現(xiàn)代控制理論第四章

李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

李雅普諾夫第一法

李雅普諾夫第二法線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫分析穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，通常只存在唯一一個(gè)平衡狀態(tài)，因此將平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性視為整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于其它系統(tǒng)，平衡點(diǎn)不止一個(gè)，系統(tǒng)中不同的平衡點(diǎn)有著不同的穩(wěn)定性，只能討論某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義一、平衡狀態(tài)

令u=0，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義f(xe，t〕=0假設(shè)對(duì)所有的t，狀態(tài)x滿足，那么稱該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe。x(t0)=x0由平衡狀態(tài)xe在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)應(yīng)滿足Axe=0當(dāng)A為非奇異，那么存在唯一一個(gè)平衡狀態(tài)xe=0。當(dāng)A為奇異，那么有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

對(duì)于非線性系統(tǒng)，方程f(xe，t)=0的解可能有多個(gè)，即可能有多個(gè)平衡狀態(tài)。如：解：因此該系統(tǒng)有三個(gè)平衡狀態(tài)4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義二、范數(shù)的概念在n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱為向量x的范數(shù)，用‖x‖表示，那么：向量〔xxe〕范數(shù)可寫(xiě)成：4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義表示矢量x與平衡狀態(tài)xe的距離

當(dāng)向量〔xxe〕的范數(shù)限定在某一范圍內(nèi)時(shí)，即：‖xxe‖>0

幾何意義：以xe為球心，以為半徑的一個(gè)球域，記為S()。4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義三、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義1.穩(wěn)定和一致穩(wěn)定假設(shè)對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)>0，都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)(,t0)>0，使當(dāng)4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義對(duì)于系統(tǒng)‖x0xe‖(,t0)〔tt0〕

那么稱平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的。假設(shè)與t0無(wú)關(guān)，那么稱平衡狀態(tài)xe是一致穩(wěn)定的。從任意初始狀態(tài)x0出發(fā)所對(duì)應(yīng)的解x，滿足4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義x1x2xeS(

)

S(

)x0x

2.漸近穩(wěn)定那么稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。且對(duì)于任意小μ>0，總有假設(shè)對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)>0，總存在(,t0)>0，使得‖x0xe‖(,t0)的任意初始狀態(tài)x0所對(duì)應(yīng)的解x，在所有時(shí)間內(nèi)都滿足4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義‖xxe‖〔tt0〕x1x2xeS(

)

S(

)x0x假設(shè)平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，即當(dāng)t無(wú)限增大時(shí)，狀態(tài)軌跡不超過(guò)，且最終收斂于xe，那么稱平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定。3.大范圍漸近穩(wěn)定在整個(gè)狀態(tài)空間中，對(duì)所有初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定，那么系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義注：〔1〕由于從狀態(tài)空間中的所有點(diǎn)出發(fā)的軌跡都要收斂于xe，因此系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)，這也是大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件?！?〕對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)A為非奇異的，系統(tǒng)只有一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)xe=0。所以假設(shè)線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么一定是大范圍漸近穩(wěn)定的?！?〕對(duì)于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)通常有多個(gè)平衡點(diǎn)，因此非線性系統(tǒng)通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)ε>0和任一實(shí)數(shù)δ>0，在球域S(δ)內(nèi)總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終將超出球域S(ε)，那么稱該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4.不穩(wěn)定4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義球域S(δ)限制初始狀態(tài)x0取值，球域S(ε)規(guī)定了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的邊界。因此，〔1〕如果x(t)有界，那么xe穩(wěn)定；〔2〕如果x(t)有界且，那么xe漸近穩(wěn)定；〔3〕如果x(t)無(wú)界，那么xe不穩(wěn)定；〔4〕經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定系統(tǒng)；只在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)那么稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。總結(jié)：利用系統(tǒng)的特征值或微分方程及狀態(tài)方程解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它適用于線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)可以線性化的情況。

4.2李雅普諾夫第一法一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1.線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即Re(i)<0〔i=1，2，…，n〕輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)G(s)=c(sI-A)-1b的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。4.2李雅普諾夫第一法4.2李雅普諾夫第一法例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為解:狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定.系統(tǒng)傳遞函數(shù)4.2李雅普諾夫第一法輸出穩(wěn)定輸出的漸近穩(wěn)定狀態(tài)的漸近穩(wěn)定當(dāng)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí):傳遞函數(shù)的極點(diǎn)=A的特征值一、根本思想

如果一個(gè)系統(tǒng)被鼓勵(lì)后，其存儲(chǔ)的能量隨時(shí)間增長(zhǎng)而連續(xù)地減小，一直到平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的能量減少到最小，那么平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。4.3李雅普諾夫第二法

4.3李雅普諾夫第二法

由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的，不可能找到一種能量函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)形式。因此，李雅普諾夫引入一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，記為v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的函數(shù)，所以v(x)>0。因此可根據(jù)的定號(hào)性來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，假設(shè)v(x)>0，并且<0，那么系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。

二、預(yù)備知識(shí)

P稱為二次型矩陣。1、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)4.3李雅普諾夫第二法

標(biāo)量函數(shù)的各項(xiàng)最高次數(shù)不超過(guò)2次假設(shè)P為實(shí)對(duì)稱矩陣，那么必存在正交矩陣T,使得：4.3李雅普諾夫第二法

只包含變量的平方項(xiàng)，稱為二次型函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形。

2、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)的定號(hào)性

4.3李雅普諾夫第二法

當(dāng)x=0時(shí)，v(x)=0；當(dāng)x≠0時(shí)，如果v(x)>0，那么v(x)為正定；如果v(x)≥0，那么v(x)為正半定；如果v(x)<0，那么v(x)為負(fù)定；如果v(x)≤0，那么v(x)為負(fù)半定；

二次型函數(shù)v(x)和它的二次型矩陣P是一一對(duì)應(yīng)的。設(shè)二次型函數(shù)v(x)=xTPx，P為實(shí)對(duì)稱矩陣，那么定義如下：當(dāng)v(x)是正定的，稱P是正定的，記為P>0；當(dāng)v(x)是負(fù)定的，稱P是負(fù)定的，記為P<0；當(dāng)v(x)是正半定的，稱P是正半定的，記為P0；當(dāng)v(x)是負(fù)半定的，稱P是負(fù)半定的，記為P0。4.3李雅普諾夫第二法

4.3李雅普諾夫第二法

3、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)的定號(hào)性判據(jù)〔1〕v(x)正定的充要條件是：P陣的所有各階主子行列式均大于零，即〔2〕v(x)負(fù)定的充要條件是：P陣的各階主子式滿足即4.3李雅普諾夫第二法

〔3〕v(x)為正半定的充要條件是：P各階主子式滿足

〔4〕v(x)為負(fù)半定的充要條件是：P各階主子式滿足4.3李雅普諾夫第二法

例：v(x)=10x12+4x22+2x1x2，試判定v(x)是否正定。解:v(x)=10x12+4x22+2x1x2v(x)是正定的。4.3李雅普諾夫第二法

4.3李雅普諾夫第二法

1v(x)正定負(fù)定漸近穩(wěn)定2v(x)正定負(fù)定大范圍漸近穩(wěn)定3v(x)正定負(fù)半定漸近穩(wěn)定4v(x)正定負(fù)半定穩(wěn)定5v(x)正定正定不穩(wěn)定三、李雅普諾夫第二法根本定理〔1〕構(gòu)造一個(gè)滿足定理要求的李雅普諾夫函數(shù)，是李氏第二法的關(guān)鍵。李氏函數(shù)具有以下幾個(gè)突出的性質(zhì)：(a)李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；(b)李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)正定函數(shù)；(c)對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。注：〔2〕李氏第二法根本定理對(duì)線性和非線性系統(tǒng)、定常和時(shí)變系統(tǒng)都是適用的，但都是充分條件，而不是充分必要條件。因此假設(shè)能找到滿足要求的李氏函數(shù)，那么可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定性確實(shí)切結(jié)論。否那么，不能做出關(guān)于穩(wěn)定性的任何結(jié)論。4.3李雅普諾夫第二法

例1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。v(x)=x12+x22>0

4.3李雅普諾夫第二法

系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。又當(dāng)‖x‖

時(shí)，v(x)，故xe=0也是大范圍漸近穩(wěn)定解：平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的.不會(huì)恒等于零如選李雅普諾夫函數(shù)為即是負(fù)定的，所以系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。

對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，判定漸近穩(wěn)定的李氏函數(shù)不是唯一的。4.3李雅普諾夫第二法

解：原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取李氏函數(shù)為：v(x)=x12+4x22>0例2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。4.3李雅普諾夫第二法

在任意x值上均保持為零。因此，系統(tǒng)在xe=0處是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。解：原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取李氏函數(shù)為：系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。例3：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。4.3李雅普諾夫第二法

A是非奇異的。在平衡狀態(tài)xe=0處，漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，且滿足矩陣方程ATP+PA=

Q且標(biāo)量函數(shù)v(x)=xTPx是該系統(tǒng)的一個(gè)二次型形式的李雅普諾夫函數(shù)。

一、線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別方法線性定常系統(tǒng)4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1〕如果任取一個(gè)正定矩陣Q，那么滿足矩陣方程ATP+PA=Q的實(shí)對(duì)稱矩陣P是唯一的。假設(shè)P是正定的，系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。P的正定性是一個(gè)充要條件。3〕為計(jì)算方便，在選定正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q時(shí)，可取Q=I，于是矩陣P可按下式確定：ATP+PA=I然后檢驗(yàn)P是不是正定的。2〕如果沿任意一軌跡不恒等于零，那么Q可取為正半定的。注：4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析證明充分性設(shè)P是存在的，且P是正定的，應(yīng)選v(x)=xTPx。由v(x)>0，那么=(Ax)TPx+xTP(Ax)=xTATPx+xTPAx=xT(ATP+PA)x=xT(

Q)x<0系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析必要性設(shè)適宜的矩陣P具有下面形式4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析Step1:確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)Step2:確定Q和P的形式Step3:根據(jù)計(jì)算P矩陣的各元素Step4:判斷P的正定性，如果P為正定，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的二、線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判斷步驟4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾