專題22 與三角形相關的壓軸題（原卷版）-2019-2021三年中考真題集錦

專題22與三角形相關的壓軸題一、選填題1．（2021·山東淄博市·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，過點作交于點．若的面積為5，則的值為（）A． B． C． D．2．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，中，，，．點為內一點，且滿足．當?shù)拈L度最小時，的面積是（）A．3 B． C． D．3．（2021·遼寧中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．4．（2021·山東棗莊市·中考真題）如圖，，，點在上，四邊形是矩形，連接，交于點，連接交于點．下列4個判斷：①；②；③；④若點是線段的中點，則為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是______．（填序號）5．（2021·內蒙古呼和浩特市·中考真題）已知菱形的面積為﹐點E是一邊上的中點，點P是對角線上的動點．連接，若AE平分，則線段與的和的最小值為__________，最大值為__________．6．（2021·河南中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點，將紙片沿折疊，點落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點落在處，如圖3．當點恰好在原直角三角形紙片的邊上時，線段的長為__________．7．（2021·四川達州市·中考真題）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為___________．8．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號）9．（2021·湖南中考真題）如圖，在中，，，，交于點．點為線段上的動點，則的最小值為________．10．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，四邊形中，，，于點．若，，則線段的長為_____________．11．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是_________．二．解答題1．（2021·四川資陽市·中考真題）已知，在中，．（1）如圖1，已知點D在邊上，，連結．試探究與的關系；（2）如圖2，已知點D在下方，，連結．若，，，交于點F，求的長；（3）如圖3，已知點D在下方，連結、、．若，，，，求的值．2．（2021·浙江金華市·中考真題）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在直線上，過點B作AB的垂線，過原點O作直線l的垂線，兩垂線相交于點C．（1）如圖，點B，C分別在第三、二象限內，BC與AO相交于點D．①若，求證：．②若，求四邊形的面積．（2）是否存在點B，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求OB的長；若不存在，請說明理由．3．（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．

4．（2021·四川樂山市·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結．（1）如圖1，若，點關于直線的對稱點為點，結，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連結．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關系，并證明．5．（2021·重慶中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60°得到線段EP，連接FP，當最小時，直接寫出的面積．6．（2020·江蘇淮安市·中考真題）（初步嘗試）（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點與點重合，折痕為，則與的數(shù)量關系為；（思考說理）（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的值．（拓展延伸）（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．①求線段的長；②若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到，點的對應點為點，與交于點，求的取值范圍．7．（2019·遼寧丹東市·中考真題）已知：在△ABC外分別以AB，AC為邊作△AEB與△AFC．（1）如圖1，△AEB與△AFC分別是以AB，AC為斜邊的等腰直角三角形，連接EF．以EF為直角邊構造Rt△EFG，且EF＝FG，連接BG，CG，EC．求證：①△AEF≌△CGF；②四邊形BGCE是平行四邊形．（2）小明受到圖1的啟發(fā)做了進一步探究：如圖2，在△ABC外分別以AB，AC為斜邊作Rt△AEB與Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中點D，連接DE，EF后發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定的數(shù)量關系且夾角度數(shù)一定，請你幫助小明求出的值及∠DEF的度數(shù)．（3）小穎受到啟發(fā)也做了探究：如圖3，在△ABC外分別以AB，AC為底邊作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中點D，連接DE，EF后發(fā)現(xiàn)，當給定∠EAB＝α時，兩者間也存在一定的數(shù)量關系且夾角度數(shù)一定，若AE＝m，AB＝n，請你幫助小穎用含m，n的代數(shù)式直接寫出的值，并用含α的代數(shù)式直接表示∠DEF的度數(shù)．8．（2020·湖北武漢市·中考真題）問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內一點，，，，，直接寫出的長．9．（2020·山東濰坊市·中考真題）如圖1，在中，，點D，E分別在邊上，且，連接．現(xiàn)將繞點A順時針方向旋轉，旋轉角為，如圖2，連接．（1）當時，求證：；（2）如圖3，當時，延長交于點，求證：垂直平分；（3）在旋轉過程中，求的面積的最大值，并寫出此時旋轉角的度數(shù)．10．（2021·重慶中考真題）在中，，是邊上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉至的位置，使得．（1）如圖，當時，連接，交于點．若平分，，求的長；（2）如圖，連接，取的中點，連接．猜想與存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（3）如圖，在（2）的條件下，連接，．若，當，時，請直接寫出的值．11．（2021·湖北十堰市·中考真題）已知等邊三角形，過A點作的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接，把線段繞點C逆時針方向旋轉得到，連．

（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點P、B在同側且時，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點P、B分別位于直線異側，且的面積等于，求線段的長度．12．（2021·吉林中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點為射線上一點，將沿折疊，點的對應點為點．（1）若．直接寫出的長（用含的代數(shù)式表示）；（2）若，垂足為，點與點在直線的異側，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）若，直接寫出的度數(shù)．13．（2021·內蒙古通遼市·中考真題）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點O順時針旋轉．①如圖2，當點M恰好在邊上時，求證：；②當點A，M，N在同一條直線上時，若，，請直接寫出線段的長．

14．（2021·山東東營市·中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是________．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關系．

15．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設，不妨設，請利用（2）的結論證明：當時，成立．16．（2021·湖南）如圖1，在等腰直角三角形中，．點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當?shù)拈L度為多少時，為等腰三角形？

17．（2021·內蒙古赤峰市·中考真題）數(shù)學課上，有這樣一道探究題．如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，，點P為平面內不與點A、C重合的任意一點，將線段CP繞點P順時針旋轉a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點，設直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數(shù)與m、n、α的關系，請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：（1）填空：（問題發(fā)現(xiàn)）小明研究了時，如圖1，求出了___________，___________；小紅研究了時，如圖2，求出了___________，___________；（類比探究）他們又共同研究了α=120°時，如圖3，也求出了；（歸納總結）最后他們終于共同探究得出規(guī)律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式子表示)．（2）求出時的值和的度數(shù)．18．（2021·遼寧大連市·中考真題）已知，，．（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），，求．19．（2021·廣西貴港市·中考真題）已知在ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．20．（2021·遼寧營口市·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，，，，D為邊中點，連接，且A，F(xiàn)，E三點恰好在一條直線上，交于點H，連接，．（1）求證：；（2）猜想，，之間的數(shù)量關系，并證明；（3）若，，請直接寫出線段，的長．21．（2021·山東威海市·中考真題）（1）已知，如圖①擺放，點B，C，D在同一條直線上，，．連接BE，過點A作，垂足為點F，直線AF交BE于點G．求證：．（2）已知，如圖②擺放，，．連接BE，CD，過點A作，垂足為點F，直線AF交CD于點G．求的值．

22．（2021·湖北襄陽市·中考真題）在中，，，是邊上一點，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當，落在直線上時，①求證：；②填空：的值為______；（2）類比探究：如圖2，當，與邊相交時，在上取一點，使，交于點．探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運用：在（2）的條件下，當，是的中點時，若，求的長．23．（2021·湖北中考真題）已知和都為等腰三角形，．（1）當時，①如圖1，當點D在上時，請直接寫出與的數(shù)量關系；_________；②如圖2，當點D不在上時，判斷線段與的數(shù)量關系，并說明理由；（2）當時，①如圖3，探究線段與的數(shù)量關系，并說明理由；②當時，請直接寫出的長．24．（2021·內蒙古中考真題）如圖，已知是等邊三角形，P是內部的一點，連接BP，CP．（1）如圖1，以BC為直徑的半圓O交AB于點Q，交AC于點R，當點P在上時，連接AP，在BC邊的下方作，，連接DP，求的度數(shù)；（2）如圖2，E是BC邊上一點，且，當時，連接EP并延長，交AC于點F．若，求證：；（3）如圖3，M是AC邊上一點，當時，連接MP．若，，，的面積為，的面積為，求的值（用含a的代數(shù)式表示）．

25．（2021·湖南邵陽市·中考真題）如圖，在中，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應點為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點，使得．若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．26．（2021·吉林長春市·中考真題）如圖，在中，，，，點D為邊AC的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P不與點A、C重合時，連結PD．作點A關于直線PD的對稱點，連結、．設點P的運動時間為t秒．（1）線段AD的長為．（2）用含t的代數(shù)式表示線段BP的長．（3）當點在內部時，求的取值范圍．（4）當與相等時，直接寫出的值．27．（2021·湖南岳陽市·中考真題）如圖，在中，，，點為的中點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，且交線段于點，的平分線交于點．

（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關系是________，________；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點作交于點，連接，．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求證：；（3）如圖3，若，，過點作交于點，連接，，請直接寫出的值（用含的式子表示）．28．（2021·湖北武漢市·中考真題）問題提出如圖（1），在和中，，，，點在內部，直線與交于點，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關系？問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當點，重合時，直接寫