)和為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．直線的傾斜角為.（用弧度制表示）.14．寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在軸上，離心率小于的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.15．某教育網(wǎng)站本月的用戶為1000人，網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加，則從本月起，使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.16．由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17．在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.18．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求的一般式方程；(2)若直線過(guò)的中點(diǎn)，且，求的斜截式方程.19．已知圓的半徑為2，且圓心在直線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.(1)求圓的圓心坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在圓上，求的最大值與最小值.20．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距均為.(1)求的方程；(2)若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若是的左焦點(diǎn)，分別是的左?右頂點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的斜率.1．A【分析】結(jié)合選項(xiàng)中，數(shù)列的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，符合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，不符合題意，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，不符合題意，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，不符合題意，所以D錯(cuò)誤.故選：A.2．B【分析】根據(jù)橢圓定義求解.【詳解】由橢圓定義知，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.故選：B3．D【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).【詳解】由圓，則圓心，半徑為，圓，則圓心，半徑，所以兩圓圓心距，所以圓與圓的位置關(guān)系為外離，則圓與圓的公切線條數(shù)為4條.故選：D.4．C【分析】把方程整理成關(guān)于的方程，然后由系數(shù)為0可得．【詳解】由，得，則得所以的坐標(biāo)為.故選：C．5．B【分析】先求出弦心距，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)即可.【詳解】由題意得圓的半徑為，圓心到的距離，所以，故選：B6．D【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得數(shù)列的公比，得到答案.【詳解】由等比數(shù)列中，的前項(xiàng)之積為，可得，因?yàn)?，所以，可?故選：D.7．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)的對(duì)稱性建立方程組，求解即可.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則得即，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：A8．C【分析】設(shè)，代入橢圓方程相減得直線斜率，從而得直線方程．【詳解】，在橢圓內(nèi)部，易得直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，由題意得，兩式相減得，則，得.故的方程為，即.故選：C．9．BCD【分析】根據(jù)直線的方程求出截距判斷A，聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)可判斷B，由直線方程得出平行判斷C，利用平行線間距離公式判斷D.【詳解】由可知在坐標(biāo)軸上的截距為，所以與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，故錯(cuò)誤；由得，則的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確；由方程可得，，則之間的距離為，故CD正確.故選：BCD10．AB【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線表示圓，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.11．BC【分析】由題可得圓心到直線的距離為，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】由題意得圓心，圓的半徑為，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到的距離為，所以點(diǎn)到的距離為，即，得或.故選：BC12．ACD【分析】選項(xiàng)A，由遞推公式直接計(jì)算即可；選項(xiàng)B，由條件可得，從而可判斷；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B的判斷過(guò)程可進(jìn)一步得出的通項(xiàng)公式，從而得出，可判斷；選項(xiàng)D，由上面的過(guò)程可得，由裂項(xiàng)相消可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A正確.由2，得，即.因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤.從而可得，則，所以，因?yàn)?，所以是等差?shù)列，C正確.，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為，D正確.故選：ACD13．##【分析】先得斜率，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】直線的傾斜角為由已知得的斜率為-1，則，則傾斜角為.故答案為.14．（答案不唯一，符合，即可）【分析】根據(jù)已知求出，寫(xiě)出一個(gè)即可.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，得，則.故答案為.15．7【分析】依題意每月的用戶構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且，，要使當(dāng)月網(wǎng)站用戶達(dá)到人以上，即，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及指數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】易知每個(gè)月的用戶數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第個(gè)月的用戶數(shù)為，該數(shù)列為，則首項(xiàng)，公比，則，設(shè)第月網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人以上，則，得，因?yàn)?，所以，即，故的最小值為，即第個(gè)月網(wǎng)站用戶達(dá)到人以上，所以使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月.故答案為.16．【分析】根據(jù)題意，由圓的切線的性質(zhì)，求得，設(shè)，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即.故答案為.17．(1)(2)【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)的和公式可對(duì)（1），（2）求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由：，得：，所以：，故：數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)公式：，得：，故：數(shù)列的前項(xiàng)的和.18．(1)(2).【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得；（2）先求中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)得的斜率，進(jìn)而可得的斜截式方程.【詳解】（1）由題意得的兩點(diǎn)式方程為，化為一般式方程為.（2）設(shè)，的斜率分別為，.由題意得中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，則.因?yàn)?，所以，?故的斜截式方程為.19．(1)(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，然后利用題中相關(guān)點(diǎn)及幾何條件從而求解；（2）先求圓外點(diǎn)到圓心的距離，則可知.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意得：，得：，即：圓的圓心坐標(biāo).（2）由題意得:，所以：，所以：最大值為：：，最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意得，得，則，所以的方程為.（2）解：聯(lián)立得，因?yàn)榕c沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，得或，即的取值范圍為.21．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)構(gòu)造出，并結(jié)合等比數(shù)列定義可求解；（2）根據(jù)（1）求出，然后構(gòu)造關(guān)于的方程組并利用錯(cuò)位相減法可求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得：；當(dāng)時(shí)，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為：，當(dāng)，也符合，故可證：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則得：，則：①②①-②得：，化簡(jiǎn)得.所以：數(shù)列的前項(xiàng)和.22．(1)(2)±1.【分析】（1）根據(jù)橢圓過(guò)，求出橢圓方程，然后求出離心率；（2）設(shè)出直線的方程，然后與橢圓方程式聯(lián)立，再根據(jù)題中幾何條件結(jié)