專題13 一次函數(shù)的應用（原卷版）

專題13一次函數(shù)的應用【知識梳理】知識點01數(shù)學建模的一般思路數(shù)學建模的關鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉化為什么樣的函數(shù)模型.知識點02正確認識實際問題的應用在實際生活問題中，如何應用函數(shù)知識解題，關鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.【點石成金】要注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點.知識點03選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作用.【題型探究】題型一待定系數(shù)法求解析式1．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．(2)求乙組停工后y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組己停工的天數(shù)．【答案】(1)30；(2)；(3)10天【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，據(jù)此計算即可；（2）設乙組停工后y關于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解，再結合圖象即可得到自變量x的取值范圍；（3）先計算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計算乙組挖掘的總長度，設乙組己停工的天數(shù)為a，根據(jù)甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等列方程計算即可．【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，（天）∴甲組比乙組多挖掘了30天，故答案為：30；（2）解：設乙組停工后y關于x的函數(shù)解析式為，將和兩個點代入，可得，解得，∴（3）解：甲組每天挖（千米）甲乙合作每天挖（千米）∴乙組每天挖（千米），乙組挖掘的總長度為（千米）設乙組己停工的天數(shù)為a，則，解得，答：乙組己停工的天數(shù)為10天．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關鍵．題型二方案選擇問題2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：

(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；(2)求方案二y關于x的函數(shù)表達式；(3)如果你是勞務服務部門的工作人員，你如何指導員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．【答案】(1)30件；(2)；(3)若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一【分析】（1）由圖象的交點坐標即可得到解答；（2）由圖象可得點，設方案二的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法即可得到方案二y關于x的函數(shù)表達式；（3）利用圖象的位置關系，結合交點的橫坐標即可得到結論．【詳解】（1）解：由圖象可知交點坐標為，即員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；（2）由圖象可得點，設方案二的函數(shù)表達式為，把代入上式，得解得∴方案二的函數(shù)表達式為．（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一．【點睛】此題考查了從函數(shù)圖像獲取信息、一次函數(shù)的應用等知識，從函數(shù)圖象獲取正確信息和掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．題型三行程問題3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×時×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（

）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，將兩個解析式聯(lián)立，通過解方程求出交點的橫坐標即可．【詳解】解：令小亮出發(fā)時對應的t值為0，小瑩出發(fā)時對應的t值為10，則小亮到達乙地時對應的t值為70，小瑩到達甲地時對應的t值為40，設小亮對應函數(shù)圖象的解析式為，將代入解析式得，解得，小亮對應函數(shù)圖象的解析式為，設小瑩對應函數(shù)圖象的解析式為，將，代入解析式，得，解得，小瑩對應函數(shù)圖象的解析式為，令，得，解得，小亮與小瑩相遇的時刻為8:28．故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，熟練運用數(shù)形結合思想．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向B地，小時后，一輛貨車從A地出發(fā)，沿同一路線每小時行駛80千米勻速駛向B地，貨車到達B地填裝貨物耗時15分鐘，然后立即按原路勻速返回A地．巡邏車、貨車離A地的距離y（千米）與貨車出發(fā)時間x（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：

(1)A，B兩地之間的距離是______千米，______；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(3)貨車出發(fā)多少小時兩車相距15千米？（直接寫出答案即可）【答案】(1)60，1；(2)；(3)小時或小時或小時【分析】（1）根據(jù)貨車從A地到B地花了小時結合路程速度時間即可求出A、B兩地的距離；根據(jù)貨車裝貨花了15分鐘即可求出a的值；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）分兩車從A前往B途中相遇前后和貨車從B往A途中相遇前后，四種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：千米，∴A，B兩地之間的距離是60千米，∵貨車到達B地填裝貨物耗時15分鐘，∴，故答案為：60，1（2）解：設線段所在直線的解析式為將，代入，得解得，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為（3）解：設貨車出發(fā)x小時兩車相距15千米，由題意得，巡邏車的速度為千米/小時當兩車都在前往B地的途中且未相遇時兩車相距15千米，則，解得（所去）；當兩車都在前往B地的途中且相遇后兩車相距15千米，則，解得；∵，∴貨車裝貨過程中兩車不可能相距15千米，當貨車從B地前往A地途中且兩車未相遇時相距15千米，則，解得；當貨車從B地前往A地途中且兩車相遇后相距15千米，則，解得；綜上所述，當貨車出發(fā)小時或小時或小時時，兩車相距15千米．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，從函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的實際應用，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關鍵．題型四一次函數(shù)性質的應用5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．

(1)求m的值和直線的函數(shù)表達式．(2)若點在線段上，點在直線上，求的最大值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把點A的坐標代入直線解析式可求解m，然后設直線的函數(shù)解析式為，進而根據(jù)待定系數(shù)法可進行求解函數(shù)解析式；（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質可進行求解．【詳解】（1）解：把點代入，得．設直線的函數(shù)表達式為，把點，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．（2）解：∵點在線段上，點在直線上，∴，，∴．∵，∴的值隨的增大而減小，∴當時，的最大值為．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．【隨堂演練】1．如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距．根據(jù)最近人體構造學的研究成果表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數(shù)．下表是測得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)：指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187根據(jù)上表解決下面這個實際問題：姚明的身高是226厘米，他的指距為（）A．26.8厘米 B．26.9厘米 C．27.5厘米 D．27.3厘米2．如圖，一次函數(shù)與的圖象交點的橫坐標為3，則下列結論：①；②；③當時，中，正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．3 C．2 D．13．如圖所示，購買一種蘋果，所付款金額（單元：元）與購買量（單位：千克）之間的函數(shù)圖像由線段和射線組成，則一次購買千克這種蘋果，比分五次購買，每次購買千克這種蘋果可節(jié)?。ǎ〢．元 B．元 C．元 D．元4．“元旦”期間，老李一家自駕游去了離家320千米的某地，下面是他們離家的距離y（千米）與汽車行駛時間x（小時）之間的函數(shù)圖象，當他們離目的地還有20千米時，汽車一共行駛的時間是（）A．1.25小時 B．4小時 C．4.25小時 D．4.75小時5．在全民健身越野賽中，甲乙兩選手的行程y（千米）隨時間（時）變化的圖象（全程）如圖所示．有下列說法：①前半小時甲選手的速度為8千米/時；②第1小時兩人都跑了10千米；③甲比乙先到達終點；④甲選手的速度一直比乙慢．其中正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．一列動車從甲地開往乙地，一列普通列車從乙地開往甲地，兩車均勻速行駛并同時出發(fā)，設普通列車行駛的時間為x（小時），兩車之間的距離為y（千米），若如圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關系，則下列結論錯誤的是（）A．甲、乙兩地相距1000千米B．點B的實際意義是兩車出發(fā)后3小時相遇C．普通列車從乙地到達甲地時間是9小時D．動車的速度是250千米/小時7．1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，與此同時2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）關于上升時間x（單位：min）的函數(shù)關系如圖所示，當上升________min時，兩球之間的距離是5m．8．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在檢驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥時后血液中含藥量最高，達微克/毫升，接著逐步衰減，服藥時后血液中含藥盤達微克/毫升，每毫升血液中含藥盤（微克）隨著時間（時）的變化如圖所示．（1）當成人按規(guī)定劑量服用時，求出時，與之間的函數(shù)關系式；（2）如果每毫升血液中含藥量為微克或微克以上時，治療疾病是有效的，那么有效時間有多長?9．如圖，直線與軸交于點，直線經(jīng)過點、，點的坐標為，且兩直線相交于點．（1）求點的坐標；（2）求的面積．

10．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)當時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式；(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．11．在購買某場足球賽門票時，設購買門票為（張），總費用為（元）．現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：若單位贊助廣告費5000元，則該單位所購門票的價格為每張50元；（總費用=廣告贊助費+門票費）方案二：購買門票方式如下圖所示：解答下列問題：（1）方案一中，y與x的函數(shù)關系式為______；方案二中，當時，y與x的函數(shù)關系式為______，當時，y與x的函數(shù)關系式為______；（2）如果購買本場足球賽門票超過100張，你將選擇哪一種方案，使總費用最省？請說明理由．12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某校與部隊聯(lián)合開展紅色之旅研學活動，上午7：00，部隊官兵乘坐軍車從營地出發(fā)，同時學校師生乘坐大巴從學校出發(fā)，沿公路（如圖1）到愛國主義教育基地進行研學，上午8：00，軍車在離營地的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時到達基地，軍車和大巴離營地的路程s（km）與所用時間t（h）的函數(shù)關系如圖2所示．

(1)求大巴離營地的路程s與所用時間t的函數(shù)表達式及a的值，(2)求部隊官兵在倉庫領取物資所用的時間．【高分突破】1．如圖直線l1：y=ax+b，與直線l2：y=mx+n交于點A（1，3），那么不等式ax+b＜mx+n的解集是（）A．x＞3

B．x＜3

C．x＞1

D．x＜12．如圖是鄰居張大爺去公園鍛煉及原路返回時離家的距離y（千米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息，下列說法不正確的是（）A．張大爺去時所用的時間多于回家的時間．B．張大爺在公園鍛煉了40分鐘C．張大爺去是走上坡路，回家時走下坡路D．張大爺去時的速度比回家時的速度慢3．甲、乙兩車從城出發(fā)勻速行駛至城，在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開城的距離（千米）與甲車行駛的時間（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示，則下列結論：①，兩城相距300千米；②乙車比甲車晚出發(fā)1小時，卻早到1小時；③乙車出發(fā)后2.5小時追上甲車；④當甲、乙兩車相距40千米時，或，其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．甲、乙兩車分別從地出發(fā)勻速行駛到地，在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開城的距離與甲車行駛的時間之間的關系如圖所示，則下列結論中正確的個數(shù)為（）①兩地相距；②乙車比甲車晚出發(fā)1小時，卻比甲車早到1小時；③乙車出發(fā)后4小時時追上甲車；④甲，乙兩車相距時，或4.5．A．1 B．2 C．3 D．45．一列慢車從地駛往地，一列快車從地駛往地．兩車同時出發(fā)，各自抵達目的地后停止，如圖所示，折線表示兩車之間的距離（km）與慢車行駛時間（h）之間的關系．當快車到達地時，慢車與地的距離為____km．6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線分別