專訓(xùn)12.2.5 尺規(guī)作圖+尺規(guī)作圖為背景的幾何證明-簡單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級上冊考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)12.2.5尺規(guī)作圖+尺規(guī)作圖為背景的幾何證明一、單選題1．下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法：（1）以△為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)P，Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，○長為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心，*長為半徑畫弧交前弧于點(diǎn)F；（4）作⊕，則∠DEF即為所求作的角．

A．△表示點(diǎn)E B．○表示PQC．*表示ED D．⊕表示射線EF【答案】D【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖可得作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)P，Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，OQ為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以D為圓心，PQ長為半徑畫弧交前弧于點(diǎn)F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的方法．2．如圖所示的是已知，求作的作圖痕跡，則下列說法正確的是（）A．因?yàn)檫叺拈L度對角的大小無影響，所以弧的半徑長度可以任意選取B．因?yàn)檫叺拈L度對角的大小無影響，所以弧的半徑長度可以任意選取C．因?yàn)檫叺拈L度對角的大小無影響，所以弧的半徑長度可以任意選取D．以上三種說法都正確【答案】A【分析】根據(jù)作一角等于已知角的方法可得出邊的長度對角的大小無影響，BC弧的半徑長度可以任意選取進(jìn)而得出答案．【詳解】已知，求作的作圖痕跡，邊的長度對角的大小無影響，得出弧的半徑長度可以任意選?。蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，根據(jù)一角等于已知角的方法得出是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，用直尺和圓規(guī)按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、；②畫射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)；④過點(diǎn)畫射線；根據(jù)以上操作，可以判定≌，其判定的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】A【分析】由步驟②得半徑=，由步驟③半徑=，半徑OD=，即可利用三邊對應(yīng)相等證明≌（SSS）．【詳解】解：由步驟②得半徑=，由步驟③半徑=，半徑OD=，在和中，∴≌（SSS）．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖的依據(jù)，仔細(xì)閱讀作法，找出用兩次半徑OC與CD解決問題是關(guān)鍵．4．嘉淇在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的步驟如下：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，m為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，n為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；（3）以點(diǎn)C'為圓心，p為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D'；（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB．下列說法正確的是（）A．m－p>0 B．1－p>0 C．p=n>0 D．m=n>0【答案】D【分析】利用作法根據(jù)根據(jù)圓的半徑相等可得出兩個(gè)三角形的邊長相同，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由作圖得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，則m=n>0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．5．如圖，用直尺和圓規(guī)作“一個(gè)角等于已知角”的原理是：因?yàn)?，所以．由這種作圖方法得到的和全等的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法求解．【詳解】解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，所以根據(jù)“SSS”可判斷△D′O′C′≌△DOC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．6．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿足了三條邊對應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．【詳解】解：作圖的步驟：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、C；②任意作一點(diǎn)O′，作射線O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′B′于點(diǎn)C′；③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)D′；④過點(diǎn)D′作射線O′A′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．7．為銳角，，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為d，，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】當(dāng)x＝d時(shí)，BC⊥AM，C點(diǎn)唯一；當(dāng)x≥a時(shí)，能構(gòu)成△ABC的C點(diǎn)唯一，可確定取值范圍．【詳解】解：若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則C點(diǎn)唯一即可，當(dāng)x＝d時(shí)，BC⊥AM，C點(diǎn)唯一；當(dāng)x>a時(shí)，以B為圓心，BC為半徑的作弧，與射線AM只有一個(gè)交點(diǎn)，x=a時(shí)，以B為圓心，BC為半徑的作弧，與射線AM只有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)與A重合，所以，當(dāng)x≥a時(shí)，能構(gòu)成△ABC的C點(diǎn)唯一，故選為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的畫法，根據(jù)題意準(zhǔn)確作圖并且能夠分類討論是解題關(guān)鍵．8．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)中垂線、角平分線、畫等長線段以及作角平分線等知識點(diǎn)解答即可．【詳解】解：如圖①為作BC的中垂線，即BD=DC,由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；如圖②為作∠ABC的角平分線，無法判定;如圖③為以AC為半徑畫弧交AB于D，即;如圖③為作∠ACB的平分線，無法判定;綜上，①③正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖和三角形的三邊關(guān)系，掌握基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．9．已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．若，則 D．點(diǎn)在的平分線上【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知，，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；在和中，，，在和中，，，，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；連接OP，，，在和中，，，，點(diǎn)在的平分線上，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；若，，則，而根據(jù)題意不能證明，故不能證明，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時(shí)，準(zhǔn)確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．10．“經(jīng)過已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據(jù)中不含有（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．全等三角形的對應(yīng)角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】C【分析】根據(jù)題意知，作圖依據(jù)有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)確定一條直線，直接判斷即可．【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；結(jié)合該全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，故B正確；作射線CG，利用兩點(diǎn)確定一條直線，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作一個(gè)角等于已知角和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確作圖原理，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．11．如圖，在外找一個(gè)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），并以為一邊作，使之與全等，且不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題是開放題，要想使△A′BC與△ABC全等，先確定題中條件，再對應(yīng)三角形全等條件求解．【詳解】解：如圖：以B點(diǎn)為圓心，CA為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，BA為半徑上下畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)、；以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧，以B點(diǎn)為圓心，BA為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)得到點(diǎn)，所以符合條件的點(diǎn)A′有3種可能的位置．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定綜合．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法去求證．12．如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，就是的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)，，可得到，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得．在這個(gè)過程中，得到的條件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【分析】由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．13．如圖，為等邊三角形，要在外部取一點(diǎn)，使得和全等，下面是兩名同學(xué)做法：（）甲：①作的角平分線；②以為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；乙：①過點(diǎn)作平行于的直線；②過點(diǎn)作平行于的直線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．A．兩人都正確 B．兩人都錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確【答案】A【分析】根據(jù)題意先畫出相應(yīng)的圖形，然后進(jìn)行推理論證即可得出結(jié)論．【詳解】甲的作法如圖一：∵為等邊三角形，AD是的角平分線∴由甲的作法可知，在和中，故甲的作法正確；乙的作法如圖二：在和中，故乙的作法正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要借助尺規(guī)作圖考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題14．如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑在內(nèi)畫弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；④作射線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為_______．【答案】．【分析】根據(jù)作圖可知∠PBC=∠C=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC=75°，即可求的度數(shù)．【詳解】解：由作圖可知，∠PBC=∠C=45°，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角和三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是理解作圖方法，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角．三、解答題15．尺規(guī)作圖：如圖，已知點(diǎn)為直線外一點(diǎn)，求作直線，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】作直線交于，作即可．【詳解】解：如圖，直線即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．16．作圖題（1）如圖，已知線段m，n．求作△ABC，請?jiān)谟颐娴目瞻滋幾鳌鰽BC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）婷婷將（1）中自己畫的△ABC剪下來，放在同桌悅悅所畫的△ABC上，發(fā)現(xiàn)兩三角形完全重合，這一過程驗(yàn)證了三角形全等的哪一種判定定理：（直接寫出答案，不寫過程）．【答案】（1）見解析；（2）HL【分析】（1）①用直尺任意畫一條線，用圓規(guī)的兩腳量取等于長度的線段，交直線與A、C兩點(diǎn)；②以C為圓心，任意長半徑作圓；③分別以圓與直線的交點(diǎn)為圓心，畫兩個(gè)等圓，連接兩個(gè)等圓的交點(diǎn)，可作出直線的垂線；④以A為圓心，線段長為半徑作圓，交垂線于點(diǎn)B；⑤連接AB即可（2）根據(jù)兩個(gè)直角三角形對應(yīng)的斜邊和一條直角邊相等即可得到結(jié)論【詳解】（1）如圖，步驟①用直尺任意畫一條線，用圓規(guī)的兩腳量取等于長度的線段，交直線與A、C兩點(diǎn)；②以C為圓心，任意長半徑作圓；③分別以圓與直線的交點(diǎn)為圓心，畫兩個(gè)等圓，連接兩個(gè)等圓的交點(diǎn)，可作出直線的垂線；④以A為圓心，線段長為半徑作圓，交垂線于點(diǎn)B；⑤連接AB即可（2），在中，直角邊，斜邊在兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等可用證明兩個(gè)三角形全等【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，以及全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是掌握垂線的畫法，以及全等三角形的判定定理．17．尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a，b，c，求作，使，，（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】首先作線段BD=a，在BD上截取AD=b，再分別以A、B為圓心，b，c為半徑畫弧，兩弧相交點(diǎn)C，連接BC，AC，則△ABC即為所求作．【詳解】解：如圖，為所作．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是作出線段．18．尺規(guī)作圖：已知和線段，求作，使．（作圖痕跡要清晰規(guī)范，不要求作圖步驟）【答案】見解析．【分析】利用基本作圖來解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．【詳解】解：如圖，為所作．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖問題，掌握尺規(guī)作圖中的基本作圖，會用基本作圖解決問題是解題關(guān)鍵．19．已知：兩邊及其夾角，線段，，．求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．請你根據(jù)所學(xué)的知識，說明尺規(guī)作圖作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的______．【答案】作圖見解析；SSS，SAS．【分析】（1）首先根據(jù)一個(gè)角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的兩邊分別截取BC=a，AB=c，再連接AC；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理可得．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）尺規(guī)作圖作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的SAS．【點(diǎn)睛】本題主要考查用尺規(guī)作三角形，全等三角形的判定定理，關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．20．尺規(guī)作圖題已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．（注：不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析【分析】先作∠ECF=，在射線CF上截取點(diǎn)B，使，以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射線CE于點(diǎn)A，連接AB即可．【詳解】解：先作∠ECF=，在射線CF上截取點(diǎn)B，使，以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射線CE于點(diǎn)A，連接AB，如圖所示，即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查的是作直角三角形，掌握作角等于已知角和作線段等于已知線段是解決此題的關(guān)鍵．21．已知線段a和∠α，按要求作圖：作一個(gè)△ABC，使AB=2a，BC=3a，∠ABC=∠α．（保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）【答案】作圖見解析【分析】可作∠ABC=∠α，然后在∠ABC的兩邊上分別截取BC=3a，BA=2a,連接AC即可．【詳解】解：如圖，22．小剛自己研究了用直尺、圓規(guī)平分一個(gè)已知角的方法：（1）在OA和OB上分別截?。?）分別以D，E為圓心，以大于DE長為半徑作弧，在的內(nèi)部兩弧交于點(diǎn)C．（3）作射線OC，則有．你能指出作法中的道理嗎？【答案】見解析【分析】利用畫法得到OE=OD，CE=CD，加上OC為公共邊，可根據(jù)“SSS”證明△COD≌△COE，據(jù)此可以得∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC為公共邊，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖以及全等三角形的判定，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．23．已知：如圖1，在中，．求作：射線，使得．下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖2，①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；④作射線．所以射線就是所求作的射線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接，．，，．__________，__________，（__________）（填推理的依據(jù)）．【答案】（1）見解析；（2），，同位角相等兩直線平行【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）如圖，射線即為所求作．（2）連接，．，，．，，（同位角相等兩直線平行）．故答案為：，，同位角相等兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．24．如圖，在中，，點(diǎn)在上．請用尺規(guī)作圖法在上求作一點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】答案見詳解．【分析】利用作一個(gè)角等于已知角確定以A與P圓心,，以同樣長度為半徑，再以EF為半徑，以點(diǎn)G為圓心畫弧交前弧于H，作射線PH交AC與D得出即可．【詳解】解：以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑，畫弧交AP于E，AB與F，以P為圓心，以AE長為半徑畫弧交PC與G，以G為圓心，以EF長為半徑，畫弧，交前弧于H，過H作射線PH交AC于D，即可得出．如圖所示：則點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角，熟練掌握相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．25．如圖，B，C分別為射線的端點(diǎn)，連接，按要求完成下列各小題．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，標(biāo)明各頂點(diǎn)字母）

（1）在的右側(cè)，作，交射線于點(diǎn)E；（2）在（1）的條件下，求作（點(diǎn)F在內(nèi)）使得．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用基本作圖作出∠BCE；（2）分別以C、B點(diǎn)為圓心，BE、CE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，則△CBF為所作．【詳解】解：（1）如圖，為所作；（2）如圖，為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖．26．求證：全等三角形的對應(yīng)角平分線相等．（1）在圖②中，作出相應(yīng)的角平分線,保留作圖痕跡；（2）根據(jù)題意，寫出已知、求證，并加以證明?！敬鸢浮浚?）見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法即可求解；（2）根據(jù)已知條件證明△ABD≌△A’B’D，故可得到AD=A’D’，即全等三角形的對應(yīng)角平分線相等．【詳解】（1）如圖，A’D’即為所求；（2）已知，△ABC≌△A’B’C’,AD，A’D’分別是△△ABC，△A’B’C’的角平分線；求證：AD=A’D’；證明：∵△ABC≌△A’B’C’∴AB=A’B’,∠B=∠B’，∠BAC=∠B’A’C’∵AD，A’D’分別是△△ABC，△A’B’C’的角平分線∴∠BAD=∠B’A’D’∴△ABD≌△A’B’D（ASA）∴AD=A’D’即全等三角形的對應(yīng)角平分線相等．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．27．嘉淇同學(xué)要證，她先用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與射線相交于點(diǎn)，連接；③過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．并寫出了如下不完整的已知和求證．（1）在方框中填空，以補(bǔ)全已知和求證；（2）按嘉淇的想法寫出證明過程．【答案】（1）BE；BF；（2）見解析【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧得到BC=BE，根據(jù)題目第一句話得AE=BF；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEB=∠FBC，然后根據(jù)AAS證明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）∵以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧

∴BC=BE

根據(jù)已知條件第一句話，得到AE=BF

故答案為：BE；BF；（2）證明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC．∵以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，∴BE=BC，在△ABE與△FCB中，∴△ABE≌△FCB，∴AE=BF【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，和三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定條件，和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．28．如圖所示，已知△ABC.（1）用直尺和圓規(guī)作∠A的平分線和邊BC的垂直平分線；（要求：不寫作法，但需要保留畫圖痕跡）（2）設(shè)（1）中的和直線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)F.請你探究BE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【答案】（1）見解析（2）BE=CF.【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AB、AC相交，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們長度的為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A與交點(diǎn)作射線即為∠A的平分線；分別以點(diǎn)B、C為圓心，以大于BC長度為半徑畫弧，在BC的兩邊分別相交于一點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線即為BC的垂直平分線；

（2）結(jié)論BE=CF．利用全等三角形的性質(zhì)即可證明.【詳解】解：（1）（2）BE=CF.連接PB和PC∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF.∵l2垂直平分BC邊,∴PC=PB.由HL證明△PFC≌△PEB∴BE=CF.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖與線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握作圖與線段垂直平分線的性質(zhì).29．尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．（作圖原理）在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()（回顧思考）還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個(gè)問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，OC長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，____________________；（4）過點(diǎn)畫射線，則．說理：由作法得已知：求證：證明：()所以()（小試牛刀）請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線，使得．（創(chuàng)新應(yīng)用）現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個(gè)常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個(gè)圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．【答案】【作圖原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顧思考】作法：以點(diǎn)為圓心，以CD為半徑畫弧，與第二步中所畫的弧相交于；說理：SSS，全等三角形對應(yīng)角相等；【小試牛刀】答案見解析；【創(chuàng)新應(yīng)用】答案見解析．【分析】[作圖原理]根據(jù)五種基本作圖判斷即可；[回顧思考]利用全等三角形的判定解決問題即可；[小試牛刀]利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；[創(chuàng)新應(yīng)用]答案不唯一，畫出圖形，說明設(shè)計(jì)意圖即可．【詳解】解：[作圖原理]：（1）過一點(diǎn)作一條直線．可以求作；（2）過兩點(diǎn)作一條直線．可以求作；（3）畫一條長為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線OA，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C；（3）以點(diǎn)C為圓心，以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D畫射線OB，則∠AOB＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，求證：∠AOB＝∠AOB．證明：在△OCD和△OCD中，∴△OCD≌△OCD（SSS），∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；[創(chuàng)新應(yīng)用]：如圖所示（答案不唯一），設(shè)計(jì)意圖：書架中隱藏著無限寶藏，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．30．動手操作：

如圖,已知AB∥CD,點(diǎn)A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn),再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧，兩