一種多周期解的n

一種多周期解的n

0正參數(shù)2:a人們通過不繁殖能力的昆蟲進(jìn)入有害昆蟲的種群，以完全消滅這些有害昆蟲。一個(gè)簡單的描述一種有害昆蟲種群的狀態(tài)方程為(見文獻(xiàn))其中a>b>0,k>0都是正參數(shù)?？紤]單一投放一種不育昆蟲,而且認(rèn)為兩種昆蟲有相同的死亡率,如果有一部分有害昆蟲也是不育的,則可得到如下狀態(tài)方程(見文獻(xiàn))不同于模型(2)的情況,假定不是簡單地投放一次不育昆蟲,而是經(jīng)常地以某一常數(shù)速率投放不育昆蟲則方程可改寫成為如下形式δ>0為常數(shù)投放率.考慮到該模型有一定的實(shí)際背景,因此我們僅在相平面(N-n平面)上的第一象限{(N,n)|N>0,n>0}內(nèi)討論這個(gè)模型.1ab-ar+br+s1x0,y0—模型(2)的研究令(2)式右端為零,可得當(dāng)a>b+r時(shí),有唯一正平衡點(diǎn)(N0,n0),其中為研究平衡點(diǎn)的性態(tài),對(2)作如下變換:x=N+n,y=n,dt=xdτ則有再令x=u+N0+n0,n=v+n0把(1.1)的平衡位置移到坐標(biāo)原點(diǎn)有其中x0=N0+n0,y0=n0.系統(tǒng)(1.2)的線性近似方程的特征方程為λ2+pλ+q=0其中因此有下列結(jié)論定理1.1系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)(x0,y0)當(dāng)(ab-ar+br+r2)>0時(shí)為穩(wěn)定的,而當(dāng)(ab-ar+br+r2)<0時(shí)為不穩(wěn)定的;當(dāng)(ab-ar+br+r2)=0,即時(shí)(x0,y0)為一階細(xì)焦點(diǎn),焦點(diǎn)量(同號地)為,平衡點(diǎn)(x0,y0)是不穩(wěn)定的.證當(dāng)(ab-ar+br+r2)=0時(shí)平衡點(diǎn)(x0,y0)為細(xì)焦點(diǎn).可以計(jì)算出一般三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的一階焦點(diǎn)量公式為其中利用這個(gè)公式于系統(tǒng)(1.2)并借助于數(shù)學(xué)軟件Mathematica計(jì)算,把x0,y0代入后整理(去掉正數(shù)因子),顯然平衡點(diǎn)(0,0)是它的高次奇點(diǎn),利用處理高次奇點(diǎn)的方法來分析點(diǎn)(0,0),它的特殊方向可以由下式確定而容易計(jì)算因此在條件a>b+r下,G(θ)在Π/2處的二階導(dǎo)數(shù)值為2(-a+r)<0,G(θ)在處的一階導(dǎo)數(shù)值為,因此沿θ=Π/2方向有無窮多條正半軌線走向該奇點(diǎn);沿方向僅有一條正半軌線走出奇點(diǎn)(0,0).總之可證明下列結(jié)論.定理1.2假設(shè)a>b+r,則有(1)系統(tǒng)(1.3)的平衡點(diǎn)(0,0)為高次奇點(diǎn),在第一象限,通向(0,0)的正半軌線是如此分布的:沿θ=π/2方向有無窮多條正半軌線走入該奇點(diǎn);沿方向僅有一條正半軌線走出奇點(diǎn)(0,0).(2)系統(tǒng)(1.3)的解是有界的;(3)當(dāng)(ab-ar+br+r2)≤0時(shí)繞正平衡點(diǎn)(x0,y0)至少存在一個(gè)極限環(huán),或者繞(x0,y0)存在一個(gè)奇閉軌線,它通過點(diǎn)(0,0);證定理的(1)已經(jīng)在上面證明了.考慮到方程(2)有由于常量微分方程的唯一正平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,因此由比較原理知對于(2)的任一解N(t),n(t)成立關(guān)系式.另外,由方程(2)也可得到這個(gè)式子說明初始點(diǎn)在直線上的正半軌線,都是進(jìn)入的半平面部分.如果限定則有因此系統(tǒng)(2)的解一定是有界解的,其上界不會超過.當(dāng)定理?xiàng)l件(3)成立時(shí),平衡點(diǎn)(x0,y0)為不穩(wěn)定的.現(xiàn)考慮從(0,0)沿方向走出原點(diǎn)的那條唯一的正半軌線,記為P,它不可能走出集合這是因?yàn)?N=0為系統(tǒng)的軌線;而說明n=0為系統(tǒng)的無切直線.再由于在等傾線rN=bn上位于(x0,y0)左邊的點(diǎn)處,而位于(x0,y0)右邊的點(diǎn)處,所以P走向只能是繞正平衡點(diǎn)(x0,y0)螺旋式地向內(nèi),或者回到原點(diǎn)。若P回到原點(diǎn)則其為一條奇閉軌線;如果P是螺旋式地向內(nèi),則P和等傾線rN=bn可構(gòu)成Poincare-Bendixsion外環(huán)線.因此至少存在一個(gè)極限環(huán).2a>a1.2.2判別式為討論(3)的平衡位置,令(3)式右端為零可得到因此(3)有平衡點(diǎn),容易驗(yàn)證該奇點(diǎn)為穩(wěn)定的;上式括號中為N的一個(gè)二次三項(xiàng)式,它的判別式同號地為因此當(dāng)時(shí),(2.2)為正,即方程(2.1)除N=0外,還有兩個(gè)正根,記為N1,N2.此時(shí)(3)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)和,容易計(jì)算出他們一個(gè)為鞍點(diǎn),另一個(gè)為非鞍點(diǎn)初等奇點(diǎn).當(dāng)a<a1時(shí),(3)沒有其它正平衡點(diǎn).另外,由(1.4)和其中,可以斷言(3)的解有界,且其正半軌線不會走出區(qū)域.因此可以得到定理2.1若a<a1成立,則(3)的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.3有軌線存在數(shù)量動態(tài)變化模型(2)假定兩種昆蟲有相同的死亡率即為b,并且有一部分有害昆蟲是不育的即a>b+r,從定理1.2的結(jié)論容易發(fā)現(xiàn),即使通過生物方法調(diào)整r的大小,要想根除有害昆蟲是不可能的,事實(shí)上,當(dāng)(ab-ar+br+r2)<0時(shí),有閉軌線存在,兩種昆蟲數(shù)量變化呈周期性規(guī)律,當(dāng)(ab-ar+br+r2)>0時(shí)(x0,y0)是穩(wěn)定的,有軌線走向這個(gè)平衡點(diǎn),因此有害昆蟲還是沒有被根除.模型(3)的假定條件同模型(2)但是再經(jīng)常地以某一常數(shù)速率投放不育昆蟲,這樣的話,在a<a1的情況下,系統(tǒng)平衡點(diǎn)吸引所有軌線,從而有害昆蟲可以得到根除;但是,當(dāng)r,d過大時(shí),使得a>a1成立,則系統(tǒng)存在其它平衡點(diǎn),其定性性態(tài)較為復(fù)雜,系統(tǒng)平衡點(diǎn)不能吸引所有的