2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課第二章直線和圓的方程典型例題講解含解析

Page48第二章直線和圓的方程典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：直線的傾斜角和斜率高頻考點二：兩條直線的位置關(guān)系（平行，垂直）高頻考點三：直線的方程高頻考點四：直線過定點問題高頻考點五：點到直線的距離高頻考點六：對稱問題高頻考點七：根據(jù)對稱性求最值高頻考點八：圓的方程高頻考點九：與圓有關(guān)的最值問題高頻考點十：軌跡方程高頻考點十一：直線與圓相交的弦長問題高頻考點十二：過定點的直線和圓相交的判定與最短弦長問題高頻考點十三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長高頻考點十四：直線與圓的綜合問題一、基本概念回歸知識回顧1：直線傾斜角的定義以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.知識回顧2：直線的斜率2.1傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即2.2如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：知識回顧3：兩條直線平行兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.知識回顧4：兩條直線垂直兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．知識回顧5：直線方程5.1直線的點斜式方程:直線過點和斜率（已知一點+斜率）:5.2直線的斜截式方程:直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）:5.3直線的截距式方程:直線在軸上的截距為，在軸上的截距為:5.4直線的一般式方程:定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.知識回顧6：直線系方程6.1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個條件來確定的值.6.2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定的值.知識回顧7：兩條直線的交點坐標直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應(yīng).與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；與平行方程組無解；與重合方程組有無數(shù)個解.知識回顧8：距離8.1兩點間的距離公式：平面上任意兩點，間的距離公式為特別地，原點與任一點的距離.8.2點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.8.3兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.知識回顧9：圓的方程9.1圓的標準方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.9.2圓的一般方程對于方程（為常數(shù)），當時，方程叫做圓的一般方程.①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當時，方程表示一個點③當時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.知識回顧10：點與圓的位置關(guān)系判斷點與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內(nèi)（2）代數(shù)法將點帶入：方程內(nèi)①點在外②點在上③點在內(nèi)知識回顧11：直線與圓的位置關(guān)系11.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。11.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離記直線被圓截得的弦長為的常用方法知識回顧12：直線與圓相交弦長12.1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：12.2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識回顧13：圓與圓的位置關(guān)系13.1幾何法設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當時，兩圓相交；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓外離；④當時，兩圓內(nèi)切；⑤當時，兩圓內(nèi)含.13.2代數(shù)法設(shè)::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設(shè)設(shè)相交②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）知識回顧14：圓與圓的公共弦14.1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.14.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：直線的傾斜角和斜率1．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高二開學(xué)考試）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】易得斜率必存在，設(shè)的傾斜角為且，由可得斜率，因為，所以，所以，即，所以故選：C2．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若過點的直線與以點為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，易得，，又因為，所以，所以所求直線的傾斜角的取值范圍為.故選：A..3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：和點，，若l與線段相交，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【詳解】由直線：可知直線必過定點，且直線的斜率為，如下圖所示：由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若點在函數(shù)的圖像上，當時，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題設(shè)，表示上對應(yīng)點與所成直線的斜率范圍，如圖，，則，，故的取值范圍是.故答案為：5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍．【答案】;.【詳解】因為，，由與線段相交，所以，所以或，由于在及均為增函數(shù)，所以直線的傾斜角的范圍為：.故傾斜角的范圍為，斜率k的范圍是.高頻考點二：兩條直線的位置關(guān)系（平行，垂直）1．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）是直線和平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當時，直線和分別為：和，顯然，兩直線平行；當直線和平行時，有成立，解得或，當時，兩直線為和，顯然，兩直線不重合是平行關(guān)系；當時，兩直線為和，顯然，兩直線不重合是平行關(guān)系；由此可判斷是直線和平行的充分不必要條件，故選：A.2．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知直線：，與：平行，則a的值是（

）A．3 B． C．3或 D．3或5【答案】D【詳解】由解得或，當時，直線：，直線：，有，當時，直線：，直線：，有，所以a的值是3或5.故選：D3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線：與直線：相交，則m的取值范圍為______．【答案】【詳解】若與平行，則，可得，所以要使與有交點，則.故答案為：4．（2022·陜西漢中·高一期末）若直線與直線平行，則__________.【答案】【詳解】由直線與直線平行，可得:，解得，所以，.故答案為：5．（2022·重慶八中高二期末）若直線與直線垂直，則_______.【答案】##0.5【詳解】直線：的斜率為，直線：與直線：垂直時，，解之得，故答案為：.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線和直線互相垂直，求的取值范圍．【答案】【詳解】因為，所以，所以，因為，所以．因為，所以，所以，故的取值范圍為．7．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）設(shè)m為實數(shù)，已知兩條直線，.當m為何值時，與：(1)相交？(2)平行？【答案】(1)且；(2).(1)若兩直線相交，則，即且.(2)若兩直線平行，則，即或.當時，，，滿足題設(shè)；當時，，，即兩線重合，不合題設(shè)；所以.高頻考點三：直線的方程1．（多選）（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與軸和軸圍成一個內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】解：由題意，直線的傾斜角可以是或或或，所以直線的斜率或或或，所以直線的方程可以為或或或，由，整理得，此時直線過原點，無法與軸和軸圍成直角三角形.故選：ABC.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線過點，且與直線：的夾角為，則直線的方程為______．【答案】或【詳解】由題設(shè)，直線斜率為，則其傾斜角為，所以直線的傾斜角為或，且過，故直線的方程為或，即或.故答案為：或3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過點，則直線l的方程為______．【答案】【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，且，所以，所以可得直線l的方程為，即．故答案為：.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點且與直線成角的直線的一般式方程是______．【答案】或【詳解】由直線方程，可得此直線的斜率為，傾斜角為，則與該直線成角的直線的傾斜角為或，又因為所求直線過點，所以所求直線方程為或，即或．故答案為：或5．（2022·全國·高二）經(jīng)過點）且在x軸上的截距為3的直線方程是______．【答案】【詳解】當斜率不存在時，直線為：，橫截距為-1，不符合題意；當斜率存在時，設(shè)其為k，直線可設(shè)為：.由在x軸上的截距為3，可得：，解得：，所以直線方程為：.故答案為：.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l的方程為．(1)若直線l在x軸上的截距為-3，求m的值；(2)若直線l的傾斜角為，求m的值．【答案】(1)；(2)（1）由題意得,解得，故當時，直線l在x軸上的截距為-3；（2）由題意得，解得，故當時，直線l的傾斜角為45°7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l的斜率為，與y的正半軸有交點且與坐標軸圍成的三角形的周長是30，求直線l的方程．【答案】.【詳解】依題意，設(shè)直線l與y軸交于點，則直線交x軸于點，即有，則有，解得，所以直線l的方程為，即.8．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）設(shè)直線的方程為.(1)若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若直線與軸?軸分別交于點，求（為坐標原點）面積的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最小值為，此時直線的方程為（1）直線的方程可化為，因為不過第二象限，所以，解得，從而的取值范圍為（2）直線的方程可化為，所以，從而，當且僅當，即時等號成立，因此面積的最小值為，此時直線的方程為高頻考點四：直線過定點問題1．（2022·江蘇·徐州華頓學(xué)校高二階段練習(xí)）直線，當變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】直線可以為，表示過點，斜率為的直線，所以所有直線都通過定點為.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是直線上任意一點，則直線恒過定點的坐標為______．【答案】【詳解】由題可得，∴，∴直線，可化為，即，由，可得，故直線直線恒過定點.故答案為：.3．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）無論實數(shù)k取何值，直線都恒過定點，則該定點的坐標為___________.【答案】【詳解】方程可化為，令，解得，即直線恒過點.故答案為：高頻考點五：點到直線的距離1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）點到直線的距離大于5，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為點到直線的距離大于5，所以，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足，那么的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【詳解】解：可以看作直線上的動點與原點的距離的平方，又原點與該直線上的點的最短距離為原點到該直線的距離，則的最小值為，故選：A3．（2022·四川·仁壽一中高二開學(xué)考試）若點P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，則a＝（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【詳解】解：點P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，可得3，解得a＝2，故選：A．4．（2022·全國·高二單元測試）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：，當變化時，動直線始終沒有經(jīng)過點P，定點Q的坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由原點O到直線：的距離為，可知直線是單位圓的切線，又動直線始終沒有經(jīng)過點，所以點在該單位圓內(nèi)，，，即的取值范圍為.故選：D．5．（2022·四川瀘州·高一期末）若點到直線的距離等于4，則的值為___________.【答案】或【詳解】直線，化為一般式方程為，又點到直線的距離等于4，所以，所以，解得：或.故答案為：或.6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）點到直線的距離的取值范圍為____．【答案】【詳解】記為點到直線的距離，則，其中；當變化時，的最大值為5，最小值為，則的最大值為的最小值為，即距離的取值范圍為.故答案為：.7．（2022·全國·高二期末）設(shè)直線，為直線上動點，則的最小值為______．【答案】【詳解】記點，設(shè)，則.要求的最小，只需最小，即為點到直線的距離，所以，所以的最小值為.故答案為：.高頻考點六：對稱問題1．（2022·全國·高二單元測試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【詳解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．故選：B．2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.3．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）已知直線．若直線與關(guān)于l對稱，則的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：若直線與關(guān)于l對稱，則直線，l的交點在直線上，即，解得：在直線上任取一點關(guān)于直線l對稱的點為，則點B在直線上，由A,B兩點可知，直線的斜率為，則直線的方程為：即故選：C4．（多選）（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）一光線過點（2，4），經(jīng)傾斜角為135°的直線l：反射后經(jīng)過點（5，0），則反射光線還經(jīng)過下列哪些點（

）A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）【答案】AD【詳解】由題意知，，設(shè)點（2，4）關(guān)于直線的對稱點為（m，n），則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，所以當x＝13時，y＝1；當x＝14時，，故選：AD5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為______．【答案】【詳解】解：設(shè)直線上任意一點，關(guān)于直線對稱的對稱點為，則，所以，代入，得，即，故答案為：.6．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【答案】.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：7．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，，則關(guān)于對稱的直線方程為_____.【答案】【詳解】聯(lián)立，解得，∴直線與的交點坐標為，在直線上任取一點，其關(guān)于直線的對稱點為，由點和點，可得，即．故答案為：．高頻考點七：根據(jù)對稱性求最值1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，，動點P在直線上，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則，則的最小值是.故選：C2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））在平面直角坐標系中，A（0，1），B（0，4），C是直線上的一動點，M是圓上一點，則當最小時，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作A關(guān)于直線的對稱點，可得（1，0），則，解得當C（，）時取等號，所以．故選：A．3．（2022·全國·高二單元測試）已知點、，點是軸上的點，當最小時的點的坐標為______．【答案】【詳解】關(guān)于軸對稱的點為，則，即當三點共線時，取得最小值；直線方程為：，即，令得：，當最小時，點的坐標為.故答案為：.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，點在軸上，點在直線上，則的周長的最小值為______．【答案】【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，如圖所示，連接交于點，交軸于點，由對稱性可知，，所以，，當且僅當、、、四點共線時，等號成立，因為點與關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以．因為與關(guān)于軸對稱，所以，所以的周長的最小值為．故答案為：.5．（2022·四川達州·高一期末（理））在直角坐標系中，若、、，則的最小值是______．【答案】【詳解】由題意可知，點在軸上，點關(guān)于軸的對稱點為，由對稱性可得，所以，，當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.6．（2022·江蘇南京·高二開學(xué)考試）在直線上一點P到點A（-3，0），B（1，4）兩點距離之和最小，則點P的坐標為___________.【答案】【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，連接，則，當且僅當三點共線時等號成立.而，解得，故，故直線，故當取最小值時，的橫坐標為1，故其縱坐標為3，即.故答案為：.高頻考點八：圓的方程1．（2022·江蘇·徐州華頓學(xué)校高二階段練習(xí)）以兩點A(1，0)和B(3，0)為直徑端點的圓的標準方程是______________.【答案】【詳解】圓心坐標為，即.，所以圓的半徑為，所以所求的圓的標準方程為.故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點，且與已知圓切于點的圓的方程為______.【答案】【詳解】設(shè)所求圓心，半徑為，因為到點與點的距離相等，所以點在線段的垂直平分線上，因為，，垂直平分線方程為，所以，即圓的標準方程為，其圓心為，而三點共線，所以，解得，即，圓的標準方程為.故答案為：3．（2022·全國·高二單元測試）若，，則以為直徑的圓的標準方程是______．【答案】【詳解】以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則以為直徑的圓的標準方程是故答案為：4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點，圓心為的圓的標準方程是______.【答案】【詳解】由題意可知，所求圓的半徑長為，因此，所求圓的標準方程為.故答案為：.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求經(jīng)過直線與圓的交點，且面積最小的圓的一般方程．【答案】【詳解】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，此時圓心為，當圓心在直線上時，圓的半徑最小，此時圓的面積最小，所以，得，所以所求的圓方程為．6．（2022·河南·南陽中學(xué)高二開學(xué)考試）已知的頂點，直角頂點為，頂點在軸上，求：(1)頂點的坐標；(2)外接圓的一般方程.【答案】(1)(2)（1）設(shè)頂點，顯然直線斜率均存在，由題意得，且，所以，解得，所以頂點；（2）設(shè)外接圓的方程為，由題意知，解得，7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求滿足條件的圓的標準方程：(1)已知，，以為直徑；(2)圓心為點且與直線相切.【答案】(1)(2)（1）圓心為的中點，半徑為，所以圓的標準方程為.（2）點C到直線的距離為，所以圓的標準方程為.8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程.(1)圓心為點，且與直線相切；(2)已知、，以線段AB為直徑.【答案】(1)(2)（1）因為圓心為點，且與直線相切，則所求圓的半徑等于圓心到直線的距離，所以半徑為，則所求圓的標準方程為（2）因為點、，所以線段的中點坐標為，即，所以圓心為，，即半徑為，所以圓的標準方程為.高頻考點九：與圓有關(guān)的最值問題1．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）已知直線是圓的一條對稱軸，則ab的最大值為______．【答案】##0.25．【詳解】圓的圓心，因為直線是圓的一條對稱軸，故直線經(jīng)過圓心，即得，則，當且僅當時取等號，所以ab的最大值為．故答案為：.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓關(guān)于直線對稱，設(shè)點，若點Q是圓C上任意一點，則的最小值是______．【答案】##【詳解】圓化為，圓的圓心坐標為，半徑為．圓關(guān)于直線對稱，所以在直線上，可得，即．圓心到直線的距離為，的最小值是．故答案為：．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當與該曲線相切時，點到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點，須得，即.故答案為：.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為_______.【答案】【詳解】設(shè)，，所以，又，所以.因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為，當且僅當三點共線時取等.故答案為：.所以外接圓的一般方程為.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足，求：(1)的最小值；(2)的最大值．【答案】(1)(2)（1）由題意，圓的標準方程為．令，當直線與圓相切時，取得最值，則，解得或．所以的最小值為．（2）令，則表示點到點距離的平方，因為圓上的點到原點距離最大值為，所以．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為圓：上任意一點，點.(1)若在圓上，求線段的長及直線的斜率；(2)求的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)，（1）因為點在圓上，所以，即，解得a＝4，所以P（4，5）.所以，PQ的斜率.（2）圓的圓心，半徑，則.所以，.高頻考點十：軌跡方程1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）動圓與x軸相切，且被直線所截得的弦長為2，則動圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【詳解】設(shè)動圓圓心為，由動圓與x軸相切可知，動圓半徑為，又動圓被直線所截得的弦長為2，則，即，化簡可得，將方程中的a,b換為x,y,則動圓圓心的軌跡方程是，故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C：0內(nèi)有一點Q（4，2），A、B為圓上兩動點，且滿足∠AQB＝90°．求弦AB中點M所在的圓的方程．【答案】【詳解】解法一：連接QM，CM，BC．的圓心為，半徑，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：，垂徑定理得：因為所以，設(shè)，則代入坐標即得，整理得：．解法二：設(shè)，，，根據(jù)條件得③＋④＋⑤×2并代入①②即得：．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面上有兩個不同的定點、，這兩點距離為定值．求證：到定點的距離與到定點的距離之比為定值的點的軌跡是一個圓．【答案】證明見解析【詳解】證明：以所在直線為軸，中點為原點建立坐標系，則、，設(shè)滿足條件的點為點，則，整理可得，因為，所以點的軌跡是一個圓．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓上一定點，點為圓內(nèi)一點，為圓上的動點（三點均不重合）．(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)若，求線段的中點的軌跡方程．【答案】(1)(2)（1）設(shè)線段中點為，，，則；在圓上，，整理得：，即線段的中點的軌跡方程為：.（2）設(shè)線段的中點為，，；，，，即，整理可得：，即線段的中點的軌跡方程為：.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．(1)求線段AB的中點P的軌跡的方程；【答案】(1)(2)（1）解：設(shè)點P的坐標為，點A的坐標為，由于點B的坐標為，且點P是線段AB的中點，所以，．于是有，．①因為點A在圓上運動，所以點A的坐標滿足方程，即．②把①代入②，得，整理，得，所以點P的軌跡的方程為．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.求點的軌跡方程；【答案】【詳解】設(shè)線段中點為，點，，，，，又因為點A在圓上，，即點C的軌跡方程為：.7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若動直線和圓相交于、兩點，則弦的中點坐標所滿足的等式為______．【答案】【詳解】對于直線，由可得，即直線過定點，設(shè)線段的中點為，圓的圓心為原點，由垂徑定理可知，則，即，即，作出圓與圓的圖形如下圖所示：因為直線的斜率存在，所以，點不在軸上，故.所以，弦的中點坐標所滿足的等式為.故答案為：.高頻考點十一：直線與圓相交的弦長問題1．（2022·湖南衡陽·高二期末）直線：被圓：截得的弦長為_____________.【答案】【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為6，因為圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長為.故答案為：2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線與圓的一個交點在x軸上，則l被C截得的弦長為______．【答案】##【詳解】由題意得，直線與軸的交點為，則點在圓上，即，解得，則，圓心到的距離為，則l被C截得的弦長為.故答案為：.3．（多選）（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)a的值為（

）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【詳解】由圓的方程可知圓心坐標為，半徑.又直線被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離.又，所以，解得或.故選：AB4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）不經(jīng)過坐標原點的直線被曲線截得的弦長為，則m的值為______．【答案】-4【詳解】由題意知曲線C是圓心坐標為（1，1），半徑為2的圓，∴圓心到直線l的距離，∴，解得或．∵直線不經(jīng)過坐標原點，∴，故答案為：-4.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C與x軸相切，圓心在直線上，且直線被圓C截得的弦長為，則圓C的方程為______．【答案】或【詳解】因為圓C與x軸相切，且圓心C在直線上，故設(shè)圓C的方程為．又因為直線被圓C截得的弦長為，所以，解得，故所求圓C的方程為或．故答案為：或6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））直線與圓C：相交于M，N兩點，則______．【答案】4【詳解】解：圓C：，其圓心坐標為，半徑為3．圓心到直線2x－y＋1＝0的距離，則．故答案為:4.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點，若，則直線l的方程為___________.【答案】或【詳解】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，由，得或，此時，符合題意.當直線l的斜率存在時，設(shè)直線，因為圓的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離.因為，所以，解得，所以直線l的方程為，即.綜上，直線l的方程為或.故答案為：或高頻考點十二：過定點的直線和圓相交的判定與最短弦長問題1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））若直線與圓交于、兩點，則弦長的最小值為___________.【答案】【詳解】直線的方程可化為，由，得，所以，直線過定點，因為，即點在圓內(nèi)，圓的圓心為原點，半徑為，當時，圓心到直線的距離取得最大值，此時取最小值，故.故答案為：.2．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）直線與圓相交于A，B兩點，則的最小值為__________.【答案】【詳解】由，得，由，得直線過定點，且在圓的內(nèi)部，由圓可得圓心，半徑，當時，取得最小值，圓心與定點的距離為，則的最小值為.故答案為：.3．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線：與圓：相交于，兩點，則弦長的最小值為___________.【答案】【詳解】由可得：，由可得，所以直線過定點，由可得，所以圓心，半徑，因為，所以點在圓內(nèi)部，所以當直線與垂直時，最小為，故答案為：.4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））圓內(nèi)有一點，AB為圓的過點P且傾斜角為的弦．(1)當時，求的長；(2)當弦AB最短時，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)(1)直線AB的斜率，圓的半徑．則直線AB的點斜式方程為，即．則圓心到直線AB的距離．由垂徑定理，得，所以,解得．(2)當弦AB最短時，P為AB的中點，由題意，則．則直線AB的點斜式方程為，即．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l過點交圓于A、B兩點．(1)當直線l的傾斜角為時，求的長；(2)當最小時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)（1）圓的圓心，半徑因為直線l的斜率為，則過點的直線l的方程為，即，則圓心到直線l的距離，所以．（2）由題知，當直線時，最小，此時，故直線l的方程為，即．高頻考點十三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長1．（2022·江蘇·高二）已知的圓心在軸上，半徑為1，且過點，，則與的公共弦長為___________.【答案】##【詳解】根據(jù)題意設(shè)圓的方程為，則有，解得，所以圓的方程為，即①，將圓化為一般方程得：②，①-②得公共弦所在直線l的方程為：，則圓心到直線l的距離，所以公共弦.故答案為：2．（2022·山西臨汾·一模（理））已知圓O的直徑，動點M滿足，則動點M的軌跡與圓O的公共弦長為___.【答案】##【詳解】解：如圖所示，以點O為圓心建立直角坐標系，所以,設(shè)，因為，所以，所以，（1）所以點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓.又圓方程為，（2）所以（1）-（2）得兩圓的公共弦方程為，所以.所以動點M的軌跡與圓O的公共弦長為.故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦長為___________.【答案】##【詳解】由題得兩圓的公共弦直線的方程為，圓的圓心為（1,2），半徑為3，所以圓心到直線的距離為.所以公共弦長為.故答案為：4．（2022·福建福州·高二期末）圓的圓心為，且過點．(1)求圓的標準方程；(2)直線：與圓交兩點，且，求．【答案】(1)(2)或（1）解：因為圓的圓心為，且過點,所以半徑，所以，圓的標準方程為（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，因為所以，解得所以，由圓心到直線距離公式可得．解得或．5．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓：，直線：.(1)求圓的圓心及半徑；(2)求直線被圓截得的弦的長度.【答案】(1)，(2)（1）解：圓：整理得，圓心，半徑為；（2）解：圓心到直線：的距離，所以弦的長度.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓與y軸相切于點，圓心在經(jīng)過點與點的直線l上．(1)求圓的方程；(2)若圓與圓相交于M，N兩點，求兩圓的公共弦長．【答案】(1)(2)（1）經(jīng)過點與點的直線l的方程為，即，因為圓與y軸相切于點，所以圓心在直線上，聯(lián)立解得可得圓心坐標為，又因為圓與y軸相切于點，故圓的半徑為4，故圓的方程為．（2）圓的方程為，即，圓，兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心到直線的距離，所以兩圓的公共弦長為．7．（2022·全國·高二期中）已知圓，圓，證明圓與圓相交，并求圓與圓的公共弦所在直線的方程．【答案】證明見解析，公共弦所在直線的方程為.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心為，半徑；圓的標準方程為，所以圓心為，半徑.兩圓圓心距，，，所以，圓和圓相交.將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為.高頻考點十四：直線與圓的綜合問題1．（2022·江西·新余市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）在平面直角坐標系中，過點且互相垂直的兩條直線分別與圓：交于點A，，與圓：交于點，.(1)若，求直線的一般方程；(2)若的中點為，求面積的取值范圍.【答案】(1)或(2)（1）由題可知，，∵，直線斜率顯然存在，設(shè)為，則直線.因為點到直線的距離，∴，∴，由解得.則直線的一般方程為或（2）當直線的斜率不存在時，，則的面積當直線的斜率存在時，設(shè)為，則直線，，直線.此時A到直線CD的距離小于AP，則，解得，所以.因為，所以.因為，則點到直線的距離即點到直線的距離.所以的面積.令，則∵，∴，∴.綜上，面積的取值范