2022年湖南省岳陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年湖南省岳陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（5分）已知集合A=（R-2VxVl｝,集合B=｛x|l-7》0｝,則（）

A.（-2,-1]B.（-2,1]C.[-1,1）D.[-1,1]

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+/）=2z,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）已知等差數(shù)列｛斯｝滿足.2=4,43+45=4（“4-1）,則數(shù)列｛“"｝的前5項(xiàng)和為（）

A.10B.15C.20D.30

4.（5分）已知圓錐的側(cè)面積是底面積的:倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為

4

（）

4兀67r87r97T

A.—B.—C.—D.—

5555

5.（5分）已知向量：=（遮，1）,向量之一1=（8+1,百+1）,則石與力的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.（5分）已知橢圓長軸A3的長為4,N為橢圓上一點(diǎn)，滿足|NA|=1,ZNAB=60°,則

橢圓的離心率為（）

V52V52>/73V7

A.—B.----C.---D.---

5577

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=Asin（a）x+（p）,其中3>0,A>0,函數(shù)/（x）的周期為n,且

X=號(hào)時(shí)，/（X）取得極值，則下列說法正確的是（）

A.3=5

B.靖）=4

C.函數(shù)/G）在G，器）單調(diào)遞增

D.函數(shù).f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（金，0）對(duì)稱

12

8.（5分）已知m〃為正實(shí)數(shù)，直線y=x-2。與曲線y=/〃（x+A）相切，則一+工的最小

ab

值是（）

A.8B.4V2C.6D.2迎

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二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.)

(多選)9.(5分)下列敘述正確的是()

A.命題“必隹［2,+8),/24"的否定是'勺刈12,+8),沖2<4”

B.ua>bn是"/〃“>/泌”的充要條件

C.(1-X)5的展開式中小的系數(shù)為-10

D.在空間中，已知直線a,b,c滿足：aVb,a_Lc,貝!Jb〃c

(多選)10.(5分)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=0)=9，E(X)、￡>(X)分

別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4

(多選)11.(5分)已知函數(shù)g(x)=k>g,(x+k)(a>0且aWl)的圖象如圖所示.函數(shù)

,f(x)=(k-1)a'-a的圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(xi，y\),B(處”)，則()

B./(x)在R上是奇函數(shù)

C.fCx)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

D.當(dāng)x20時(shí)，2f(x)W于⑵)

(多選)12.(5分)已知圓C：/+()，一分2=1上兩點(diǎn)A、B滿足僖點(diǎn)M(xo,0)

滿足|M4|=|MB|，則不正確的是()

A.當(dāng)|4-=應(yīng)時(shí),xo=1

B.當(dāng)沏=0時(shí)，過M點(diǎn)的圓的最短弦長是2百

C.線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值是-宇

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D.過M點(diǎn)作圓C的切線且切點(diǎn)為A,B,則知的取值范圍是（…，—冬ug,+8）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的

橫線上.）

13.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊

過點(diǎn)（-2,y）且tan（n-a）=2,則sina=.

14.（5分）已知拋物線y=#的焦點(diǎn)為尸，尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（1,1）,當(dāng)4PQF

的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

15.（5分）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中小品、相聲

不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單有種.（結(jié)果用數(shù)字作答）

1。。2（%+1），%>3

16.（5分）已知函數(shù)f（x）=h,若xiVi2,用VX3且/（尤1）=/（x2），

可|%+3],-9<%<3

/（XI）tf（X3）=4,則」一的取值范圍是_______.

工1+%2

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）數(shù)列｛如｝滿足ai=l,S”+i=4a”+3.

（1）求證：數(shù)列｛斯+1-2斯｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式.

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18.（12分）。為△ABC邊A8上一點(diǎn)，滿足AD=2,08=8,記/4BC=a,NCAB=0.

(1)當(dāng)C￡>J_AB時(shí)，且B=2a,求C￡)的值;

(2)若a+/?=*,求△4C。面積的最大值.

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19.(12分)高壓鈉燈使用時(shí)發(fā)出金白色光，具有發(fā)光效率高、耗電少、壽命長、透霧能力

強(qiáng)和不銹蝕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)場(chǎng)、碼頭、船塢、車站、廣場(chǎng)、街道交匯處等地方.現(xiàn)

在某公園中心樹立有一燈桿，桿上裝有6盞高壓鈉燈，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)

相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的

概率為0，壽命為2年以上的概率為02,從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，

只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.

(1)在第一次燈泡更換工作中，求：

①不需要換燈泡的概率；

②更換2只燈泡的概率；

(2)當(dāng)pi=0.8,p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換5只燈泡的概率

(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).

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20.(12分)如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC,BC±AC.

(1)證明：平面SAB_L平面ABC；

(2)若BC=SC,SC±SA,試問在線段SC上是否存在點(diǎn)。，使直線80與平面SA8所

成的角為60°.若存在，請(qǐng)求出。點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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21.（12分）已知雙曲線的對(duì)稱中心在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，雙曲線的

一條漸近線的方程為丫=岳，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4,6）.過雙曲線上的一點(diǎn)尸（在第一象

限）作斜率不為土火的直線/,/與直線x=l交于點(diǎn)Q且/與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定

點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

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22.(12分)已知函數(shù)f(x)=(/-x)d-2,g(x)=(Lx)In(f-x)+x+l,其中，為

實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)x>0時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)r>l時(shí)，若f(x)<g(x)恒成立，求最大的整數(shù)f.

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2022年湖南省岳陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.(5分)已知集合A=｛R-2<x<l｝,集合8=｛川1-720｝,則ACB=()

A.(-2,-1JB.(-2,1JC.[-1,1)D.I-1,1]

解：因?yàn)锳=｛x|-8=｛磯-W》0｝=[-1,1],

貝ijACB=[-1,1).

故選：C.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+z)=2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：Vz(l+i)=2i,

"z~T+i~(l+0(l-i)-1+”

二復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1,1)所在象限是第一象限.

故選：A.

3.(5分)已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足02=4,。3+。5=4(〃4-1),則數(shù)列｛?！ǎ那?項(xiàng)和為()

A.10B.15C.20D.30

解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛斯｝中,02=4,。3+。5=204=4(。4-1)，

所以眄*=4

m以12(%+3d)=4(%+3d-1)'

解得，41=5,d=-1,

則數(shù)列｛4〃｝的前5項(xiàng)和為5+4+3+2+1=15.

故選：B.

4.(5分)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的S倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為

4

()

47r67r87r9TT

A.—B.—C.—D.—

5555

解：設(shè)圓錐半徑為r,母線為/,則圓錐的側(cè)面積為

由題意得鳥=3解得仁圣

nr244

圓錐底面圓的周長即為側(cè)面展開圖扇形的弧長為2irr,

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該扇形的圓心角為a=*=筌=詈.

T

故選：C.

5.（5分）已知向量;=（遮，1）,向量之一1=（8+1,g+1）,則：與力的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

解：根據(jù)題意，設(shè)；與6的夾角為。，

向量a=（y/3,1）,a-b=（V3+1,A/3+1）,貝肪=a—（a-b）=（-1,-V3）,

則向=2,向=2,a'b=一2b，

則cos0=-0?乙=一挈

\a\\b\

又由0°W8<180°,則。=150°,

故選：D.

6.（5分）已知橢圓長軸A8的長為4,N為橢圓上一點(diǎn)，滿足|N4|=1,NNAB=60°,則

橢圓的離心率為（）

2y[52V7

A.更D.

5

/NAB=60°,...Njl，孚），代入橢圓方程可

由題可知a=2,|OA|=2,又|NA|=1,

得喔+磊=】，解得*苧

4/7

c2=a2—b2=4—EPc=

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故選：c.

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=Asin（u）x+（p）,其中3>0,A>0,函數(shù)/（x）的周期為TI,且

%=卻寸，/（X）取得極值，則下列說法正確的是（）

A.3=5

B-居）=4

C.函數(shù)f（x）在弓，系）單調(diào)遞增

D.函數(shù)/（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（金，0）對(duì)稱

解：函數(shù),f（x）=Asin（3x+（p）,其中3>0,A>0,

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）的周期為m

所以3=—=2,

n

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

X4時(shí)，/（x）取得極值，

所以為函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程，但是不能確定是取得極大值還是極小值，

TC

所以f（,）=±A，

故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

因?yàn)椴荒艽_定X=』是函數(shù)/（X）的極大值還是極小值，

所以無法確定函數(shù)的單調(diào)性，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)閤=g時(shí)，f（x）取得極值，可得2x§+（p=Kr+左，fcez,解得9=內(nèi)1一9，髭Z,

’71?TT-TT_

所以—Asin（2Xy^+內(nèi)i—d）=Asin內(nèi)r=0,kWZ,故。正確.

故選：D.

12

8.（5分）已知小〃為正實(shí)數(shù)，直線y=x-2〃與曲線），=加（/力）相切，則一+工的最小

ab

值是（）

A.8B.4V2C.6D.2迎

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解：設(shè)切點(diǎn)為（加，H）,

y=ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為y'=

由題意可得」1=1,

m+b

又n=tn-2a,n=ln（加+人），

解得〃=0,m=2a,

即有2〃+6=1,

=4+4+2=8>

則!+>4+^⑵+b）+HT^JF￥

h4a11

當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即b=亍a=z時(shí)等號(hào)成立，

abz4

12

所以一+工的最小值為8.

ab

故選:A.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）

（多選）9.（5分）下列敘述正確的是（）

A.命題uVx&[2,+8）,的否定是rt3xoG[2,+?>）,x（/<4"

B.ud>bn是“歷”>/帥”的充要條件

C.（1-x）5的展開式中x3的系數(shù)為-10

D.在空間中，已知直線〃，b,c滿足：al.b,“_Lc,則b〃c

解：對(duì)于A.命題“Vx€[2,+8）,/24"為全稱命題，其否定是""而）6[2,+8）,JC02

<4",故4正確.對(duì)于8.充分性：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故充分性不

滿足；

必要性：當(dāng)/皿>/汕時(shí)，a>b>0,顯然此時(shí)a>b成立，故必要性滿足.

所以“a>b”是“l(fā)na>l〃b”的必要不充分條件，故8錯(cuò)誤.

對(duì)于C.（1-x）5的展開式中小的系數(shù)為底?（-1）3=-10,故C正確.

對(duì)于￡）,若在空間中直線a,b,c滿足a_L6,a_Lc,則人和c相交或異面或平行，故。

錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）10.（5分）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（X=0）=/E（X）、D（X）分

別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）

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A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.D(X)=；

解：隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布，其中p(x=0)=/，

2

：.P(X=l)=|,

E(X)=Ox1+lx|=|,

2n12o22

D(X)=(0—Q,)-x5+(1-5,)x5-=Q,

JOJ07

在4中，P(X=l)=E(X),故A正確；

在8中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x母+2=4,故8正確；

在C中，D(3X+2)=9D(X)=9x5=2,故。錯(cuò)誤；

在。中，。(X)=|,故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)g(x)=log“(x+k)Q>0且。中1)的圖象如圖所示.函數(shù)

/(x)=Ck-I)的圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(xi,刃)，B(X2,”)，則()

A.a>\,k>2

B./(x)在R上是奇函數(shù)

C./(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

D.當(dāng)x20時(shí)，2f3Wf(2x)

解：對(duì)于A.由圖象可知，函數(shù)g(x)=log<((.x+k)(a>0且aWl)在(-2,+°°)上

單調(diào)遞增，

第13頁共23頁

所以。>1,因?yàn)間(x)經(jīng)過(-1,0),

所以g(-1)=log<((-i+k)=0,

所以/=-1+匕k=2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于8.f(x)=/-加。定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

/(-x)="r-/=-/(x),所以f(x)在R上是奇函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C.對(duì)于/(x)=<^-a'x,由題意不妨令xi>X2,(xi,X26R),

則/(xi)-/(%2)=(。必一焉)一9不一焉)=(-a'z)+=

(axl+x2+l)(axl—ax2)

^1+72，

因?yàn)閤i>12,a>\,

所以產(chǎn)】+必+1>0,產(chǎn)1+必>0,產(chǎn)】一產(chǎn)2?,即/(用)>/(X2),

所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；

對(duì)于-f(2x)=2(a1'-a'x)-Ca2x-a2x)=2-ax)-

-)=(八「)(2-小「)=(')產(chǎn)"一廠1)=T-aJ)?=

axaxa"

一(凝+[)3-1)3

a2x，

因?yàn)閍>l,x20,

所以/+l>0,(/-I)320,^>0,

所以「g+1爛T)：<o,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

aix

即當(dāng)x20時(shí)，2/(x)W/(2x)成立，故。正確.

故選：BCD.

(多選)12.(5分)已知圓C：7+(y-1)2=1上兩點(diǎn)A、B滿足以相企，點(diǎn)M(刈，0)

滿足|MA|=|MB|,則不正確的是()

A.當(dāng)|A8|=加時(shí)，xo=2

B.當(dāng)xo=O時(shí)，過M點(diǎn)的圓的最短弦長是28

C.線段A8的中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值是-亨

D.過M點(diǎn)作圓C的切線且切點(diǎn)為A,B,則xo的取值范圍是(-8,一字]“?，+8)

解：圓C：/+3一務(wù)2=1的圓心c(o,1),半徑r=l,令圓心c到直線AB距離為“，

對(duì)于A,令直線AB：x=孝，即d=孝，顯然有|4B|=2Vr2-d2=y/2,

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線段AB的垂直平分線平行于x軸，此時(shí)點(diǎn)M不存在，即x（）不存在，A不正確；

對(duì)于8,當(dāng)xo=O時(shí)，點(diǎn)M（0,0）在圓C內(nèi)，而圓C的直徑長為2,則過M點(diǎn)的圓C

的最短弦長小于2,而26>2,8不正確；

對(duì)于C,令線段AB的中點(diǎn)P（t,s）,貝！1|PC|=d=]產(chǎn)_由48）2<Jl-（1A/2）2=孝，

11111y/21\[2

則t2+（s-$2q,即（s—今24，解得/三，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等

號(hào)，

所以SmE=3—?，c不正確；

1

對(duì)于。，依題意及切線長定理得：M4_L4C,MC1AB,^\AB\?\MC\=\MA\?\AC\,

解得%oW—:或%0>孝，

所以xo的取值范圍是（一8,一芻U停，+8）,。正確.

故選：ABC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的

橫線上.）

13.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊

2>/5

過點(diǎn)（-2,y）且tan（JT-a）=2,則sina=-----.

-5—

解：*/tan（IT-a）=2,

tana=-2,

??,角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)（-2,y）,

???a為第二象限角，

>>「sina

Vsin2a+cos2a=l且----=—2,

cosa

第15頁共23頁

..2/5

..stna——g—.

2^5

故答案為：

14.（5分）已知拋物線y=*/的焦點(diǎn)為尸尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（1,1）,當(dāng)△PQF

的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,3.

4

解：設(shè)/：y=-1是拋物線的準(zhǔn)線，

過P作于”，作QML/于M

\PF\+\PQ\=\PQ\+\PH\,易知當(dāng)Q,P,”三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|+|P”|最小，且最小值為1+1=

2,

所以△P。尸的周長最小值為3,此時(shí)有=1,yp即P（l,i）.

故答案為：（1,

15.（5分）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中小品、相聲

不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單有36種.（結(jié)果用數(shù)字作答）

解：相聲，跳舞看成一體，與唱歌，雜技全排列，共有題?心=12種，

3個(gè)節(jié)目有4個(gè)空，除去相聲旁邊的那個(gè)空，剩下3個(gè)空，小品選其一，有盤=3種，

故共12X3=36種.

故答案為：36.

（log2（x+1）,%>3

16.（5分）已知函數(shù)/（%）=h，若XIVX2,X\<X3且/（XI）=/（X2），

|捫+3|,-9<x<3

第16頁共23頁

f（XI）+f（X3）=4,則與—的取值范圍是_

Xi+%2乙一乙一

解：畫出/（X）的圖象如下圖所示，

當(dāng)13^X2時(shí)，2V/（X3）V4且/（X3）=log2（加+1），

因?yàn)?（九1）4/（冷）=4,

所以2<log2（x3+1）<4=3<x3<15,x^+x2=M（一搟，一手，

當(dāng)兀3=尤2時(shí)，％3=%2=3，%i=—6—x2=—9/%］工2=一宗

所以高*的取值范圍是（―趣，—報(bào)

故答案為：（一趣，一芻，

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）數(shù)列｛如｝滿足。1=1,S〃+i=4a〃+3.

（1）求證:數(shù)列｛如+1-2的｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，41=1,S2=Ql+a2=4〃|+3,解得：〃2=6,

當(dāng)〃22時(shí)，由S?+i=4〃〃+3可知,S〃=4a〃-i+3,

兩式作差可得：=4。"--1，

即Cln+1-=2(Cln~-1),

又〃2-2。1=4,所以dn~2如-1W0,

Q/I+]_2Q7I

所以=2,

an-2an_]

所以數(shù)列｛如+「2斯｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

第17頁共23頁

(2)由(1)知唳1-2ali=4X2"T=2"+I,

兩邊同除以2"+1得罪—愛=1，

1

又一7=一，

212

所以數(shù)列｛袋｝是首項(xiàng)為5,公差為1的等差數(shù)列,

a12n-l

A—n=-4-(n-1)=-----,

2n2k2

整理得a”=2nT(2n—1),

故數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式為即=2n-i(2n-1).

18.(12分)。為△ABC邊A8上一點(diǎn)，滿足A￡>=2,￡>8=8,記/ABC=a,NC4B=0.

(1)當(dāng)C￡>_LAB時(shí)，且B=2a,求CD的值;

(2)若a+d=?求△AC￡＞面積的最大值.

解：(1)設(shè)CD長為x,當(dāng)CC_LA8時(shí)，AD=2,DB=8,

yY

則￡ana=g,tan/?=

n

因?yàn)?>0=2a>0f所以tanP=tan2a>0,

□pi八2t^CLTZOL、八

即比=------廠>0,

i-tan￡a

x2x^

所以—=---J>0，得7=32,所以x=4&,

2—J

64

所以CD為4a.

(2)在△ABC中，a+￡=?

則44cB=苧，

由正弦定理得&=黑=4，

stnasin。sin—

4

又AB=10,

所以BC=10V2sinp,AC=10V2sina,

貝ij△ABC的面積S=^BC-AOs譏普=gx10應(yīng)sin^xl0V^sinaxsin,=

50V2sin^sina,

又a+/?=?

第18頁共23頁

所以S=50\f2sinpxsin(^-0)=5O(sin0cos0一sin?0)=25(sm2/5+cos2s-1)=

25夜sO(20+9-25,

因?yàn)?<7?V%所以g<2/7+gV,，

所以當(dāng)2￡+與=多即夕=看時(shí)，S有最大值25(a一1),

又△4CO的面積等于2S,

故△4CO的面積的最大值為5(四一1).

19.(12分)高壓鈉燈使用時(shí)發(fā)出金白色光，具有發(fā)光效率高、耗電少、壽命長、透霧能力

強(qiáng)和不銹蝕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)場(chǎng)、碼頭、船塢、車站、廣場(chǎng)、街道交匯處等地方.現(xiàn)

在某公園中心樹立有一燈桿，桿上裝有6盞高壓鈉燈，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)

相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的

概率為0,壽命為2年以上的概率為以，從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，

只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.

(1)在第一次燈泡更換工作中，求：

①不需要換燈泡的概率；

②更換2只燈泡的概率；

(2)當(dāng)pi=0.8,p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換5只燈泡的概率

(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).

解：(1)該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為“，

①在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為pF

②在第一次更換燈泡工作中，需要更換2只燈泡的概率為髭pjq一小)2.

(2)在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來說，

在第1,2次都更換了燈泡的概率為(1-pi)2,

在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為pi(1-/72)，

在第二次燈泡更換工作，對(duì)其中某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡的概率為：

p—(1-pi)2+pi(1-p2),

至少更換5只燈泡包含更換6只和更換5只兩種情況，

，至少更換5只燈泡的根據(jù)為p6+程p5(l-p),

當(dāng)pi=0.8,0=0.3時(shí)，在第二次燈泡更換工作，至少需要更換5只燈泡的概率為:

第19頁共23頁

P=0.66+Clxo.65x(1-0.6)=0.23328^0.23.

20.(12分)如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC,BCLAC.

(1)證明：平面SAB_L平面ABC；

(2)若BC=SC,SC15A,試問在線段SC上是否存在點(diǎn)O,使直線與平面S48所

成的角為60°.若存在，請(qǐng)求出。點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

S

解：(1)證法一：取A8的中點(diǎn)E,連接SE,CE,'.'SA=SB,：.SE±AB,

'：BC±AC,.?.△AC8是直角三角形，:.BE=EC,

又BS=SC,：./\SEC^^SEB,:.NSEB=/SEB=9Q°,

：.SE±EC,XSELAB,ABC]CE=E,；.S￡'"L平面ABC,

又SEu平面SAB,.,.平面SAB_L平面ABC.

證法二：作SE_L平面ABC,連接E4,EC,EB,EA,EC,EB都在平面ABC內(nèi)，

：.SELEA,SELEC,SELEB,

又SA=SB=SC,：.EA=EC=EB,

-JBCVAC,.?.△ACB是直角三角形，，E為AB的中點(diǎn)，

?.，SEu平面SAB,.,.平面SABJ_平面ABC.

(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AC的直線為x軸，平面BC的直線為y軸，ES為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SA=SB=SC=2,SC_LSA,則AC=2或，BC=SC=2,

/.EC=2V3,SE=\,

則A(-2,1,0),B(V2,-1,0),C(V2,1,0),E(0,0,0),S(0,0,1),

：.AB=(2V2,-2,0),SA=(-V2,1,-1),

設(shè)。(x,y,z),CD=A.CS,(0W入Wl),貝ij(x-V2,y-1,z)=A(-V2,-1,1),

第20頁共23頁

：.D(V2-V2A,1-1,A),BD=(-V2A,2—；I,A),

設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量7=（x,y,z）,

皿，㈤-,‘二八、

則nil,nt-A-B=2y/2x-2y=0,取x=L得幾=（1,V2,0）,

Tt-SA=-y/2x+y—z=0

?.?直線BD與平面SAB所成的角為60°,，sin60°=弊\=-=織

\n\-\BD\73j2A2+（2-A）2+A2

整理得入2+7入+1=0,

?.,0?人忘1,，方程無解，

...在線段SC上不存在點(diǎn)。，使直線8。與平面SAB所成的角為60°.

21.（12分）已知雙曲線的對(duì)稱中心在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，雙曲線的

一條漸近線的方程為）=恁，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4,6）.過雙曲線上的一點(diǎn)P（在第一象

限）作斜率不為±遮的直線/,/與直線x=l交于點(diǎn)Q且/與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定

點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

解：（1）依題可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3/-丁=入，

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)（4,6）,所以入=3X4?-6?=12,

■X?丫2

所以雙曲線的方程為3/-丁=12,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁-J=1;

412

（2）直線的斜率顯然存在且不為0