山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月期中數(shù)學(xué)試題

懷仁一中高二年級2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為，則（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點的斜率公式及傾斜角的關(guān)系計算即可.【詳解】由于直線AB傾斜角為，則該直線AB的斜率為，又因為，，所以，解得．故選:B．2.已知是坐標(biāo)原點，是拋物線：的焦點，是上一點，則線段的長度為（）A.9 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點在拋物線上，求得拋物線方程即可求解.【詳解】由是上一點，得：，解得，所以．故選:D.3.已知點是雙曲線：的漸近線上在第一象限內(nèi)的一點，為的左焦點，則直線斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的過第一象限的漸近線斜率為，且，數(shù)形結(jié)合得到直線斜率的取值范圍.【詳解】由題意知，，，故的過第一象限的漸近線斜率為，且，又與原點連線的斜率為0，故斜率的取值范圍為．故選：A．4.已知是空間的一個基底，，，若，則（）A. B.0 C.5 D.6．【答案】D【解析】【分析】利用空間向量基底的概念及共線定理計算即可.【詳解】易知，因，所以存在實數(shù)，使得，所以，所以，所以．故選：D．5.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，若為圓上的動點，則線段為坐標(biāo)原點）長度的最大值為（）A. B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】求出圓心和半徑，根據(jù)即可得答案.【詳解】解：線段中點的坐標(biāo)為，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，又圓心在直線上，由，解得，所以圓心為．所以.故選：A．6.已知A，B是橢圓E：上的兩點，點是線段AB的中點，則直線AB的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點差法及點斜式計算即可.【詳解】設(shè)，，則AB的中點坐標(biāo)為，所以，，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓的方程作差可得，所以，所以直線AB的方程為，即．故選:A．7.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細處）的直徑為，則該塔筒的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對應(yīng)點.設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以.又喉部（中間最細處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為.由題意可知，代入雙曲線方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.8.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，，點是的中點，則線段上的動點到直線的距離的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，得到線面垂直，進而得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)，求出點到直線距離，求出最小值.【詳解】取的中點為，連接，，，因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因為平面，所以，又底面是矩形，所以，以點為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，，，得，所以，，，則，設(shè)，則，，，，因此點到直線的距離，故當(dāng)時，取最小值，即線段上的動點到直線的距離的最小值為．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知方程表示的曲線為，則（）A.當(dāng)時，曲線表示橢圓B.存在，使得表示圓C.當(dāng)或時，曲線表示雙曲線D.若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則焦距為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷各選項.【詳解】A、B選項：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時曲線表示圓，A選項錯誤，B選項正確；C選項：當(dāng)時，，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，當(dāng)時，，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確；D選項：若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則，則，則橢圓的焦距，D選項錯誤；故選：BC.10.已知三棱柱，為空間內(nèi)一點，若，其中，，則（）A.若，則點在棱上 B.若，則點在線段上C.若，為棱的中點 D.若，則點在線段上【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)乘運算與共線定理逐項判斷即可.【詳解】作出三棱柱，如圖，對于A，當(dāng)時，，則，所以點在棱上，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以點在線段上，故B正確；對于C，當(dāng)時，由B知，所以為棱的中點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以，則，即，所以點在線段上，故D正確.故選：ABD.11.過拋物線：的焦點的直線與相交于，兩點，直線的傾斜角為，若的最小值為8，則（）A.的坐標(biāo)為B.若，則C.的中點到的準(zhǔn)線的最小距離為4D.當(dāng)時，為的一個四等分點【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義求出及拋物線方程，再逐項計算判斷即得.【詳解】拋物線：的焦點，準(zhǔn)線，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線方程為，由消去并整理得，則，，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，，拋物線：，焦點，A錯誤；顯然，，則，解得，即的斜率為，于是或，，B正確；的中點到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；當(dāng)時，直線的方程為，由消去y得：，不妨令，，于是，因此為的一個四等分點，D正確．故選：BCD12.已知橢圓：（）過點，直線：與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的離心率為B.的方程為C.若，則D.若，則橢圓上存在，兩點，使得，關(guān)于直線對稱【答案】AC【解析】【分析】利用點差法確定，關(guān)系，結(jié)合，有求得離心率；根據(jù)橢圓過定點確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；由弦長公式求弦長；假設(shè)橢圓上存在，兩點并設(shè)其中點坐標(biāo)利用點差法確定，驗證，所以點在橢圓外，這與是弦的中點矛盾，所以橢圓上不存在，兩點，使得，關(guān)于直線對稱.【詳解】設(shè)，，則，即，因為，在橢圓上，所以，，兩式相減，得，即，又，所以，即，又，所以，離心率，故A正確；因為橢圓過點，所以，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B錯誤；若，則直線的方程為，由得，所以，，，故C正確；若，則直線的方程為.假設(shè)橢圓上存在，兩點，使得，關(guān)于直線對稱，設(shè)，，的中點為，所以，.因為，關(guān)于直線對稱，所以且點在直線上，即.又，在橢圓上，所以，.兩式相減.得，即，所以，即，聯(lián)立解得即.又，所以點在橢圓外，這與是弦的中點矛盾，所以橢圓上不存在，兩點，使得，關(guān)于直線對稱，故D錯誤.故選：AC【點睛】點差法的應(yīng)用，以及點與橢圓位置關(guān)系的確定.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.試寫出一個點的坐標(biāo)：_________，使之與點，三點共線（與不重合）.【答案】（滿足（）即可）【解析】【分析】設(shè)，由三點共線，可得，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，由三點共線，可得，即，所以，解得，，，不妨令，可得，，，故此時點的坐標(biāo)為.故答案：（答案不唯一：滿足（）即可）14.已知拋物線：的焦點為，，為上一點，則的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，顯然點在拋物線內(nèi)，則當(dāng)，，三點共線時，最小，其最小值為．故答案為：15.已知圓：，點是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理，結(jié)合直角三角形面積用表示，再借助點到直線的距離求出最小值.【詳解】圓：的圓心為，半徑，由過作圓的兩條切線，切點分別為，，得，垂直平分，因此，即有設(shè)，則，顯然當(dāng)最小時，的值最大，此時最小，又的最小值為點到直線的距離，即，，所以的最小值為．故答案為：16.已知分別是雙曲線的上、下焦點，經(jīng)過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形，若的離心率的取值范圍是，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，從而由可知軸，設(shè)，又在漸近線上，可得，利用，和離心率的取值范圍可得答案圍．【詳解】由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，由軸，可知軸，所以可設(shè)，又在漸近線上，所以，所以，因為的離心率的取值范圍是，所以，又，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，利用求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線C的漸近線方程為，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；（2）雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件求出即可；（2）設(shè)雙曲線方程，將點代入求得即可.【小問1詳解】已知雙曲線C的焦點在y軸上，所以可設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又C的漸近線方程為，所以，即，由C的兩頂點之間的距離為4，得，所以.故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因為E與雙曲線有共同的漸近線，所以可設(shè)E為，因為E過點，則，解得，故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.在四棱錐中，平面，底面是正方形，E，F(xiàn)分別在棱，上且，．（1）證明：∥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在棱上取點，使得，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可證明；（2）以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：如圖，在棱上取點，使得，連接，，因為，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】若，則可設(shè)，所以．以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向是為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19.在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與相交于兩點，直線交的準(zhǔn)線于點.（1）若，求直線的方程；（2）證明：直線平行于軸.【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合焦點弦長公式得直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理即可求解；（2）設(shè)，由直線，得，再聯(lián)立直線：與拋物線方程，應(yīng)用韋達定理，可證明.【小問1詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線定義，得，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合要求，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得，則，解得，所以直線的方程為或.【小問2詳解】證明：設(shè)，則直線的方程為，令，可得，設(shè)直線的方程為，代入方程，得，所以，所以，所以直線平行于軸.20.已知橢圓C：的左，右焦點分別為，過點的直線交C于A，B兩點，．（1）若，的周長為18，求的值；（2）若，求C的離心率．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義分別算出和的長即得；（2）首先設(shè)，則，，由，利用余弦定理可得，再利用勾股定理即可求C的離心率.【小問1詳解】由，，得，．因為的周長為18，所以由橢圓定義可得，解得．又，，所以，，所以．【小問2詳解】設(shè)，則，．由橢圓定義可得，．在中，由余弦定理可得，即，化簡可得，又，，故，所以，，所以，所以，所以，即，解得：，所以C的離心率．21.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，．（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為?若存在，求點到平面的距離；若不存在，說明理由．【答案】21.；22.存在，距離為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐標(biāo)系，由異面直線所成角的余弦求出點，再利用向量法求出點到平面的距離.【小問1詳解】由四邊形為正方形，平面，知直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面和平面所成銳二面角為，則所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【小問2詳解】假設(shè)存在，又，則，，由直線與所成角的余弦值為，得，解得，則存在點，為棱的中點時滿足條件，即，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，所以點到平面的距離為.22.已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知的下頂點為，不過的直線與交于點，線段