2023年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)圓（教案三）

2023年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)圓（精華版教案三）

教學(xué)內(nèi)容

1.圓的有關(guān)概念.

2.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，?并且平分弦所對(duì)的兩

條弧及其它們的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些

實(shí)際問(wèn)題.

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概念.利

用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.通過(guò)

復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解.

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題（提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)）

1.舉出生活中的圓三、四個(gè).

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（1）如車(chē)輪、杯口、時(shí)針等.（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn),

固定一個(gè)長(zhǎng)度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓.

二、探索新知

從以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出:

在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，?另一個(gè)端點(diǎn)所

形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.

以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“。0"，讀作''圓0”.

學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離有什么規(guī)律？

問(wèn)題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？

老師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié).

（1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r）；

（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有

到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.

同時(shí)，我們又把

①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC,AB；

②經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；

③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作AC”,

讀作“圓弧AC”或“弧AC”.大于半圓的?。ㄈ鐖D所示ABC叫做優(yōu)弧，?小于

半圓的?。ㄈ鐖D所示）AC或叫做劣弧.

④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？?你能找到多少條對(duì)稱(chēng)

軸？

2.你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流.

（老師點(diǎn)評(píng)）1.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直徑，?我能找到無(wú)數(shù)多條

直徑.

3.我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題的.

因此，我們可以得到：

圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線.

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：

如圖，AB是。。的一條弦，作直徑CD,使CDJ_AB,垂足為M.

（1）如圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么？

（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由.

（老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直徑CD平分弦AB,并且平分A6

及ADB.

這樣，我們就得到下面的定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

下面我們用邏輯思維給它證明一下:

已知：直徑CD、弦AB且CDJ_AB垂足為M

求證：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等.因此，只

要連結(jié)OA、?0B或AC、BC即可.

證明：如圖，連結(jié)OA、0B,則OA=OB

C

在RtAOAM和RtAOBM中

OA^OB（|o）

OM^OM\/

ARtAOAM^RtAOBM

，AM=BM

.?.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)

???（30關(guān)于直徑CD對(duì)稱(chēng)

...當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AC與重合，AD與BD

重合.

AAC^BC,AD=BD

進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條菰廠

（本題的證明作為課后練習(xí)）

例L如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中C。，點(diǎn)0是C。的圓

心，.其中CD=600m,E為上一點(diǎn)，K0E1CD,垂足為F,EF=90m,求這

段彎路的半徑.

分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，這種用代

數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

解：如圖，連接0C

設(shè)彎路的半徑為R，則0F=(R-90)m?

V0E1CDA

ACF=-CD=-X600=300(m)D

22U

根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(R-90)2解得R=545

這段彎路的半徑為545m.

三、鞏固練習(xí)

教材P86練習(xí)P88練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬

AB=?60m,水面到拱頂距離CD=18m,當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬MN=32m時(shí)是否

需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬MN=32m?是否需要采取緊急措施，?只

要求出DE的長(zhǎng)，因此只要求半徑R,然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.

解：不需要采取緊急措施D

MEN

設(shè)OA=R,在RtAAOC中，AC=30,CD=18

A---------------B

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324'

解得R=34(m)

連接OM,設(shè)DE=x,在RtZ\MOE中，ME=16

342=162+(34-x)2

162+342-68X+X2=342X2-6