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文檔簡介
1近獨立粒子系統(tǒng)
的統(tǒng)計分布
2對于有大量粒子組成的系統(tǒng),無法確切知道其初態(tài),亦無法確切求解其某時刻狀態(tài)不從S方程出發(fā),認(rèn)為系統(tǒng)遵從統(tǒng)計規(guī)律性,統(tǒng)計物理學(xué)從宏觀物質(zhì)是由大量微觀粒子組成這一事實出發(fā),認(rèn)為物質(zhì)的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表現(xiàn),宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值。由N個同樣粒子所組成的系統(tǒng),設(shè)粒子間相互作用可以忽略,即認(rèn)為這些粒子是整個力學(xué)系統(tǒng)的近獨立子系。統(tǒng)計物理:關(guān)于熱現(xiàn)象的微觀理論。研究對象:大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)?!参⒂^粒子:分子,原子,自由電子以及光子等〕統(tǒng)計物理認(rèn)為:宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)。宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值。經(jīng)典統(tǒng)計:粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律〔狀態(tài)的經(jīng)典描述〕量子統(tǒng)計:粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律〔狀態(tài)的量子描述〕在一定條件下,經(jīng)典統(tǒng)計是一個極好的近似。本局部內(nèi)容:經(jīng)典描述,量子描述,三種分布函數(shù)以及相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。4粒子微觀態(tài)及系統(tǒng)微觀態(tài)的經(jīng)典描述遵守經(jīng)典力學(xué)運動規(guī)律的粒子,稱為經(jīng)典粒子。1、具有“顆粒性〞:有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。2、軌道運動:滿足牛頓定律。給定初始時刻的r、p即可以確定其運動軌跡〔能夠做出確定性的描述〕。經(jīng)典粒子可以被“跟蹤〞。3、可分辨:經(jīng)典全同粒子可以分辨。具有相同屬性〔質(zhì)量、電荷、自旋等〕的同類粒子稱為全同粒子。4、能量是連續(xù)的:按照經(jīng)典力學(xué)的觀點,在允許的能量范圍內(nèi),粒子的能量可取任何值。5自由度為r的粒子:t時刻,狀態(tài)〔q1…qr;p1…pr〕μ空間〔粒子相空間〕—由2r個相互垂直的軸張成的2r維的空間,其中r個軸代表廣義坐標(biāo),另外r個軸代表廣義動量。μ空間中的一個點———粒子的一個微觀態(tài)μ空間中的軌跡———粒子運動狀態(tài)隨時間的演化代表點:μ空間中的點稱為粒子的代表點相軌跡:隨著時間變化,代表點在μ空間描出的曲線μ空間〔相空間〕:粒子位置和動量構(gòu)成的空間。經(jīng)典力學(xué):確定一個粒子的運動狀態(tài)用r和p。自由度r=1〔線上運動〕:x和px描述狀態(tài)。r=3〔3D空間中運動〕,x、y、z和px、py、pz描述狀態(tài)。6◆一維空間運動的自由粒子自由度r=1,t時刻,狀態(tài)〔x,px〕哈密頓量:H=px2/2mμ空間:由相互垂直的x軸及px軸張成的2維空間。原那么上:粒子空間的活動范圍:-∞<x<∞粒子的動量大小范圍:-∞<px<∞【例1】自由粒子理想氣體分子、金屬中的自由電子……7等能面8◆三維空間運動的自由粒子,自由度r=3將μ空間分成兩個三維的子空間一個是坐標(biāo)空間,一個是動量空間。t時刻的運動狀態(tài):〔x,y,z,px,py,pz)μ空間:由相互垂直的三根坐標(biāo)軸x、y、z及三根動量軸px、py、pz張成的6維空間。9坐標(biāo)空間動量空間10【例2】線性諧振子◆一維線性諧振子:自由度r=1,t時刻運動狀態(tài)(x,px)哈密頓量:氣體中雙原子分子的振動,晶體中的原子或離子在平衡位置附近的振動均可看作是簡諧運動。11μ空間:x,px張成的二維空間12〔2〕Γ空間〔描述系統(tǒng)微觀態(tài)的相空間〕??臻g:由2s個相互垂直的軸張成的2s維的空間其中s個軸代表廣義坐標(biāo),另外s個軸代表廣義動量Γ空間中的一個點———系統(tǒng)的一個微觀態(tài)??臻g中的軌跡———系統(tǒng)運動狀態(tài)隨時間的演化代表點:??臻g中的點稱為系統(tǒng)的代表點。相軌跡:隨著時間變化,代表點在??臻g描出的曲線。〔2〕??臻g〔描述系統(tǒng)微觀態(tài)的相空間〕Γ空間中的一個點———系統(tǒng)的一個微觀態(tài)??臻g中的軌跡———系統(tǒng)運動狀態(tài)隨時間的演化13粒子微觀態(tài)及系統(tǒng)微觀態(tài)的量子描述前提:粒子服從量子力學(xué)規(guī)律測不準(zhǔn)關(guān)系:微觀粒子的運動不是簡單的軌道運動1、波粒二象性微觀粒子即具有粒子性質(zhì):r、p又具有波動性質(zhì):ω、k德布羅意關(guān)系:?聯(lián)系粒子的波動性和粒子性。不可能同時精確的測量粒子的位置和動量。14在量子理學(xué)中,微觀粒子的運動狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)(即力學(xué)量完全集)表征。每組中的量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)目。2、量子態(tài)不確定關(guān)系使粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述是不精確的。自由度為r的粒子:量子數(shù)為r粒子的哈密頓H=H({r個量子數(shù)})。狀態(tài)對應(yīng)的力學(xué)量〔如能ε等〕不連續(xù)——狀態(tài)量子化。電子軌道——電子出現(xiàn)概率最大的地方。全同性原理:全同粒子不可分辨,任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)的狀態(tài)。B、自由粒子:m為粒子質(zhì)量,Lx為自由運動的一維空間長度,nx為量子數(shù)3、例子類似于一維無限深勢阱中自由粒子的運動A、線性諧振子:能級分立的能量164、能級間隔:與Lx和m成反比??梢钥闯?,Lx→∞,那么△ε→0,即能量此時是連續(xù)的。因此,在宏觀尺寸上量子效應(yīng)不顯著,可以用經(jīng)典方法描述。說明:1、一個量子數(shù)nx可以確定粒子的動量和能量。2、粒子的狀態(tài)是分立的——能級。3、各能級的簡并性:nx=1和-1是不同的狀態(tài)——簡并。17全同粒子系統(tǒng):由具有完全相同的屬性(相同的質(zhì)量,電荷,自旋等)的同類粒子組成的系統(tǒng)。近獨立粒子系統(tǒng):指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱,相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個粒子的平均能量。εi只是第i個粒子的坐標(biāo)和動量以及外場參量的函數(shù),與其他粒子的坐標(biāo)和動量無關(guān)。理想氣體假設(shè)系統(tǒng)為近獨立粒子系統(tǒng):N個粒子構(gòu)成系統(tǒng)的微觀態(tài)??臻g中的一個點μ空間中的N個點全同粒子系統(tǒng):由具有完全相同的屬性(相同的質(zhì)量,電荷,自旋等)的同類粒子組成的系統(tǒng)。近獨立粒子系統(tǒng):指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱,相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個粒子的平均能量。18粒子的狀態(tài)與μ空間體積元的對應(yīng)關(guān)系μ空間的體積元為:如1D相體積:如3D相體積:如果對坐標(biāo)不加限制那么:19宏觀尺度下,粒子的動量和能量已變得準(zhǔn)連續(xù)。但原那么上仍然有量子數(shù)的概念。這是如何考慮自由粒子的量子態(tài)數(shù)?因此,在體積V中,粒子的動量在間隔范圍內(nèi)的量子數(shù)為:根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系解釋:稱為相格。表示粒子的一個狀態(tài)在μ空間所占的體積。那么〔1〕式解釋為:相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有量子數(shù)dnxdnydnz為相體積比上相格。在μ空間體積元dω內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為:21粒子在相空間的可及區(qū)域總的微觀狀態(tài)數(shù)W為:其中,Ω代表粒子可及區(qū)域的相體積,hr
代表粒子一個微觀態(tài)的相體積。一個系統(tǒng)的性質(zhì)可以通過各種條件下系統(tǒng)可到達(dá)的微觀狀態(tài)數(shù)來計算。計算粒子在μ空間可及區(qū)域內(nèi)所包含的微觀狀態(tài)數(shù)。22解:第一步:求等能面所包圍的相體積Ω【例1】體積為V的三維空間自由粒子等能面所包圍的微觀態(tài)數(shù)等能面方程為:第二步:求等能面所包圍的微觀狀態(tài)數(shù):23【例2】求一維線性諧振子等能面所包圍的微觀態(tài)數(shù)解:等能面方程:等能面所包圍的相體積就是橢圓的面積:24簡單證明粒子的一個微觀狀態(tài)占μ相空間的體積:以一維自由粒子為例:μ空間是二維的,能量ε一定時相軌道是一條線段。根據(jù):量子化軌道把μ空間分成許多體積元,單個體積元的體積為:即:一個狀態(tài)占體積為h。25以線性諧振子為例:線性諧振子的μ相空間等能面是橢圓如圖:該橢圓的面積為:能級表示為:能級非簡并,一個對應(yīng)一個狀態(tài)。兩個相鄰等能面即狀態(tài)之間所加的面積:推廣:粒子的一個微觀狀態(tài)在μ空間所占體積為一個相格即:26〔1〕計算等能面所圍的相體積Ω(ε);〔2〕計算ε—ε+dε能量間隔內(nèi)的相體積dΩ(ε)〔3〕計算ε—ε+dε能量間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)定義:能量ε附近單位能量間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)。記做:D(ε)
按以下三步驟進(jìn)行計算:三、態(tài)密度其中g(shù)是粒子簡并度。27[例1]求三維空間自由粒子的態(tài)密度。解:能量表達(dá)式為:28[例2]求一維線性諧振子態(tài)密度解:能量表達(dá)式為:29在統(tǒng)計物理學(xué)中,我們的目的是研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如系統(tǒng)具有的粒子數(shù)為N,體積為V,能量為E。在給定的這些宏觀條件下,系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)還是很多的,各種可能微觀狀態(tài)都有出現(xiàn)的時機(jī)。我們不能肯定系統(tǒng)在某一時刻一定處在或一定不處在某運動狀態(tài),而只能確定系統(tǒng)在某一時刻處在各狀態(tài)的概率。宏觀物理量應(yīng)當(dāng)是相應(yīng)微觀量在滿足給定宏觀條件的一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值。統(tǒng)計分布函數(shù)和熱力學(xué)幾率一、統(tǒng)計分布函數(shù)30下面以μ空間為例引入分布函數(shù)的概念t時刻,N個相同的粒子中有dN個粒子落在μ空間〔qi,pi〕點附近的即有dN個粒子落在(qi,pi)點dω()內(nèi),則粒子處于(qi,pi)點dω內(nèi)的幾率為:31分布函數(shù)ρ=ρ〔qi,pi,t)的物理意義:粒子處于μ空間〔qi,pi)點處單位相體積內(nèi)的幾率。ρ是幾率密度,ρdω是幾率。一般:ρ=ρ(qi,pi,t),幾率密度隨時間變化,統(tǒng)計平衡態(tài):ρ=ρ(qi,pi)幾率密度不隨時間變化。32表示粒子出現(xiàn)在μ空間可及區(qū)域的概率總和為1。33宏觀物理量:統(tǒng)計物理的根本思想:將系統(tǒng)的宏觀量看作相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計平均值。如果系統(tǒng)的分布函數(shù)ρ(qi,pi),就可由以下公式求得宏觀物理量。宏觀物理量的漲落:代表微觀量偏離其統(tǒng)計平均值的相對大小。34幾個排列組合定那么①設(shè)有N個物體,彼此有區(qū)別,排成一列,那么可有N!種不同的排法。②設(shè)有N個物體,彼此有區(qū)別,分成二組,一為M個,另一為N-M個,那么可有以下種不同的分法。③設(shè)有N個物體,彼此有區(qū)別,放在C個盒子中,每盒不得超過一個,那么可有以下種不同的放法。④設(shè)有N個物體,彼此毫無區(qū)別,放在C個盒子中,每盒不得超過一個,那么可有以下種不同的放法。35熱力學(xué)幾率對于近獨立粒子子系統(tǒng)μ空間中的N個點系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)【例】由三個一維空間自由粒子構(gòu)成的近獨立粒子系統(tǒng)。粒子的自由度r=1,μ空間是二維的,如以下圖所示,三個粒子分別用符號★、●、◆表示1、定義36任意交換兩個代表點在μ空間的位置,在經(jīng)典力學(xué)框架下,相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。而在量子力學(xué)框架下,對于全同粒子體系,相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)不變〔微觀粒子全同性原理〕。圖一與圖二分別代表系統(tǒng)兩種不同的狀態(tài)。37現(xiàn)在考慮N個粒子在μ空間按相格的分布。在μ空間拍照系統(tǒng)t時刻的一個微觀狀態(tài),即N個點的集合。得到以下的分布:Δω1Δω2……Δωi……ΔωkN1N2……Ni……Nk記作:分布{Ni}——表示第i個相格內(nèi)有Ni個粒子。系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)對應(yīng)一個確定的分布{Ni}問:一個確定的分布{Ni}對應(yīng)系統(tǒng)?個微觀狀態(tài)38設(shè)N=6,將其編號為1,2,3,4,5,6;k=4個相格如下所示:39分布{3,1,0,2}所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為:一般定義:對于給定的分布{Ni}:為此分布的熱力學(xué)幾率。40◆熱力學(xué)幾率是分布{Ni}所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。W≧1◆對于N一定的系統(tǒng),W=W(Ni)。即:熱力學(xué)幾率是各個相格內(nèi)所含粒子數(shù)的函數(shù)。◆粒子按能級的分布也記作{Ni}。它代表N個粒子中有Ni個粒子處于第i個能級上。說明:41假設(shè)能級是非簡并的,那么熱力學(xué)幾率為:假設(shè)能級是簡并的,那么熱力學(xué)幾率為:ωl第l個能級上的簡并度。42系統(tǒng)的一個宏觀態(tài)一個分布{Ni}43[例]假定某種類型的分子可能的能級為0,ω,2ω,3ω……,且各個能級為非簡并的,如果體系有6個分子,問能量為3ω時可能的分布有哪些?相應(yīng)的熱力學(xué)幾率為多少?解:按要求所求分布應(yīng)同時滿足以下兩個條件:可能的分布為:4445【例】一容器內(nèi)有4個粒子A、B、C、D,容器被看作由Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域構(gòu)成,粒子動量的不同被忽略,粒子的狀態(tài)只由處于Ⅰ,Ⅱ兩個區(qū)域來區(qū)分。問系統(tǒng)可能的分布與分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。D1{2,2},D2{1,3},D3{3,1},D4{0,4},D5{4,0}2、等概率原理解:可能的分布為5種:46474849W最大粒子密度均勻的平衡態(tài)極大可能處于分布D1密度不均勻的非平衡態(tài)很小可能處于分布D2、D3W中密度不均勻的非平衡態(tài)極小可能處于分布D4、D5W小各種分布出現(xiàn)的可能性大小的排序,恰與熱力學(xué)幾率大小的排序一致。50玻耳茲曼提出了一個重要的統(tǒng)計物理根本假設(shè)——等概率原理◆等概率原理在統(tǒng)計物理中是一個根本假設(shè),它的正確性由它的所有推論與客觀實際符合很好而得到肯定?!舻雀怕试硎瞧胶鈶B(tài)統(tǒng)計物理的根底。處在統(tǒng)計平衡態(tài)的孤立系統(tǒng),系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的?!艄铝⑾到y(tǒng)是一個具有確定N、E、V的系統(tǒng)。即系統(tǒng)所有可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件,沒有理由認(rèn)為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)當(dāng)更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。因此,認(rèn)為各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等應(yīng)當(dāng)是一個合理的假設(shè)。玻耳茲曼提出了一個重要的統(tǒng)計物理根本假設(shè)——等概率原理51∵W1>W2=W3>W4=W5∴P1>P2=P3>P4=P5即哪種宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀態(tài)越多,哪種宏觀態(tài)出現(xiàn)的可能性〔概率〕就越大。3、熱力學(xué)幾率與概率的關(guān)系假設(shè)孤立系統(tǒng)共有M種分布{Ni}α〔α=1,2,…M),第α種分布對應(yīng)的熱力學(xué)幾率(微觀狀態(tài)數(shù)〕Wα,系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù):第α種分布〔第α種宏觀態(tài)〕出現(xiàn)的概率:52概率Pα是歸一的,而熱力學(xué)幾率Wα不是歸一的。二者之間相差一個歸一化因子1/W。例題中總的微觀狀態(tài)數(shù):W=6+2×4+2×1=165種分布所對應(yīng)的概率:假設(shè)系統(tǒng)粒子數(shù)N>>1時,分布{N,0}或{0,N}出現(xiàn)的概率與均勻分布比,將一致趨于零。53孤立系統(tǒng):熱力學(xué):非平衡態(tài)熱力學(xué)平衡態(tài)統(tǒng)計物理:W小
W最大
P小
P最大結(jié)論:熱力學(xué)平衡態(tài)對應(yīng)的是統(tǒng)計物理中熱力學(xué)幾率(幾率〕最大的狀態(tài)。544、熱力學(xué)幾率與熵的關(guān)系孤立系統(tǒng):非平衡態(tài)自發(fā)地趨于平衡態(tài)統(tǒng)計物理:W小W最大熱力學(xué):S小S最大定性結(jié)論:S與W有關(guān),即S應(yīng)是W的函數(shù)下面推導(dǎo)這種函數(shù)關(guān)系:S=f(W)設(shè):大系統(tǒng)=系統(tǒng)A+系統(tǒng)B其中A、B兩個系統(tǒng)均已到達(dá)自己的平衡態(tài)。55系統(tǒng)A:S1、W1系統(tǒng)B:S2、W2大系統(tǒng):S=S1+S2〔1〕W=W1?W2〔2〕根據(jù)所設(shè):S1=f(W1)〔3〕S2=f(W2)〔4〕S=f(W)〔5〕把(3)、(4)、(5)代人(1)得:f(W)=f(W1)+f(W2)〔6〕由(2)有:f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕56對〔7〕式中的W1求偏導(dǎo):f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕575859◆玻耳茲曼關(guān)系給出了熵的統(tǒng)計物理意義。━━熵是系統(tǒng)某宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)對數(shù)的量度。認(rèn)為系統(tǒng)某宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)(W)越多,處于此態(tài)的系統(tǒng)就越混亂。所以說熵是系統(tǒng)混亂度的量度。60熱力學(xué)理論:根據(jù)熵增原理,對于一個孤立系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)時,即當(dāng)S=Smax時,系統(tǒng)絕對不能再發(fā)生變化了。統(tǒng)計物理理論:平衡態(tài)對應(yīng)Wmax,偏離平衡的宏觀態(tài)對應(yīng)W那些偏離平衡態(tài)的狀態(tài)出現(xiàn)的幾率雖很小,但并不為零。所以,漲落現(xiàn)象的存在,在統(tǒng)計物理理論中是很自然的?!魪浹a了熱力學(xué)理論不能解釋漲落現(xiàn)象的缺陷61◆提供了一種計算熱力學(xué)幾率之比的方法設(shè):宏觀態(tài)A對應(yīng)的熱力學(xué)幾率為WA
宏觀態(tài)B對應(yīng)的熱力學(xué)幾率為WA由玻耳茲曼關(guān)系:SA=klnWASB=klnWB
62Boltzmann系統(tǒng):粒子是可分辨的,且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。Boson系統(tǒng):粒子不可分辨,且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。Fermion系統(tǒng):粒子是不可分辨的,且每一個個體量子態(tài)上最多可容納一個粒子(Pauli不相容原理)。三種統(tǒng)計分布Marxwell-Boltzmann分布Bose-Einstein分布Fermi-Dirac分布63Boltzmann系統(tǒng)三個狀態(tài),兩個粒子在三種分布下的分布情況:64Boson系統(tǒng)65Fermion系統(tǒng)66粒子是可分辨的,且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。對粒子系統(tǒng):Marxwell-Boltzmann分布μ空間能級簡并度粒子數(shù)這時所求分布所應(yīng)該滿足的條件粒子數(shù)可編號67例如:能量為εl的微觀態(tài)是四度簡并,具有該能量的粒子數(shù)為5。a.移動:al〔5〕個粒子在ωl〔4〕個量子態(tài)中不同放置導(dǎo)致不同微觀態(tài)。確定,只有移動和交換粒子可能改變系統(tǒng)的微觀態(tài);68b.交換:不同能級之間的粒子交換導(dǎo)致新的微觀態(tài)。N個粒子總的交換數(shù)為N!,同能級內(nèi)粒子交換總數(shù)改變微觀狀態(tài)的粒子交換的有效次數(shù):al個粒子在ωl個量子態(tài)中放置的不同方式的數(shù)目:所以分布對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù):69與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù):N個粒子形成分布的分法al個粒子占據(jù)ωl個態(tài)的方式數(shù)根據(jù)等幾率原理,對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng),每個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等。因此,微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布,出現(xiàn)的概率最大,是最可幾分布。平衡態(tài)最可幾分布70對粒子系統(tǒng):μ空間能級簡并度粒子數(shù)這時所求分布所應(yīng)該滿足的條件Bose-Einstein分布粒子不可分辨,處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。71粒子不可區(qū)分,每量子態(tài)的粒子數(shù)不限量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同的微觀態(tài)。量子態(tài)與粒子交換數(shù):量子態(tài)交換數(shù):粒子交換數(shù):72
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