2022北京海淀理工附中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

2022北京理工大附中初二（下）期中

數(shù)學(xué)

一、選擇題：在下列各題的四個選項中，只有一個是符合題意的.

1.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是（）

A.1,1,2B.2,3,4C.3,4,6D.6,8,10

2.下列各式中是最簡二次根式的是（）.

A.y/2aB.712C.yjab2

3.下列各式中運算正確的是（）

A.2+百=2百B.2y/3-y]3-3

D.1^2)7=_2

4.使師的值為正整數(shù)的最小整數(shù)n是（

A.5B.6C.7D.8

5.在平行四邊形45co中，若/A=3N8,則的角度為（）.

A.30°B.45°C.60°D,135°

6.將四個全等的直角三角形分別拼成如圖1,圖2所示的正方形，則每一個直角三角形的面積為（）

1/37

5

1

圖1圖2

A.3B.4C.5D.6

7.如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為他則a的值是（）.

A.75-1B.而+1C.J5+1D.小

8.如圖，在邊長為2的等邊三角形A3C中，分別以點A,C為圓心,，〃為半徑作弧，兩弧交于點。連接

BD,CD.若BD的長為2y/3,則CD的最大值為（）

A.2B.2"C.我D.7y/2

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.若"2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

10.如圖，在四邊形ABCD中，AB||CD,請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的

條件是一?

AD

BC

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11.若卜一3|+"+1=0,則野資.

12.如圖，A,B兩點被池塘隔開，在A,B外選一點C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點M,

N,如果測得MN=20m,那么A,B兩點間的距離是.

13.用一個實數(shù)。的值說明命題“向aa

="是假命題，這個的值可以是.

14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子高1丈(1丈=1。尺)，折斷后頂端落在離竹

子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出

關(guān)于x方程為:.

15.在平面直角坐標系X。)，中，點A(3,0),B(0,4),若以點A,B,O,C為頂點的四邊形是平行四邊

形，則點C的坐標是.

16.如圖，在方格紙中每個小正方形的邊長都是1,點A、B、C、。均落在格點上.則S△如c=___，?點P為線

段80中點，過點P作直線/〃BC,過點5作/于點過點C作CN，/于點N,則四邊形8CNM的面

積為.

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三、解答題（本題共60分，第17-21題，每小題4分，第22題5分，第23題6分，第24-26題,

每小題5分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：Jg+|J2一2|-阮+1)°+(31

18.計算：（忘4我X6.

19.計算：AAS+yfv2-J—1+y/3

20.當(dāng)。=旨+1,6=小一1時，求代數(shù)式必上〃的值.

21.如圖，在平行四邊形ABC。中，點瓦F分別在邊AD,BC上，AE=CF,求證：BE=DF.

22.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC與3方交于點。.若A8=3,AD=5,OC=2.

求證：AC±CD.

Dy________C

AB

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23.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形

ABC,使的面積為2.

(1)在圖1中，畫一個三角形ABC,使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù).

(2)在圖2中，畫一個直角三角形A3C,使它的三邊長都是無理數(shù).

24.如圖，在aABC中，ZABC=90°,在邊AC上截取連接3。過點A作于點E,尸是邊

8c的中點，連接EF.若A8=5,8c=12,求E尸的長度.

25.如圖，四邊形ABC￡>,AD//BC,連接8。過&C分別作C。、3。的平行線交于點E,連接AE交BC

于點F.求證：尸是AE的中點.

E

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26閱讀材料:

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方.例如：

_____2_2

4+2&=l+3+2/=F+2&+(Kj=(l+6j.

這樣小明就找到了一種把類似4+2耳的式子化為完全平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)結(jié)合小明的探索過程填空：_+_小=@+2小丫

/

(2)7+4出的算術(shù)平方根為_；

(3)化簡：后萬方+42了+62癡■+…+亞712師訪.(毀J正整數(shù))

27.在RtZ\ABC中，ZB=90°.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)A8=BC時，直接寫出線段AC與線段的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若AA8C,用圓規(guī)在A8上截取AM=BC,連接CM,N為線段CB上一點，連接4V交CM與

點P.請?zhí)砑訔l件：當(dāng)NAPM=—。時，使得A2V辰加成立，并證明這個命題；

(3)在(2)的條件下，取4V中點“，連接CH,若AM=4,CN=2,貝ljC〃=_.

28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M、N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意

一點，如果P,。兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N間的“近距離”，記作

d(MN).在/BCD中，點()B[~)(--)(，如圖1.

A4,84,0C4,8D4,0

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2

圖1圖2

⑴直接寫出或點。，。A8CD）=一；

⑵若點尸在y軸正半軸上，d（點尸,□ABCD)=4,求點尸坐標；

⑶已知點E(a，-a)，F(xiàn)(<a+2,a),G(a+1,-a-1),”（a+3,_a」），順次連接點￡、F、H、G,將得

到的四邊形記為圖形W（包括邊界）

①當(dāng)a1時，在圖2中畫出圖形W,直接寫出d（W,QA3C。）的值；

②若0<d（W,nABCD）<11直接寫出o的取值范圍.

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參考答案

一、選擇題：在下列各題的四個選項中，只有一個是符合題意的.

1.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是（）

A.1,1,2B.2,3,4C,3,4,6D.6,8,10

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：A中12+12/22,故不符合題意；

B中22+32*42,故不符合題意；

C中32+42*62,故不符合題意；

D中62+82=102符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理.解題的關(guān)鍵在于明確用勾股定理的逆定理判斷是否是直角三角形.

2.下列各式中是最簡二次根式的是（）.

A.J2aB.>/12C.^ab2D.￡

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可.

【詳解】A.癡，是最簡二次根式，故該選項符合題意；

B.Jn=2y/3,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

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C.腳=問血,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

D.F=包,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

\22

故選A

【點睛】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）

被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.下列各式中運算正確的是（）

A.2+4=2/2&小=3

B.

C.D.d-2）2=-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的加減，算術(shù)平方根的計算對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：A.中2+3差2退，故不符合題意；

B.中2#-#=小『3,故不符合題意；

c.中L故符合題意；

丫J4=2L

D.中y/（-2）=2W2,故不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的加減，算術(shù)平方根.熟練掌握相關(guān)的運算法則是解題關(guān)鍵.

4.使師■的值為正整數(shù)的最小整數(shù)〃是（）.

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

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【解析】

【分析】根據(jù)題意可知24〃是平方數(shù)，然后根據(jù)二次根式的定義即可求出答案.

【詳解】解：V24n=22x6n,

A使,24〃的值為正整數(shù)的最小整數(shù)〃是6,

故選：B.

【點睛】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì).

5.在平行四邊形A5CO中，若/A=3N8,則/。的角度為（）.

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得.A-.3二180」，一D”B,將一A=3,8代入求出B,進而可得答案.

【詳解】解：：四邊形48。是平行四邊形，

J

.A.B180,ZD.B,

/A=3/5,

44180,

解得N8-45：

.D45、

故選B.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于明確角度的數(shù)量關(guān)系.

6.將四個全等的直角三角形分別拼成如圖1,圖2所示的正方形，則每一個直角三角形的面積為（）.

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【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以先設(shè)直角三角形的長直角邊為。，短直角邊為“然后根據(jù)圖1和圖2可以列

出相應(yīng)的方程組，從而可以求得直角三角形的兩條直角邊的長.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的長直角邊為“，短直角邊為“

a->tb5,。_3

A.ah1,解得用=21

???直角三角形的面積為：（3x2）+2=3,

故選：A.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

7.如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為則。的值是（）.

-2-101'234

A.&-1B.一小+1C.+lD.非

【答案】A

【解析】

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【分析】首先計算出直角三角形斜邊的長，然后再確定a的值.

【詳解】解：???J12+22=6

??ci-~1,

故選：A.

【點睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是利用勾股定理計算出直角三角形斜邊長.

8.如圖，在邊長為2的等邊三角形A8C中，分別以點A,C為圓心，機為半徑作弧，兩弧交于點連接

BD,8.若BD的長為2小,則CD的最大值為（）

A.2B.2"C.炳D,7點

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，由題意知，是AC的垂直平分線，交AC于E,8在。上，ZCBE-30°,

CE=—AC=1,BE=y/3,由=26，可知￡7）|=如，EDi=3JRtEDRt^CEDi

2,分別在和-

1

中，用勾股定理求解CD與C。2的值，比較后取最大值即可.

【詳解】解：如圖，由題意知，是AC的垂直平分線，交AC于E,B在，2上，

/BEC9伊,NCBE300,

BE=-sfi,

???BD26,

12/37

:.BD「2#,ED、=#,BD2=2>/3,ED-?

2

在Rt.CED中，由勾股定理得C。=y]CE+ED；=2,

在RhCED中，由勾股定理得=7+=?

22

CEED227,

..CZJ2;?cu

.?1,

???CO的最大值為2近，

故選B.

【點睛】本題考查了垂直平分線，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵

在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.若-2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______.

【答案】x>-2

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)，列不等式求解即可.

【詳解】由題意可知戶2出,

Ax>-2.

故答案為：%>-2.

【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，明確被開方數(shù)為非負數(shù)是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在四邊形ABCD中，ABHCD,請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的

條件是一.

B

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【答案】AB=DC（答案不唯一）

【解析】

【詳解】試題分析「?在四邊形ABCD中，ABHCD,

???根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，可添加的條件是：AB=DC（答案不唯一）.

還可添力口的條件ADIIBC或zA=zC或NB=/D或NA+NB=180?；?C+ND=180。等.

11.若卜一3|+歷1-0,則料新.

【答案】2

【解析】

【分析】由題意知，x-3=0,y+l=O,求出入,丁的值，然后代入求解即可.

【詳解】解：由題意知，x-3=0,y+l=O,

解得x=3,>

.,.?X+y=3-l=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了絕對值、算術(shù)平方根的非負性、代數(shù)式求值.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)非負性求出入，》的

值.

12.如圖，A,B兩點被池塘隔開，在A,B外選一點C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點M,

N,如果測得MN=20m,那么A,B兩點間的距離是.

【答案】40m

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【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，且等于第三邊的一半，那么第三邊應(yīng)等于中位

線長的2倍即可解答.

【詳解】解：:M,N分別是AC,BC的中點，

??.MN是△ABC的中位線，

.-.MN=-AB

2

??.AB=2MN=2x20=40（m）.

【點睛】本題考查三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行第三邊，且等于第三邊的一半是解題關(guān)鍵.

13.用一個實數(shù)。的值說明命題“丘=a”是假命題，這個。的值可以是.

【答案】-1（答案不唯一，*：0即可.）

【解析】

【分析】選取的。的值不滿足而一a即可.

【詳解】時，滿足。是實數(shù)，但不滿足而=a,

所以a-1可作為說明命題“如果。是任意實數(shù)，那么“J樂一a”是假命題的一個反例.

故答案為：-1（答案不唯一，即可.）

【點睛】本題考查了命題與定理，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命

題，只需舉出一個反例即可.

14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折斷后頂端落在離竹

子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出

關(guān)于x方程為:.

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【答案］(10-4=上+32

【解析】

【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為X尺，根據(jù)勾股定理列出方程即可

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為X尺根據(jù)題意可得：(10X)-2=-X2+32

(-)2=X2+32

故答案為：10x

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

15.在平面直角坐標系xO)，中，點A(3,0),B(0,4),若以點A,B,O,C為頂點的四邊形是平行四邊

形，則點C的坐標是____.

【答案】(3,4)##(-3,4)##(3,-4)

【解析】

【分析】由題意知，以點A,B,O,C為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況求解：①如圖，四邊形

80AC是平行四邊形；②如圖，四邊形0A3G是平行四邊形；③如圖，四邊形ABOG是平行四邊形；根據(jù)

平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，

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:以點A,B,O,C為頂點的四邊形是平行四邊形，

①四邊形BQ4c是平行四邊形，

二BC//OA,BC=OA,

：.C（3,4）

I

②四邊形是平行四邊形，

,力C]〃U/\-u/\

,?,,

二”3,4）

/

③四邊形ABOC2是平行四邊形，

?U（^2〃A萬uc2IA6

???

（

.-.C2（3,,4）;

綜上所述，C的坐標為（3,4）或（3,4）或（3,-4）

>

故答案為：（3,4或I3,4）或（3,-4）

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、點坐標，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

16.如圖，在方格紙中每個小正方形的邊長都是1,點A、B、C、。均落在格點上.則SABDC=_____，?點P為線

段8。中點，過點P作直線/〃BC,過點8作于點過點C作C7V，/于點N,則四邊形BCNM的面

積為.

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【答案】①.4.5②.4.5

【解析】

【分析】由題意得：AD=3,AB=3,由三角形面積公式得出SABOC,根據(jù)作圖可得四邊形BCNM是矩形，根據(jù)

「為線段BD中點，可得$…=8矩形〃即可求解

【詳解】解：由題意得：AD=3,AB=3,

SABDC——XDC-AB——x3x3=4.5,

22

故答案為：4.5；

V1//BC,BML,CN±l,

四邊形8CMW是矩形，

?.?尸為線段中點，連接PC,

S/BC=~S^CD,S.pBC=不

一S矩形CNMB2.25,

?二S矩形CNMB4.5.

故答案為：4.5,4.5.

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【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共60分，第17-21題，每小題4分，第22題5分，第23題6分，第24-26題，

每小題5分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：01"2|一（兀t1）°+（；）'

【答案］3-q

2

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，零指數(shù)鬲，負整數(shù)指數(shù)鬲進行計算即可.

【詳解】解：原式=￡+2V2-1+2

2

=3.巫.

2

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，零指數(shù)鬲，負整數(shù)指數(shù)鬲是解題的

關(guān)鍵.

18.計算：（0⑻xJ6.

【答案】2。+3&

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【解析】

【分析】按照二次根式的運算法則計算即可.

【詳解】解：(4+6,J6

=WXJ6+及X#

=3用26

【點睛】此題主要考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則，即可解題.

19.計算：$+J12-4]+6?

17

【答案】y

【解析】

【分析】先利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，然后進行混合運算即可.

【詳解】解:原式=(癡+2癢金)+如斗.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的性質(zhì)與混合

運算的法則.

20.當(dāng)。_旨+1,匕.*一1時，求代數(shù)式必+〃的值.

【答案】6-2出

【解析】

【分析】將a力的值代入，計算求解即可.

【詳解】解：將的值代入得，原式=(6+/?)(?jJj

31.3131(323.1623.

的值為=62^3

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【點睛】本題考查了運用平方差公式、完全平方公式進行運算，代數(shù)式求值.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平方差

公式與完全平方公式.

21.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,F分別在邊ARBC上，AE=CF,求證：BE=OF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】先求出。丘=8￡再證明四邊形8即尸是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：：四邊形ABC3是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

"：AE^CF,

:.DE=BF,

又,：DE//BF、

???四邊形尸是平行四邊形，

：.BE=DF.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是

解決問題的關(guān)鍵.

22.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC與交于點。.若=3,AO=5,0C=2.

求證：AC±CD.

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【答案】證明見解析

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，AO=CO,AC=4,CD-AB=3,AD2AC2+CZ)2,貝lj

NACO=90：進而結(jié)論得證.

【詳解】證明：?四邊形A8CO是平行四邊形，

AOCO,AC-4,CDAB3,

??〈22

,5-4+32,

AD2AC24CD2,

/.ZACD=902,

ACCD.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾

股定理的逆定理判斷直角三角形.

23.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形

ABC,使aABC的面積為2.

(1)在圖1中，畫一個三角形ABC使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù).

(2)在圖2中，畫一個直角三角形A3C,使它的三邊長都是無理數(shù).

【答案】(1)作圖見解析(答案不唯一)

(2)作圖見解析(答案不唯一)

22/37

【解析】

【分析】（1）由題意知，令8C=4,AB-ACH4=『，滿足S?BC=2,如圖1,即為所作；

(2)由題意知，令A(yù)Cj2'+22=2",BC=jF+i2=&\AB々+321

=10,/ACB-90c酒

足要求，如圖2,即為所作.

【小問1詳解】

解：如圖1,

圖1

vBC=4,ABAC=^i<,S"BC=$4K1=2

???BC為有理數(shù)，AB,AC為無理數(shù)，S2=2

1

圖中AABC即為所作.

【小問2詳解】

解:如圖2,

圖2

23/37

VAC6+22二2",BC收K=&、A3=）產(chǎn)+32=J10,

AB2=AC2+BC1,

NACB=90。，

ABC,AB,AC均為無理數(shù)，AABC是直角三角形，

二圖中AABC即為所作.

【點睛】本題考查了有理數(shù)，無理數(shù)，等腰三角形的判定，作格點三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理等知

識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

24.如圖，在△A8C中，ZABC=90°,在邊AC上截取A￡?=A8,連接8。過點A作于點E,尸是邊

BC的中點，連接EF.若AB=5,BC=12,求EE的長度.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一，得出點E是線段8。的中點，結(jié)合點尸為線段8C的中點，進而得出線段

EF是△88的中位線，從而得出"的長度.

【詳解】解：???在△AB。中，AB=AD,AE±BD,

BE=ED,即點E是線段8。的中點，

又???點F是線段BC的中點，

，￡廠是△8CO的中位線,

24/37

：.EF=-DC

2

,在&△ABC中，ZABC=90°,AB=5,BC=12,

2222

：-AC=^AB+BC=>/5+12=13,

^'：AD=AB=5,

ADC=AC-AD=13-5=8,

.\￡F=-DC=4

2

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，勾股定理，三角形的中位線等知識，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

25.如圖，四邊形ABC。AD//BC,連接過8、C分別作C。、8。的平行線交于點及連接AE交BC

于點F.求證：尸是AE的中點.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】如圖，作AM||C0交8C于M,由題意知，BD||CE,BE\\CD,四邊形8ECO是平行四邊

形，BE-CD,證明四邊形AMCO是平行四邊形，IjllJAM-CDBE,證明△成尸包()

MAFASA

EF^AF,進而結(jié)論得證.，則

【詳解】證明：如圖，作AM||CO交于M,

25/37

H

M

E

由題意知，BD\\CE,BE||CD.

???四邊形BECD是平行四邊形，

/.BE—CD,

AD//CM,AM\\CD.

AM//BE,四邊形AMC。是平行四邊形，

AMCD-BE,

'：AM//BE,

：.ZBEF-MAF,/EBF=/AMF

*

?*-ABEF%()

MAFASA

：.EF=AF,

尸是AE的中點.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于作輔助線，證明

ABEF均MAF-

26.閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方.例如：

4+2小=1+3+2&=?+2&+(有j+.

這樣小明就找到了一種把類似4+2』的式子化為完全平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

26/37

(1)結(jié)合小明的探索過程填空：_+—下=。+26y

/

(2)7+46的算術(shù)平方根為_；

(3)化簡：73?2&+艮2辰j(luò)-2版+…+《2n+l?2M.(尊為正整數(shù))

【答案】(1)21;4

⑵2+3

⑶1

【解析】

2_

【分析】(1)根據(jù)(+2，)=21+4$,填寫答案即可；

(2)由題意知，7+4—配完全平方得(2+然后求算術(shù)平方根即可；

(3)由題意知，2n+l2Inn1配完全平方得(近口.新：J不一赤、將原

(+).然后求得算術(shù)平方根為

式進行配完全平方和求算術(shù)平方根得應(yīng)+“一檔+…+而T4n,最后進行二次根式的加

減運算即可.

【小問1詳解】

解：,.?(1+2鬲=1+4^+20=21+46

故答案為：21；4；

【小問2詳解】

22

解：V+d班4+4班3=2+4^+(#)_(2t

：.47/46-J(2+荷=2+叵

27/37

故答案為：2+g；

【小問3詳解】

解：:2〃，12個n(n+1)=(〃+1)-2.―Tn

?(+)+

=(J〃+1-Jz尸，

，2九+1-2也n1:"+1］幾)=J〃+1-Jn,

(+)=v

**.2&+飛52#+g-2^/Ty+.??+12幾+l-2jn(n+1)

=j2xl+l-2>/lx2+j2x2+l-2J2x3+J2X3+1-25/3X4+…+Q2n+i.2小(”加

=1)+(6-6>+^(A/4〃3'+…+1一y/n)

=-^2-1+J3--^2,+>J4---^3+???+J"+1>Jn

=J"+l1,

???原式化簡結(jié)果為Jn，1.

【點睛】本題考查了完全平方公式運算、算術(shù)平方根、二次根式的加減運算.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握完全平

方公式.

27.在RtAABC中，ZB=90°.

28/37

(1)如圖1,當(dāng)A8=8C時，直接寫出線段AC與線段A6的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若AABC,用圓規(guī)在A8上截取AM=BC,連接CM,N為線段CB上一點，連接AN交CA/與

點P.請?zhí)砑訔l件：當(dāng)NAPM=_。時，使得AN=辰”成立，并證明這個命題；

(3)在⑵的條件下，取AN中點，，連接C",若AM=4,CN=2,貝ljCH=_.

【答案】(1)AC^國

(2)45°,證明見解析

⑶3&

【解析】

【分析】(1)在M中，由勾股定理得AC=J標，進而可得結(jié)果；

(2)證明如下：如圖2,將CM逆時針旋轉(zhuǎn)90°到CD,連接用/),作。NJ.8C于N,連接AN交CM于

P,作DF.4?的延長線于八"3八"，證明/ON應(yīng)(，貝IJ，由

)DN=BC=AM

DM=y[CM^?CDfJ2CM,AN-也CM,可知ANDM,^S^^N^MFD(SAS),則

乙NAB=￡DMF,AN//DM,根據(jù)NAPM=/PM。"一APM的值；

(3)如圖2,連接BH,作HE一BC于E,HGJ,AB于G,由”是AN的中點，可知

BH=-AN=HN=AH,AA//8與△84N為等腰三角形，AG-3G=LAB,EN=BE=、BN

2△22

HE=GB,由(2)可知8M=CN=2,BN=BC-CN=2,求出EN,CE,HE,AB的值，根據(jù)

/八ETYT-n'個37口力9m-

Rt^CEH中，由勾股定理得CH-y/CE'HE

【小問1詳解】

解：ACJ2AB.

VZB=900,AB=BC,

在A/AABC中，由勾股定理得AC=+.

【小問2詳解】

29/37

解：ZAPM45°.

證明如下：如圖2,將CM逆時針旋轉(zhuǎn)90°到C。，連接MQ,作ON.3C于N,連接AN交CM于P,作

。尸1A8的延長線于b，

圖2

由題意知CO=CM,ZCND90;.^DCM=90°,

/CM。=/COM=45」，

???￡DCN+￡MCB=90。，ZCMB+￡MCB=90。,

/DCN.NCMB,

：.<DN*()

MCBAAS

：.DN-BC=AM,

?：DM=dCM、c/=&CM,AN=辰M,

...ANDM,

：DFLBF,

：.DF||BC,

,：DN1BC,FB.BC,

...DN-BF,

同理，DF=BN、

AB^MF.

30/37

...AABNm△()

MFDSAS

：./NAB=/DMF,,

：.AN//DM,

.../APM=々PMD=45?,

故答案為：45°.

【小問3詳解】

解：如圖2,連接作“E18C于E,"6_143于6.

；H是AN的中點，

在^aABN中，BH=-AN=HN=AH,

2

...AAHB與^BHN為等腰三角形，

AGBG^-ABENBE-BN

2，2，

'：HG//BC,HE工BC,GB上BC,

：.HE=GB,

由⑵可知3M=CN_2,

BNBCCN.2,

：.EN1,CE3,ABAM+BM6,HE3,

在RuCEH中，由勾股定理得C”JCE、Hb=3&,

故答案為：3戊\

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的判定與

性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

28.對于平面直角坐標系xO)，中的圖形M、N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意

一點，如果P,。兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N間的“近距離”，記作

d(M,N).在QABCD中，點(}B()(--)()，如圖1.

A4,84,0C4,8D4,0

31/37

2

圖1圖2

(1)直接寫出或點。，QABCD)=一；

(2)若點P在y軸正半軸上，d(點P,uABCD)=4,求點P坐標；

⑶已知點F(a+2,-a),G(a+l,-a-l),H(a+3,-a-1),順次連接點￡、F、H、G,將得

到的四邊形記為圖形W(包括邊界)

①當(dāng)時，在圖2中畫出圖形W,直接寫出"(WQABC。)的值；

②若0<d(W,cjABCD)<1,直接寫出&的取值范圍.

【答案】⑴2及

⑵(0,4+472)

⑶①作圖見解析，?②-4當(dāng)或一與<”2+與

【解析】

【分析】(1)由AB,C,。的點坐標可知。為ABCD對角線的交點，可知點。到3C,A。的距離相等且

為4；點。到AB,CO的距離相等；如圖1,記AB與軸的交點為M,ZABD.ZBMO-^45,在

Rt^OBM中，由勾股定理得BM=JoBi+OM24#

=,設(shè)。到的距離為〃，根據(jù)

S.BOM=yxOBxOM=LBMxh,求出h的宜然后與4比較取最小值即可；

32/37

(2)如圖1,作尸。1AB于Q,由“(點p,aABCD)=4,可知PQ4,PMQ=/BMO=45。，在

即△尸QM中，由勾股定理得PM返，求出PM的值，進而可得P點坐標；

(3)①由。=-1,可得以iU"(⑷'5UM、"⑼在坐標系中描點，依次連接如圖2所示，

QEFT/G即為圖形W；延長GE交AB于M，交CD于K,延長FH，交CO于N，由&F、G、H點坐

標可知/MGB45-/ABO,/OMB90一/GKO,可知M。BM,MEHN,

d(W,DA8CO)kME'根據(jù)勾股定理求解OE，0M的值，根據(jù)，求出的值即可；②由

瓦F,H,G的點坐標可知，EF-GH2tEG-FH=&、四噓珞的靠互個大小辦咨的平行四邊形，

且E點沿著直線MK運動，如圖2,作用.EG的延長線于人/JOH=/OHJ45。,EJ.20,

EJ-OK,分情況求解：當(dāng)62時，卬與QABCO有交點，滿足要求；當(dāng)2,KE-1時，

OE^OK^KE272+1,可得E點坐標與。的值，此時有0g“<2+號，滿足要求；當(dāng)。<0,JK=1

/2

時，OE—EJOJ=2A/2-(2-1)=1