2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課第二章直線和圓的方程典型例題講解含解析

Page48第二章直線和圓的方程典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率高頻考點(diǎn)二：兩條直線的位置關(guān)系（平行，垂直）高頻考點(diǎn)三：直線的方程高頻考點(diǎn)四：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題高頻考點(diǎn)五：點(diǎn)到直線的距離高頻考點(diǎn)六：對(duì)稱問(wèn)題高頻考點(diǎn)七：根據(jù)對(duì)稱性求最值高頻考點(diǎn)八：圓的方程高頻考點(diǎn)九：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題高頻考點(diǎn)十：軌跡方程高頻考點(diǎn)十一：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題高頻考點(diǎn)十二：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題高頻考點(diǎn)十三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)高頻考點(diǎn)十四：直線與圓的綜合問(wèn)題一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：直線傾斜角的定義以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與軸平行或者重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為.知識(shí)回顧2：直線的斜率2.1傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即2.2如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：知識(shí)回顧3：兩條直線平行兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.知識(shí)回顧4：兩條直線垂直兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．知識(shí)回顧5：直線方程5.1直線的點(diǎn)斜式方程:直線過(guò)點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）:5.2直線的斜截式方程:直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）:5.3直線的截距式方程:直線在軸上的截距為，在軸上的截距為:5.4直線的一般式方程:定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式.知識(shí)回顧6：直線系方程6.1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個(gè)條件來(lái)確定的值.6.2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個(gè)條件來(lái)確定的值.知識(shí)回顧7：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)直線：（）和：（）的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng).與相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；與平行方程組無(wú)解；與重合方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解.知識(shí)回顧8：距離8.1兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.8.2點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.8.3兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.知識(shí)回顧9：圓的方程9.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.9.2圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒(méi)有項(xiàng)；③.知識(shí)回顧10：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)知識(shí)回顧11：直線與圓的位置關(guān)系11.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。11.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法知識(shí)回顧12：直線與圓相交弦長(zhǎng)12.1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長(zhǎng)公式：12.2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長(zhǎng)公式：知識(shí)回顧13：圓與圓的位置關(guān)系13.1幾何法設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當(dāng)時(shí)，兩圓相交；②當(dāng)時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)時(shí)，兩圓外離；④當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.13.2代數(shù)法設(shè)::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設(shè)設(shè)相交②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）知識(shí)回顧14：圓與圓的公共弦14.1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.14.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率1．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】易得斜率必存在，設(shè)的傾斜角為且，由可得斜率，因?yàn)?，所以，所以，即，所以故選：C2．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線與以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，易得，，又因?yàn)?，所以，所以所求直線的傾斜角的取值范圍為.故選：A..3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線：和點(diǎn)，，若l與線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【詳解】由直線：可知直線必過(guò)定點(diǎn)，且直線的斜率為，如下圖所示：由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題設(shè)，表示上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與所成直線的斜率范圍，如圖，，則，，故的取值范圍是.故答案為：5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，且直線l與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍．【答案】;.【詳解】因?yàn)?，，由與線段相交，所以，所以或，由于在及均為增函數(shù)，所以直線的傾斜角的范圍為：.故傾斜角的范圍為，斜率k的范圍是.高頻考點(diǎn)二：兩條直線的位置關(guān)系（平行，垂直）1．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）是直線和平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，直線和分別為：和，顯然，兩直線平行；當(dāng)直線和平行時(shí)，有成立，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為和，顯然，兩直線不重合是平行關(guān)系；當(dāng)時(shí)，兩直線為和，顯然，兩直線不重合是平行關(guān)系；由此可判斷是直線和平行的充分不必要條件，故選：A.2．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知直線：，與：平行，則a的值是（

）A．3 B． C．3或 D．3或5【答案】D【詳解】由解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，有，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，有，所以a的值是3或5.故選：D3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線：與直線：相交，則m的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【詳解】若與平行，則，可得，所以要使與有交點(diǎn)，則.故答案為：4．（2022·陜西漢中·高一期末）若直線與直線平行，則__________.【答案】【詳解】由直線與直線平行，可得:，解得，所以，.故答案為：5．（2022·重慶八中高二期末）若直線與直線垂直，則_______.【答案】##0.5【詳解】直線：的斜率為，直線：與直線：垂直時(shí)，，解之得，故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線和直線互相垂直，求的取值范圍．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，故的取值范圍為?．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知兩條直線，.當(dāng)m為何值時(shí)，與：(1)相交？(2)平行？【答案】(1)且；(2).(1)若兩直線相交，則，即且.(2)若兩直線平行，則，即或.當(dāng)時(shí)，，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，，即兩線重合，不合題設(shè)；所以.高頻考點(diǎn)三：直線的方程1．（多選）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與軸和軸圍成一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】解：由題意，直線的傾斜角可以是或或或，所以直線的斜率或或或，所以直線的方程可以為或或或，由，整理得，此時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)，無(wú)法與軸和軸圍成直角三角形.故選：ABC.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，且與直線：的夾角為，則直線的方程為_(kāi)_____．【答案】或【詳解】由題設(shè)，直線斜率為，則其傾斜角為，所以直線的傾斜角為或，且過(guò)，故直線的方程為或，即或.故答案為：或3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，且，所以，所以可得直線l的方程為，即．故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線成角的直線的一般式方程是______．【答案】或【詳解】由直線方程，可得此直線的斜率為，傾斜角為，則與該直線成角的直線的傾斜角為或，又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)，所以所求直線方程為或，即或．故答案為：或5．（2022·全國(guó)·高二）經(jīng)過(guò)點(diǎn)）且在x軸上的截距為3的直線方程是______．【答案】【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為：，橫截距為-1，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，直線可設(shè)為：.由在x軸上的截距為3，可得：，解得：，所以直線方程為：.故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線l的方程為．(1)若直線l在x軸上的截距為-3，求m的值；(2)若直線l的傾斜角為，求m的值．【答案】(1)；(2)（1）由題意得,解得，故當(dāng)時(shí)，直線l在x軸上的截距為-3；（2）由題意得，解得，故當(dāng)時(shí)，直線l的傾斜角為45°7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的斜率為，與y的正半軸有交點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是30，求直線l的方程．【答案】.【詳解】依題意，設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)，則直線交x軸于點(diǎn)，即有，則有，解得，所以直線l的方程為，即.8．（2022·江蘇·連云港高中高二開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線的方程為.(1)若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線與軸?軸分別交于點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為（1）直線的方程可化為，因?yàn)椴贿^(guò)第二象限，所以，解得，從而的取值范圍為（2）直線的方程可化為，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為高頻考點(diǎn)四：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題1．（2022·江蘇·徐州華頓學(xué)校高二階段練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】直線可以為，表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線，所以所有直線都通過(guò)定點(diǎn)為.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是直線上任意一點(diǎn)，則直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由題可得，∴，∴直線，可化為，即，由，可得，故直線直線恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.3．（2022·江蘇·連云港高中高二開(kāi)學(xué)考試）無(wú)論實(shí)數(shù)k取何值，直線都恒過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【詳解】方程可化為，令，解得，即直線恒過(guò)點(diǎn).故答案為：高頻考點(diǎn)五：點(diǎn)到直線的距離1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離大于5，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離大于5，所以，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【詳解】解：可以看作直線上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，又原點(diǎn)與該直線上的點(diǎn)的最短距離為原點(diǎn)到該直線的距離，則的最小值為，故選：A3．（2022·四川·仁壽一中高二開(kāi)學(xué)考試）若點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，則a＝（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【詳解】解：點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，可得3，解得a＝2，故選：A．4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：，當(dāng)變化時(shí)，動(dòng)直線始終沒(méi)有經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由原點(diǎn)O到直線：的距離為，可知直線是單位圓的切線，又動(dòng)直線始終沒(méi)有經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在該單位圓內(nèi)，，，即的取值范圍為.故選：D．5．（2022·四川瀘州·高一期末）若點(diǎn)到直線的距離等于4，則的值為_(kāi)__________.【答案】或【詳解】直線，化為一般式方程為，又點(diǎn)到直線的距離等于4，所以，所以，解得：或.故答案為：或.6．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為_(kāi)___．【答案】【詳解】記為點(diǎn)到直線的距離，則，其中；當(dāng)變化時(shí)，的最大值為5，最小值為，則的最大值為的最小值為，即距離的取值范圍為.故答案為：.7．（2022·全國(guó)·高二期末）設(shè)直線，為直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】記點(diǎn)，設(shè)，則.要求的最小，只需最小，即為點(diǎn)到直線的距離，所以，所以的最小值為.故答案為：.高頻考點(diǎn)六：對(duì)稱問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【詳解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．故選：B．2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.3．（2022·江蘇·連云港高中高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線．若直線與關(guān)于l對(duì)稱，則的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：若直線與關(guān)于l對(duì)稱，則直線，l的交點(diǎn)在直線上，即，解得：在直線上任取一點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)B在直線上，由A,B兩點(diǎn)可知，直線的斜率為，則直線的方程為：即故選：C4．（多選）（2022·江蘇·連云港高中高二開(kāi)學(xué)考試）一光線過(guò)點(diǎn)（2，4），經(jīng)傾斜角為135°的直線l：反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，0），則反射光線還經(jīng)過(guò)下列哪些點(diǎn)（

）A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）【答案】AD【詳解】由題意知，，設(shè)點(diǎn)（2，4）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，所以當(dāng)x＝13時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝14時(shí)，，故選：AD5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：設(shè)直線上任意一點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，代入，得，即，故答案為：.6．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為_(kāi)______________．【答案】.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：7．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為_(kāi)____.【答案】【詳解】聯(lián)立，解得，∴直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上任取一點(diǎn)，其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)和點(diǎn)，可得，即．故答案為：．高頻考點(diǎn)七：根據(jù)對(duì)稱性求最值1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則的最小值是.故選：C2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（0，4），C是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，M是圓上一點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得（1，0），則，解得當(dāng)C（，）時(shí)取等號(hào)，所以．故選：A．3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)、，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值；直線方程為：，即，令得：，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，則的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如圖所示，連接交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，所以．因?yàn)榕c關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：.5．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））在直角坐標(biāo)系中，若、、，則的最小值是______．【答案】【詳解】由題意可知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.6．（2022·江蘇南京·高二開(kāi)學(xué)考試）在直線上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，0），B（1，4）兩點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.而，解得，故，故直線，故當(dāng)取最小值時(shí)，的橫坐標(biāo)為1，故其縱坐標(biāo)為3，即.故答案為：.高頻考點(diǎn)八：圓的方程1．（2022·江蘇·徐州華頓學(xué)校高二階段練習(xí)）以兩點(diǎn)A(1，0)和B(3，0)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________.【答案】【詳解】圓心坐標(biāo)為，即.，所以圓的半徑為，所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且與已知圓切于點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_____.【答案】【詳解】設(shè)所求圓心，半徑為，因?yàn)榈近c(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，因?yàn)?，，垂直平分線方程為，所以，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，而三點(diǎn)共線，所以，解得，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若，，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】【詳解】以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是故答案為：4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.【答案】【詳解】由題意可知，所求圓的半徑長(zhǎng)為，因此，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且面積最小的圓的一般方程．【答案】【詳解】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，此時(shí)圓心為，當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，此時(shí)圓的面積最小，所以，得，所以所求的圓方程為．6．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知的頂點(diǎn)，直角頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在軸上，求：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)外接圓的一般方程.【答案】(1)(2)（1）設(shè)頂點(diǎn)，顯然直線斜率均存在，由題意得，且，所以，解得，所以頂點(diǎn)；（2）設(shè)外接圓的方程為，由題意知，解得，7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知，，以為直徑；(2)圓心為點(diǎn)且與直線相切.【答案】(1)(2)（1）圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）點(diǎn)C到直線的距離為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)圓心為點(diǎn)，且與直線相切；(2)已知、，以線段AB為直徑.【答案】(1)(2)（1）因?yàn)閳A心為點(diǎn)，且與直線相切，則所求圓的半徑等于圓心到直線的距離，所以半徑為，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)辄c(diǎn)、，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以圓心為，，即半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.高頻考點(diǎn)九：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2022·上?！じ呷_(kāi)學(xué)考試）已知直線是圓的一條對(duì)稱軸，則ab的最大值為_(kāi)_____．【答案】##0.25．【詳解】圓的圓心，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，故直線經(jīng)過(guò)圓心，即得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值為．故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)Q是圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】##【詳解】圓化為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以在直線上，可得，即．圓心到直線的距離為，的最小值是．故答案為：．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，須得，即.故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【詳解】設(shè)，，所以，又，所以.因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等.故答案為：.所以外接圓的一般方程為.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，求：(1)的最小值；(2)的最大值．【答案】(1)(2)（1）由題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．令，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，則，解得或．所以的最小值為．（2）令，則表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，所以．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn).(1)若在圓上，求線段的長(zhǎng)及直線的斜率；(2)求的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)，（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，解得a＝4，所以P（4，5）.所以，PQ的斜率.（2）圓的圓心，半徑，則.所以，.高頻考點(diǎn)十：軌跡方程1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)圓與x軸相切，且被直線所截得的弦長(zhǎng)為2，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，由動(dòng)圓與x軸相切可知，動(dòng)圓半徑為，又動(dòng)圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為2，則，即，化簡(jiǎn)可得，將方程中的a,b換為x,y,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，故答案為：2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C：0內(nèi)有一點(diǎn)Q（4，2），A、B為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AQB＝90°．求弦AB中點(diǎn)M所在的圓的方程．【答案】【詳解】解法一：連接QM，CM，BC．的圓心為，半徑，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：，垂徑定理得：因?yàn)樗?，設(shè)，則代入坐標(biāo)即得，整理得：．解法二：設(shè)，，，根據(jù)條件得③＋④＋⑤×2并代入①②即得：．3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面上有兩個(gè)不同的定點(diǎn)、，這兩點(diǎn)距離為定值．求證：到定點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則、，設(shè)滿足條件的點(diǎn)為點(diǎn)，則，整理可得，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓內(nèi)一點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)（三點(diǎn)均不重合）．(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)（1）設(shè)線段中點(diǎn)為，，，則；在圓上，，整理得：，即線段的中點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，；，，，即，整理可得：，即線段的中點(diǎn)的軌跡方程為：.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；【答案】(1)(2)（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，．于是有，．①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程，即．②把①代入②，得，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【詳解】設(shè)線段中點(diǎn)為，點(diǎn)，，，，，又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，，即點(diǎn)C的軌跡方程為：.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)直線和圓相交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的等式為_(kāi)_____．【答案】【詳解】對(duì)于直線，由可得，即直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，圓的圓心為原點(diǎn)，由垂徑定理可知，則，即，即，作出圓與圓的圖形如下圖所示：因?yàn)橹本€的斜率存在，所以，點(diǎn)不在軸上，故.所以，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的等式為.故答案為：.高頻考點(diǎn)十一：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）直線：被圓：截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)____________.【答案】【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為6，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】##【詳解】由題意得，直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，即，解得，則，圓心到的距離為，則l被C截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：.3．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【詳解】由圓的方程可知圓心坐標(biāo)為，半徑.又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離.又，所以，解得或.故選：AB4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，則m的值為_(kāi)_____．【答案】-4【詳解】由題意知曲線C是圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑為2的圓，∴圓心到直線l的距離，∴，解得或．∵直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，故答案為：-4.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C與x軸相切，圓心在直線上，且直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為_(kāi)_____．【答案】或【詳解】因?yàn)閳AC與x軸相切，且圓心C在直線上，故設(shè)圓C的方程為．又因?yàn)橹本€被圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以，解得，故所求圓C的方程為或．故答案為：或6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））直線與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，則______．【答案】4【詳解】解：圓C：，其圓心坐標(biāo)為，半徑為3．圓心到直線2x－y＋1＝0的距離，則．故答案為:4.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為C，直線l過(guò)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為_(kāi)__________.【答案】或【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，由，得或，此時(shí)，符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離.因?yàn)?，所以，解得，所以直線l的方程為，即.綜上，直線l的方程為或.故答案為：或高頻考點(diǎn)十二：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））若直線與圓交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.【答案】【詳解】直線的方程可化為，由，得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，此時(shí)取最小值，故.故答案為：.2．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由，得，由，得直線過(guò)定點(diǎn)，且在圓的內(nèi)部，由圓可得圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，取得最小值，圓心與定點(diǎn)的距離為，則的最小值為.故答案為：.3．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.【答案】【詳解】由可得：，由可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，由可得，所以圓心，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以當(dāng)直線與垂直時(shí)，最小為，故答案為：.4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為圓的過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為的弦．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦AB最短時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)(1)直線AB的斜率，圓的半徑．則直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即．則圓心到直線AB的距離．由垂徑定理，得，所以,解得．(2)當(dāng)弦AB最短時(shí)，P為AB的中點(diǎn)，由題意，則．則直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)交圓于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)最小時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2)（1）圓的圓心，半徑因?yàn)橹本€l的斜率為，則過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，即，則圓心到直線l的距離，所以．（2）由題知，當(dāng)直線時(shí)，最小，此時(shí)，故直線l的方程為，即．高頻考點(diǎn)十三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)1．（2022·江蘇·高二）已知的圓心在軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)，，則與的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】##【詳解】根據(jù)題意設(shè)圓的方程為，則有，解得，所以圓的方程為，即①，將圓化為一般方程得：②，①-②得公共弦所在直線l的方程為：，則圓心到直線l的距離，所以公共弦.故答案為：2．（2022·山西臨汾·一模（理））已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與圓O的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)__.【答案】##【詳解】解：如圖所示，以點(diǎn)O為圓心建立直角坐標(biāo)系，所以,設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，?）所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.又圓方程為，（2）所以（1）-（2）得兩圓的公共弦方程為，所以.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與圓O的公共弦長(zhǎng)為.故答案為：3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】##【詳解】由題得兩圓的公共弦直線的方程為，圓的圓心為（1,2），半徑為3，所以圓心到直線的距離為.所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：4．（2022·福建福州·高二期末）圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線：與圓交兩點(diǎn)，且，求．【答案】(1)(2)或（1）解：因?yàn)閳A的圓心為，且過(guò)點(diǎn),所以半徑，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)樗?，解得所以，由圓心到直線距離公式可得．解得或．5．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓：，直線：.(1)求圓的圓心及半徑；(2)求直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度.【答案】(1)，(2)（1）解：圓：整理得，圓心，半徑為；（2）解：圓心到直線：的距離，所以弦的長(zhǎng)度.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與y軸相切于點(diǎn)，圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線l上．(1)求圓的方程；(2)若圓與圓相交于M，N兩點(diǎn)，求兩圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線l的方程為，即，因?yàn)閳A與y軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，聯(lián)立解得可得圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A與y軸相切于點(diǎn)，故圓的半徑為4，故圓的方程為．（2）圓的方程為，即，圓，兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心到直線的距離，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為．7．（2022·全國(guó)·高二期中）已知圓，圓，證明圓與圓相交，并求圓與圓的公共弦所在直線的方程．【答案】證明見(jiàn)解析，公共弦所在直線的方程為.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.兩圓圓心距，，，所以，圓和圓相交.將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為.高頻考點(diǎn)十四：直線與圓的綜合問(wèn)題1．（2022·江西·新余市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與圓：交于點(diǎn)A，，與圓：交于點(diǎn)，.(1)若，求直線的一般方程；(2)若的中點(diǎn)為，求面積的取值范圍.【答案】(1)或(2)（1）由題可知，，∵，直線斜率顯然存在，設(shè)為，則直線.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，∴，∴，由解得.則直線的一般方程為或（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則的面積當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線，，直線.此時(shí)A到直線CD的距離小于AP，則，解得，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，則點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到直線的距離.所以的面積.令，則∵，∴，∴.綜上，面積的取值范