2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬沖刺卷(一)及答案

2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬沖刺卷（一）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|-1WXW2},{0,2,4},則AGB=（）

A.{0,2,4}B.{0,2}

C.{x|0WxW4}D.{無(wú)|—或x=4}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）=3—i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共輒復(fù)數(shù)為（）

A.1—iB.1+iC.—1—iD.—1+i

3.已知一個(gè)圓錐的底面積為冗，側(cè)面積為2兀，則該圓錐的體積為（）

A.8#7iB.4^6itC.當(dāng)匹D.紅身

4.函數(shù)y=tan（2%一1）的單調(diào)增區(qū)間為（）

「攵兀兀kn,5Til（kit7Ckn,5兀、

A?［萬(wàn)FT+同（0）B?（豆-茂了+同（MZ）

C.71~~\2f&兀+割（"￡Z）D.（2?！獙＃ヘ?閭（％￡Z）

5.已知橢圓C，+§=13比＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是Q,B，直線尸履與橢圓

C交于A,8兩點(diǎn)，|AQ|=3|BF||,且NE4尸2=60。，則橢圓C的離心率是（）

11_22

A.—2B.WC,斤D.§

7.若直線是曲線y=eL2的切線，也是曲線丫=厘一1的切線，則Z+b=（）

—In21-In2In2—1In2

A.--B.―-C.—2~D.

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)

算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)脩三百七十八人，欲以算數(shù)多少衰

出之，問(wèn)各幾何？”意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按

人數(shù)多少?gòu)娜l(xiāng)共征集378人，問(wèn)從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問(wèn)題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)

是（）

A.102B.112C.130D.136

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群

體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.過(guò)去10日，4、B、C、D

四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志的是（）

A.A地：中位數(shù)為2,極差為5

B.3地：總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.。地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0

D.。地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3

10.已知向量a,b,c滿足a+)=(1，—1),a—3b=(—7,-1),c=(l,1),設(shè)a,

b的夾角為仇則()

A.悶=歷|B.a//cC.0=135。D.bLc

11.在平面直角坐標(biāo)系中，A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C

與直線2%+>—4=0相切，下列選項(xiàng)中，圓C的面積可以是（）

A.,B.C手D.（6—2小）n

12.如圖所示，在正方體ABC。-AxB\C\D\中,E是棱CC\的中點(diǎn),F是側(cè)面2CGB（包

含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且AF〃平面9AE,下列說(shuō)法正確的是（）

A.4尸與BE是異面直線

B.AiF不可能與￡>萬(wàn)平行

C.。尸不可能與平面ADE垂直

D.三棱錐尸-AB9的體積為定值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知X%）=笠*為偶函數(shù)，則機(jī)=.

14.若三個(gè)點(diǎn)M（3,2乖）,N（2,2小）,Q（3,-2優(yōu)）中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線產(chǎn)=2昭

上，則該拋物線的方程為_______

15.已知火x）=e\g（x）=1,若存在實(shí)數(shù)及滿足於）=g（X2）,則藍(lán)的最大值

為?

16.任取一個(gè)正整數(shù)機(jī)，若小是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若根是偶數(shù)，就將該

數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈這就是

數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等），若加=5,則經(jīng)過(guò)次步驟后

變成1；若第5次步驟后變成1,則，"的可能值之和為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前3項(xiàng)和53=9,且ai,az,小成等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)7；為數(shù)列｛（一1）"如｝的前〃項(xiàng)和，求Aoo.

18.（12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的

加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A,8兩個(gè)等級(jí).三道工序的加工結(jié)果直接決

定該儀器的產(chǎn)品等級(jí)：三道工序的加工結(jié)果均為4級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；第三工序的加工

結(jié)果為A級(jí)，且第一、第二工序至少有一道工序加工結(jié)果為2級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為二等品；其余

均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）

如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序第三工序

概率0.50.750.8

表二

等級(jí)一等品二等品三等品

利潤(rùn)2385

(1)用〃表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)因第一工序加工結(jié)果為A級(jí)的概率較低，工廠計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)成本對(duì)第一工序進(jìn)

行改良，假如改良過(guò)程中，每件產(chǎn)品檢測(cè)成本增加M0WxW4)萬(wàn)元(即每件產(chǎn)品利潤(rùn)相應(yīng)減

少x萬(wàn)元)時(shí)，第一工序加工結(jié)果為4級(jí)的概率增加上工問(wèn)該改良方案對(duì)一件產(chǎn)品利潤(rùn)的期

望是否會(huì)產(chǎn)生影響？并說(shuō)明理由.

19.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.C=1,AB邊上的高為小.

⑴若SAABC=25,求△A8C的周長(zhǎng)；

(2)求(2十點(diǎn)1的最大值.

20.(12分)如圖，三棱柱ABC-A山Ci中，AAi=AB=3,BC=2,E,P分別是81G

和CG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱All上，且Bi尸=2.

(1)證明：4產(chǎn)〃平面￡：/。；

(2)若A4|J_底面ABC,ABA.BC,求二面角P-CF-E的余弦值.

=1(?>0>6>0)的頂點(diǎn)與橢圓Ci：f

21.(12分)雙曲線C2：—白+y2=l長(zhǎng)軸的兩

個(gè)端點(diǎn)重合，且一條漸近線的方程為丫=坐X.

(1)求雙曲線C2的方程；

(2)過(guò)雙曲線C2右焦點(diǎn)F作直線/,與C2分別交于左右兩支上的點(diǎn)P,Q,又過(guò)原點(diǎn)0作

直線h,使匕〃1\,且與雙曲線C2分別交于左右兩支上的點(diǎn)M,M是否存在定值2,使得

|加?而N=工而?若存在，請(qǐng)求才的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(12分)已知函數(shù)兀t)=2or-lnx,其中“GR.

(1)討論函數(shù)次x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a>0時(shí)，若xi，X2(。ai<X2)滿足於1)=於2)，證明：./(2g)+/(2ax2)>Acr(x\+^2).

答案

1.答案：B

解析：集合8中的元素在區(qū)間［—1,2］內(nèi)的只有0,2,所以408={0,2}.故選B.

2.答案：A

鏟矯??/.\.3-i(3-j)(l+2i)5+5i_.盾蚪防

解析：?291；)—3—1,??z—1_2j—(1_2i)(］+2i)—5—1+1,,,復(fù)數(shù)z的

共軻復(fù)數(shù)為1—i.故選A.

3.答案：C

解析：設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)分別為八/?,/,

兀3=兀，

則解得所以h=小.

7cr/=2n,

圓錐的體積s/z=|xitxyx小

,故選c.

4.答案：B

解析：因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為(E一:，E+習(xí)(RGZ),所以E—：<2x—

!<祈+,，(ACZ),解得當(dāng)—^2<x<y+招，(AEZ),所以函數(shù)尸tan(2x一§的單調(diào)

增區(qū)間為管一芻竽+駕)々GZ).故選B.

5.

答案：B

解析：由橢圓的對(duì)稱性，得|4同=一同.設(shè)|AB|=m,則|AFi|=3機(jī)由橢圓的定義,

知|AFi|+IAF2I=2a,即m+3m=2a,解得m=g,故|AQ|=當(dāng)，\AF^.

222

在△AF1F2中，由余弦定理，得尸產(chǎn)2|=|AFi|+IAF2I-2|AFi||AF2|cosZFtAF2,

即4/=舞+y—2X岑x|X；=等，則/=%,故e=*.故選B.

>>*>444>*v<1vzfcT

即得$l-2sin2(a+副=7sin(a+*),

化簡(jiǎn)得[4sin(a+3)—l][sin]a+g+2=0,

Vsin(a+5)e[—1?1],sin(0+5)=]?

/.cos(a-§=cos(0+看)甘=sin(a+5)=；.故選B.

7.答案：D

解析：設(shè)曲線y=e"-2上的點(diǎn)pg,yi),y=e「2,/ci=exi—2；

曲線y=1—l上的點(diǎn)0(X2,"),y=eA,22=ex2；

l\：y—tx\—2x+exi—2—x\ex\-2,

；?h：y=ex2x+ex2-1—x^xz

exi—2=e%2,

??，??X2^In2,

exi-2-xiexi-2=ex2-X2CX2-1,

.\k+b=ex2+e%2—1~X2txi+：—1—(—In2)^.故選D.

8.答案：B

解析：由題意得，三鄉(xiāng)總?cè)藬?shù)為8758+7236+8356=24350.

?.?共征集378人，...需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是^X378Q112,故選B.

9.答案：AD

解析：對(duì)A,因?yàn)榧椎刂形粩?shù)為2,極差為5,故最大值不會(huì)大于2+5=7.故A正確.對(duì)

B,若乙地過(guò)去10日分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8則滿足總體平均數(shù)為2,眾數(shù)

為2,但不滿足每天新增疑似病例不超過(guò)7人，故B錯(cuò)誤.對(duì)C,若丙地過(guò)去10日分別為

0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,則滿足總體平均數(shù)為1,總體方差大于0,但不滿足每天

新增疑似病例不超過(guò)7人，故C錯(cuò)誤.對(duì)D,利用反證法，若至少有一天疑似病例超過(guò)7

12

人，則方差大于點(diǎn)X（8-2）=3.6>3.與題設(shè)矛盾，故連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超

過(guò)7人.故D正確.故選AD.

10.答案：BC

解析：,；a+b=(l,—1),a—3b=(—7,—1),

，a=(—1，—1),b=(2,0),得|Q|=，(-1)2+(-1)，回=2,故A錯(cuò)

誤；

又c=（l,1）,則。=—c,則a〃c,故B正確；

8so=湍=諾=一坐，又。<。。，18。。］，.“=135。

故C正確;

V/>c=2Xl+0X1=2^0,與c不垂直，故D錯(cuò)誤.故選BC.

11.答案：BCD

解析：

因?yàn)锳3為直徑，/AOB=90。，（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），

所以點(diǎn)。在圓C上，

由O向直線2r+y—4=0作垂線，垂足為。，

則當(dāng)。恰為圓C與直線2x+y-4=0的切點(diǎn)時(shí)，圓C的半徑最小,

I_4|

此時(shí)圓的直徑為點(diǎn)0（0,0）到直線2x+y—4=0的距離

-5

此時(shí)圓的半徑為r=1"=手

2_4?t

2

所以圓C面積的最小值為Sniin=7tr=7t-=~5-

又,壟，故A錯(cuò)誤；（6—2小）兀*，苧冷，故BCD正確.故選BCD.

12.答案:ACD

解析：

取Mi,BiG的中點(diǎn)N,M,連接AiMAW,MN,BC\,則4N〃5E,MN//BC\//AD\,

又AiNu平面AiMN,MNu平面AiMN,A】NCMN=N,QEu平面AO|E,平面ADiE,

所以平面AiMN〃平面AD\E,

又4/〃平面Q4E,AiFu平面4MV,所以點(diǎn)尸的軌跡是線段MN,

對(duì)于A：因?yàn)镸N〃BG,所以點(diǎn)尸一定不在8G上，所以AiF與BE是異面直線，故

A正確；

對(duì)于B：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，A\F//D\E,故B不正確；

對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)尸的軌跡是線段MN,又正方體中。8|，平面4。1￡：,若￡>/:'，平面4。|凡

則。Bi〃QF,這顯然不可能，所以。尸不可能與平面AAE垂直，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)镸N〃A￡)i,A￡)iu平面48￡)|,MMI平面A8。，所以〃平面AB￡)i,

所以點(diǎn)F到平面ABDy的距離是定值，所以三棱錐尸-48。的體積為定值，故D正確，

故選ACD.

13.答案：±1

解析：因?yàn)槿藊)是偶函數(shù),所以4一x)=/Q),

即x(e，+M—x(e-r+/n)

er—mer-m'

解得，層=1,即加=±1.

14.答案：V=8x

解析：由拋物線的對(duì)稱性知：M(3,2^6),Q(3,-2#)在y2=2px上，

.'.6p=24,可得p=4,即拋物線的方箍為V=8x.

小42—e

15.答案：—^―

解析：:gS)=泉=e21nX2—X2=X21nx2—%2)=/3)，且7U)=e，在R上單調(diào)遞增，

?oiX[Jn-1

..xi=21nX2—X2,一=2-------1.

X2X2

、rInx—1—Inx

設(shè)〃a)=丁,貝4勿(工)=—9一,

當(dāng)x￡(0,e)時(shí)，〃(x)>0；當(dāng)x￡(e,+8)時(shí)，h\x)<0.

???〃(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

???〃(x)max=〃(e)=,,=e?

c52/maxc

16.答案：541

解析：當(dāng)m=5時(shí)，〃]=5,02=5X3+1=16,〃3=8,〃4=4,/=2,%=1,所以需5

次步驟后變成1；若第5次步驟后變成1,則〃6=1,45=2,<74=4,03=8或1,當(dāng)。3=8,

々2=16,。]=32或0=5；當(dāng)?shù)?1時(shí)，6=2,〃i=4,

所以加的可能值是｛4,5,32｝,m的可能值的和是4+5+32=41.

17.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃，，｝公差為d且不為0,

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛3｝的前3項(xiàng)和S3=9,且。2,的成等比數(shù)列.

ai+〃2+。3=9,

所以)

=研5,

'3ai+3d=9,

整理得V2

,(ai+J)=?!?(?!+4J),

解得：d=2或0(0舍去)，

故0=1,

所以a”=1+2"—2=2〃-1.

⑵由⑴知瓦=(一-1),

所以Tioo=(-1+3)+(-5+7)4------1-(-197+199)=2X50=100.

18.解析：(1)由題意可知：〃的可能取值為23,8,5

產(chǎn)品為一等品的概率為：0.5X0.75X0.8=0.3,

產(chǎn)品為二等品的概率為：(l—0.5X0.75)X0.8=0.5,

產(chǎn)品為三等品的概率為：1~0.3—0.5=0.2,

所以〃的分布列為

72385

P0.30.50.2

E(〃)=23X0.3+8X0.5+5X0.2=11.9.

(2)改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的期望不會(huì)產(chǎn)生影響，理由如下：

由題意可知：改良過(guò)程中，每件產(chǎn)品檢測(cè)成本增加M0WxW4)萬(wàn)元，第一工序加工結(jié)果

為A級(jí)的概率增加"x,

設(shè)改良后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為S則4可能的取值為23—X,8—x,5—x

所以一等品的概率為(0.5+上.丫)X0.75X0.8=0.3+-^,

二等品的概率為：[1一(0.5+@X0.75X0.8=0.5-金，

三等品的概率為：1一(0.3+總一(0-5一,)=0.2,

所以E(0=(0.3++)(23—x)+(0.5-+)(8-x)+0.2X(5-x)

=6.9—0.3x+j|x—yr-+4—0.5x—。N+l—0.2x=H.9,

因?yàn)镋《)=E(〃)，

所以改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的期望不會(huì)產(chǎn)生影響.

19.解析：(1)依題意SAABC=]“6sinC=Zc-y[3=2,y[3,可得c=4,

因?yàn)镃=§,所以ah=S.

由余弦定理得a2+b2—ab—c2,

因此(。+6)2=/+346=40,即a+b=2，T5.

故△ABC的周長(zhǎng)為24而+4.

(2)由(1)及正弦定理可得，

2sinB+sinA2sin(y-A)+sinA幣sin(A+0)

212b+a2b+a

abab2c=—市—=市=小

(其中6為銳角，且tan，邛

)

由題意可知0<4(生，因此，當(dāng)A+6=5時(shí)，|+1取得最大值當(dāng).

20.解析：

4

(1)證明：如圖，連接PB交CE于點(diǎn)。，連接。F,EP,CBi.

因?yàn)镋,P分別是囪G和CG的中點(diǎn)，

故EPCB\,故照■=J.

貓ZL)D\Z

又BiF=2,A山i=3,故篝，故F￡>〃AiP.

又尸Qu平面EFC且4閑平面EFC,所以AiP〃平面EFC.

(2)由題意知AB,BC,BBi兩兩垂直，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閦軸正方向,

分別以BA,BC為x軸和y軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B-AJZ.

則C（0,2,0）,囪（0,0,3）,F（2,0,3）,￡（0,1,3）,電，2,|）.

設(shè)〃=（乃，yi,21)為平面EFC的法向量,

〃EF=0,2rLy1=013,1

則1即?-3「。'可取〃=

JLEC=0,

設(shè)/W=（X2,>2,Z2)為平面PEC的法向量,

C3

2x2-2”2=0,

尸=0,+呼

則彳，即5可取加=（1,1,0）.

3

mPC=0〔一呼2=0,

1+3

ivm_9^/2

所以cos{n,m}

l?IH^/^+9+lX^T+l—14,

由題意知二面角P-CF-E為銳角，

所以二面角P-CF-E的余弦值為筆.

21.解析：⑴由橢圓Ci：y+)2=1得到：0=^3,

雙曲線的漸近線方程為丫=坐x,得到：；=坐，解得：b=l.

則雙曲線C2的方程會(huì)一>2=1.

(2)若存在定值，，使得|說(shuō)v|?血=XPQ,

2

*：MN與PQ同向，.*.2=---

I甩

x~~ty~\~2

?.?尺2,0),設(shè)小x-ty~\~2,由」一尸3消去*整理得：（"7）#加+1=。，

.[)葉沖=若

[>仇=力