空間空間中的gram矩陣

空間空間中的gram矩陣

設(shè)置1，設(shè)置x8，并將其設(shè)置為xn。xn是體積空間中的n個(gè)向量，矩陣：。((xi,xj))n×n=((x1,x1)?(x1,xn)???(xn,x1)?(xn,xn))稱為由x1,x2,…,xn生成的Gram矩陣.通常用G(x1,x2,?,xn)來(lái)記上述Gram矩陣.其行列式稱為Gram行列式,通常用Γ(x1,x2,?,xn)表示.引理1設(shè)x1,x2,…,xn是內(nèi)積空間中的n個(gè)向量,則G(x1,x2,?,xn)為半正定矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,xn線性無(wú)關(guān)時(shí)G(x1,x2,?,xn)為正定的.引理2設(shè)x,y,z是實(shí)內(nèi)積空間中的三個(gè)非零向量,則:1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z)-|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2=1∥z∥2Γ(x,y,z).注:由引理1和引理2可得出:|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2≤1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z),式(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,xn線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.引理3設(shè)f是區(qū)間[0,1]上的正實(shí)值函數(shù),f是嚴(yán)格對(duì)數(shù)凸函數(shù)且在區(qū)間(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞減,x,y,z,ω∈[0,1],ω≤xyz,則有:f(ω)≥[f(xp)]1p[f(yq)]1q[f(zr)]1r,其中1p+1q+1r=1.引理4(Ostrowski不等式)設(shè)a=(a1,a2,?,an),b=(b1,b2,?,bn)是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量,若x=(x1,x2,?,xn)滿足(x,a)=0,(x,b)=1,則有∥x∥2≥∥a∥2∥a∥2∥b∥2-(a,b)2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=∥a∥2b-(a,b)a∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.定理1設(shè)x,y是實(shí)內(nèi)積空間中的向量,若x=(ξ1,ξ2,?,ξn),y=(η1,η2,?,ηn),則有:(max1≤i≤n|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i≤n|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i≤n|ηi|2-|ηi|2),其中1≤i≤n.證明定義實(shí)內(nèi)積空間的內(nèi)積為(x,y)=max1≤i≤n|ξiηi|,設(shè)zi=(0,?,0,1,0,?,0),其中第i個(gè)分量為1,其余分量為0,則在此內(nèi)積空間中(x,zi)=|ξi|,(y,zi)=|ηi|,∥zi∥=1,由式(1):|(x,y)-1∥z∥2(x,z)(y,z)|2≤1∥z∥4Γ(x,z)Γ(y,z)?(1)代入可得:(max1≤i≤n|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i≤n|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i≤n|ηi|2-|ηi|2),其中1≤i≤n.注:類似的可進(jìn)一步得到在無(wú)窮維實(shí)內(nèi)積空間中:(max1≤i|ξiηi|-|ξiηi|)2≤(max1≤i|ξi|2-|ξi|2)(max1≤i|ηi|2-|ηi|2),其中i≥1.定理2設(shè)f,g是區(qū)間(a,b)上的Lebesgue可積函數(shù),滿足:m≤f(x)≤Μ,n≤g(x)≤Ν,?x∈(a,b),其中m+M≠0,n+N≠0,則有:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)24(Ν-n)C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n)證明在L2(a,b)上定義內(nèi)積(f,g)=1b-a∫baf(x)g(x)dx.由此內(nèi)積定義可得:(f,1)=1b-a∫baf(x)dx,(g,1)=1b-a∫bag(x)dx,∥g∥2=1b-a∫bag2(x)dx.由式(1)得:|(f,1)-1∥g∥2(f,g)(g,1)|≤dist(f,Span{g})dist(1,Span{g}),整理得∶|∥g∥2(f,1)-(f,g)(g,1)|≤∥f∥dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤∥g∥dist(f,Span{g})dist(g,Span{1}).代入得:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)2∥f∥dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤(b-a)2∥g∥dist(f,Span{g})dist(g,Span{1})由題設(shè)m≤f(x)≤Μ,n≤g(x)≤Ν,?x∈(a,b)得:(f(x)-Μ+m2)2≤(Μ-m4)2,(g(x)-Ν+n2)2≤(Ν-n4)2?因此dist(f,Span{1})≤[1b-a∫ba(f(x)-Μ+m2)2dx]12≤Μ-m2dist(g,Span{1})≤[1b-a∫ba(g(x)-Ν+n2)2dx]12≤Ν-n2.進(jìn)而可得:dist(g,Span{f})=infs∈R∥f-sg∥≤∥f-Μ+m2∥+infs∈R∥Μ+m2-sg∥≤Μ-m2+Μ+mΝ+n∥g-Ν+n2∥≤Μ-m2+Μ+mΝ+nΝ-n2.dist(f,Span{g})=infs∈R∥g-sf∥≤∥g-Ν+n2∥+infs∈R∥Ν+n2-sf∥≤Ν-n2+Ν+nΜ+m∥f-Μ+m2∥≤Ν-n2+Ν+nΜ+mΜ-m2.記Μ′=maxx∈(a,b)|f(x)|,Ν′=maxx∈(a,b)|g(x)|.由內(nèi)積定義可得:∥f∥=[1b-a∫baf2(x)dx]12≤[1b-a∫ba(Μ′)2dx]12=Μ′,∥g∥=[1b-a∫bag2(x)dx]12≤[1b-a∫ba(Ν′)2dx]12=Ν′,由引理2可知Γ12(f,g)=∥f∥dist(g,Span{f})=∥g∥dist(f,Span{g}).從而有:Γ12(f,g)≤12min{[(Ν-n)+Ν+nΜ+m(Μ-m)]Μ′,[(Μ-m)+Μ+mΝ+n(Ν-n)]Ν′}?12C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n).綜上可得結(jié)論:|∫baf(x)dx∫bag2(x)dx-∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx|≤(b-a)24(Ν-n)C(Μ,Ν,Μ′,Ν′,m,n).定理3設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量,‖xi‖≤1,則有:1-Γα(x1,x2,?,xn)≥n∏i=1(1-Γαni(xi)ni)1ni,其中α≥0,nΣi=11ni=1.證明因?yàn)棣?x1,x2,?,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)?Γ(xn).由Gram矩陣的性質(zhì)知,這些行列式都非負(fù)且小于等于1,所以:Γα(x1,x2,?,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)?Γα(xn),其中α≥0,結(jié)合引理3得:1-Γα(x1,x2,?,xn)≥n∏i=1(1-Γαni(xi)ni)1ni其中α≥0,nΣi=11ni=1.注:同理可得下面結(jié)論.定理4設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量,‖xi‖≤1,1≤k≤n,則有:1-Γα(x1,x2,?,xn)≥(1-Γαp(x1,x2,?,xk)p)1p(1-Γαq(xk+1,xk+2,?,xn)q)1q,其中p,q＞0,1p+1q=1.根據(jù)引理4(Ostrowski不等式)和引理2可得以下結(jié)論:定理5設(shè)a,b,x是實(shí)內(nèi)積空間的三個(gè)非零向量,滿足(a,x)=0,∥x∥=1,則有:(b,x)2≤∥a∥2∥b∥2-(a,b)2∥a∥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2時(shí)等號(hào)成立.證明在式(1)中用a,b,x代替式(1)中的x,y,z得:|(a,b)-1∥x∥2(a,x)(b,x)|2≤[∥a∥2-1∥x∥2(a,x)2][∥b∥2-1∥x∥2(b,x)2].因?yàn)?a,x)=0,∥x∥=1,故(a,b)2≤∥a∥2[∥b∥2-(b,x)2],從而有(b,x)2≤∥a∥2∥b∥2-(a,b)2∥a∥2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b,x線性相關(guān).設(shè)x=λa+μb,由假設(shè)條件(a,x)=0,∥x∥=1可得:∥a∥2λ+(a,b)μ=0,∥a∥2λ2+2(a,b)λμ+∥b∥2μ2=1,解得λ=?(a,b)∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2,μ=±∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.故當(dāng)且僅當(dāng)x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2時(shí)等號(hào)成立.定理6設(shè)設(shè)a,b,x是實(shí)內(nèi)積空間的三個(gè)非零向量,滿足(a,x)=0,∥x∥=1,p≥2,則有:(b,x)p≤∥a∥p∥b∥p-(a,b)p∥a∥p,當(dāng)且僅當(dāng)x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2時(shí)等號(hào)成立.證明由G(a,b,x)得半正定性得Γ(a,b,x)≥0,即:|∥a∥2(a,b)(a,x)(a,b)∥b∥2(b,x)(a,x)(b,x)∥x∥2|≥0,展開得:∥a∥2∥b∥2∥x∥2-∥a∥2(b,x)2-∥b∥2(a,x)2-∥x∥2(a,b)2+2(a,b)(a,x)(b,x)≥0.代入題設(shè)條件(a,x)=0,∥x∥=1得:∥a∥2∥b∥2≥∥a∥2(b,x)2+(a,b)2,由函數(shù)性質(zhì)可得:∥a∥p∥b∥p≥∥a∥p(b,x)p+(a,b)p,p≥2,將上式整理得:(b,x)p≤∥a∥p∥b∥p-(a,b)p∥a∥p,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=±(a,b)a-∥a∥2b∥a∥√∥a∥2∥b∥2-(a,b)2.定理7設(shè)x,a,b,c是實(shí)內(nèi)積空間中的向量,滿足(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0,則有:∥x∥2≥Γ(a,c)Γ(a,b,c)+ε,其中ε=2∥a∥∥b∥|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)＞0證明將Γ(x,a,b,c)展開整理后可得:∥c∥2Γ(x,a,b)+Q(x,a,b,c)≥[∥x∥∥a∥|(b,c)|-∥x∥∥b∥|(a,c)|]2+[∥x∥∥a∥|(〗b,c)|-∥a∥∥b∥|(x,c)|]2+[∥x∥∥b∥|(a,c)|-∥a∥∥b∥|(x,c)|]2.其中:Q(x,a,b,c)=∥x∥2∥y∥2|(z,ω)|2+∥x∥2∥z∥2|(y,ω)|2+∥y∥2∥z∥2|(x,ω)|2-2(x,ω)(x,y)(z,ω)(y,z)-2(z,ω)(x,z)(x,y)(y,ω)-2(y,ω)(x,z)x(z,ω)(y,z)+(z,ω)2(x,y)2+(y,ω)2(x,z)2+(x,ω)2(y,z)2代入題設(shè)條件(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0得:∥x∥2[∥a∥2∥b∥2∥c∥2-∥a∥2(b,c)2-∥b∥2(a,c)2-∥c∥2(a,b)2+2∥a∥∥b∥(b,c)(a,c)]≥Γ(a,c)所以可得結(jié)論∥x∥2≥Γ(a,c)Γ(a,b,c)+ε,其中:ε=2∥a∥∥b∥|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)＞0.定理8設(shè)設(shè)x,a,b,c是實(shí)內(nèi)積空間中的向量,滿足∥x∥=1,(x,a)=0,(x,b)=0,則有:(x,c)2≤Γ(a,b,c)Γ(a,b).證明將Γ(x,a,b,c)展開整理后可得:∥x∥2Γ(a,b,c)+Q(x,a,b,c)≥[∥a∥∥b∥|(c,x)|-∥a∥∥c∥|(b,x)|]2+[∥a∥∥b∥|(c,x)|-∥b∥∥c∥|(a,x)|]2+[∥a∥∥c∥|(b,x)|-∥b∥∥c∥|(a,x)|]2.代入題設(shè)條件∥x∥=1,(x,a)=0,(x,b)=0可得:Γ(a,b,c)+[∥a∥2∥b∥2+(a,b)2](c,x)2≥2∥a∥2∥b∥2(c,x)2,上式整理即可得到(x,c)2≤Γ(a,b,c)Γ(a,b).定理9設(shè)x1,x2,…,xn,y是實(shí)內(nèi)積空間中的向量,滿足x1,x2,…,xn線性無(wú)關(guān),且(x1,y)=1,(xi,y)=0,i=2,3,?,n,則有∥y∥2≥Γ(x2,?,xn)Γ(x1,x2,?,xn).證明將Γ(y,x1,x2,?,xn)展開得:Γ(y,x1,x2,?,xn)=|∥y∥2(y,x1)?(y,xn)(y,x1)∥x1∥2?(x1,xn)????(y,xn)(x1,xn)?∥xn∥2|=|∥y∥21?01∥x1∥2?(x1,xn)????0(x1,xn)?∥xn∥2|=|∥y∥20?01∥x1∥2-1∥y∥2?(x1,xn)????0(x1,xn)?∥xn∥2|=∥y∥2|∥x1∥2-1∥y∥2btbG(x2,?,xn)|=∥y∥2[∥x1∥2-1∥y∥2-btG-1(x2,?,xn)b]Γ(x2,?,xn)=∥y∥2[∥x1∥2-btG-1(x2,?,xn)b]Γ(x2,?,xn)-Γ(x2,?,xn)=∥y∥2Γ(x1,x2,?,xn)-Γ(x2,?,xn).由Γ(y,x1,x2,?,xn)≥0可得:∥y∥2Γ(x1,x2,?,xn)-Γ(x2,?,xn)≥0,故∥y∥2≥Γ(x2,?,xn)Γ(x1,x2,?,xn).定理10設(shè)設(shè)x1,x2,…,xn,y是實(shí)內(nèi)積空間中的向量,滿足x1,x2,…,xn線性無(wú)關(guān),且∥y∥=1,(xi,y)=0,i=1,2,?,n-1,則有(xn,y)2≤Γ(x1,x2,?,xn)Γ(x1,x2,?,xn-1).證明將Γ(y,x1,x2,?,xn)展開得:Γ(y,x1,x2,?,xn)=Γ(x1,x2,?,xn-1)[∥xn∥2-(xn,y)2-btG-1(x1,x2,?,