第四章 周期信號(hào)的頻域分析 4-1

第四章周期信號(hào)的頻域分析

連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)

連續(xù)Fourier級(jí)數(shù)基本性質(zhì)

連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析

離散周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)復(fù)習(xí)*周期信號(hào)每一周期內(nèi)信號(hào)完全一樣故只需研究信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的狀況。滿足上述條件的最小的正數(shù)T0稱為信號(hào)的基本（波）周期。周期信號(hào)：每隔一個(gè)固定時(shí)間間隔重復(fù)變化的信號(hào)。即對(duì),存在一個(gè)大于零的，使得

稱為f(t)的基波角頻率，稱為f(t)的基波頻率一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)1.三角形式Fourier級(jí)數(shù)

三角函數(shù)集：在區(qū)間（t0,t0+T0）內(nèi)滿足：稱此三角函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。任何實(shí)周期函數(shù)都可用該完備正交集來(lái)表示，且表示惟一。一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)1.三角形式Fourier級(jí)數(shù)

任意的實(shí)周期信號(hào)f(t)可以用三角函數(shù)集中各元素（函數(shù)分量）的線性組合來(lái)表示一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)1.三角形式Fourier級(jí)數(shù)

另一種形式Fourier級(jí)數(shù)其中稱為信號(hào)的直流分量，

Ansin(n

0+

n)稱為信號(hào)的n次諧波分量。

或一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)2.周期信號(hào)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)條件

周期信號(hào)f

(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)

在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即滿足

(2)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；(3)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。

例1試將下圖所示的方波信號(hào)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)。解:周期信號(hào)f

(t)顯然滿足Dirichlet的三個(gè)條件，

必然存在Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式。在一個(gè)周期內(nèi)f

(t)

的函數(shù)表達(dá)式為：計(jì)算其Fourier級(jí)數(shù)，得所以，該方波信號(hào)在的Fourier級(jí)數(shù)為指數(shù)函數(shù)集：在區(qū)間（t0,t0+T0）內(nèi)滿足：稱此指數(shù)函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。任何一個(gè)周期函數(shù)f(t)都可用此完備正交集中各元素的線性組合來(lái)表示，且表示惟一。一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)3.

指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)

一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)3.

指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)

兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的基波分量的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的N次諧波分量一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)3.

指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)

連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)表示為其中物理含義：

周期信號(hào)f

(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和

一、周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)3.

指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)

若

f(t)為實(shí)函數(shù)，則有利用這個(gè)性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)表示寫(xiě)為令由于C0是實(shí)的，所以

b0=0，故共軛偶對(duì)稱例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:

該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足Dirichlet的三個(gè)條件，Cn存在

在一個(gè)周期內(nèi)f

(t)

的函數(shù)表達(dá)式為：例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:

周期三角脈沖信號(hào)的指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式為例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:

周期三角脈沖信號(hào)的三角形式Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式為由

例3

已知信號(hào)，求

Cn

。解:

根據(jù)指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)的定義可得第四章周期信號(hào)的頻域分析連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)

連續(xù)Fourier級(jí)數(shù)基本性質(zhì)連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析

離散周期信號(hào)的頻域分析二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)線性特性

時(shí)移特性

二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)卷積性質(zhì)

微分特性

若

f1(t)和

f2(t)均是周期為T(mén)0的周期信號(hào)，且

二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱特性

(1)若f(t)為實(shí)信號(hào)f(t)的Fourier系數(shù)是共軛偶對(duì)稱的二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱特性

(2)縱軸對(duì)稱信號(hào)f

(t)=f

(-t)

縱軸對(duì)稱的實(shí)周期信號(hào)其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱特性

(3)原點(diǎn)對(duì)稱信號(hào)f

(t)=-f

(-t)

原點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)周期信號(hào)其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)。二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱特性

(4)半波重迭信號(hào)f

(t)=f

(t±T/2)

半波重疊周期信號(hào)只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無(wú)奇次諧波分量。二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)稱特性

(5)半波鏡像信號(hào)f

(t)=-f

(t±T/2)

半波鏡像周期信號(hào)只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無(wú)直流分量與偶次諧波分量。說(shuō)明

：某些信號(hào)波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對(duì)稱特性