2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題），第n卷（非選擇題），共4頁(yè)，滿

分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書

寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足下一+1,5是Z的共規(guī)復(fù)數(shù)，則Z+5等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

2.

從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下.由此可

估計(jì)甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，則下列結(jié)論正確的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大

B.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班小

C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差相等

D.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班大

3.設(shè)集合A=|-l,2°,e叱下—卜B=jl,2,lne3,—L則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

4.設(shè)xeR,向量a=(x,l),b=(1,-1),且a工匕,則,-。卜()

A.1B.y/2C.且D.2

5.

已知尸為拋物線?。菏?2〃/（〃>0）的焦點(diǎn)，過(guò)尸作垂直x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)

,以MN為直徑的圓交了軸于C,O兩點(diǎn)，若|CD|=2G,則T的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2^3xD.y2=6x

6.

M+%）=-b

一元二次方程云+c=0的兩根A.應(yīng)滿足-，這個(gè)結(jié)論我們可以推廣到一元三次

x}x2-C

方程中.設(shè)方,馬,工3為函數(shù)〃力=%3-6三+11%-6的三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是。

A.百+*2+工3=_6B.X]%2+玉%3+*2%3=-11C.%/2工3=-6D.

11111

—+—+—=—

%x2x36

7.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立

兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直.從前表卻行一百二十三步，人目著

地取望島峰，與表末三合.從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合.問(wèn)島高及去表各幾何

.這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年.其大意為：測(cè)量望海島AB的高度及海

島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿。E,FG（AB,DE,kG共面，均垂直于地面

），使目測(cè)點(diǎn)”與8，3共線，目測(cè)點(diǎn)C與B,尸共線，測(cè)出E”，GC,EG,即可求出島

高AB和AE的距離（如圖）.若DE=FG=3,EH=1,HC=12,GC=9,則海島的高

AB=（）

02/32

8.

如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABC。-4耳GA中，。是底面正方形ABCO的中心，點(diǎn)M在

上，點(diǎn)N在4片上，若ONLAM,則。M=（）

ab,、8

9.定義,已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且%=2,；°=°，則%=<>

CCl^

A.272B.±2也C.4D.±4

10.

小明去參加法制知識(shí)答題比賽，比賽共有A,B,。三道題且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立

.已知三道題的分值和小明答對(duì)每道題的概率如表：

A題分值：3分8題分值：3分C題分值：4分

答對(duì)的概率0.60.50.4

J"）、（）

記小明所得總分為X（分），貝?

P（X=10）

5「3「11r55

A—B.—C.—D.—

22156

11.已知函數(shù)/（x）=sin2（（y龍一5「cos（（yx+技）（口〉0）,關(guān)于函數(shù)/（x）有如1

①“X）的最小正周期是，

②若“X）在X、處取得極值，！則。=1；

③把/（x）的圖象向右平行移動(dòng)二卜個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;

22q

④/(X)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減，則區(qū)的最小值為

_?！筧co2

其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

12.已知/(x)=e*-必有兩個(gè)零點(diǎn)看,馬(百ex?)，g(x)=----x+\,則()

A.a<eB.8㈤+8㈤〉。

Cg(xJ-g(X2)>0D.2g(xl)-g(x2)+g(x2)<0

第H卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)

x+y-240

13.設(shè)變量x,N滿足約束條件「->+220,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為

x+2y-2>0

14.11-￡|。+1)6展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答).

15.

把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，構(gòu)成數(shù)列{%},則

16.

22.爐J

如圖,已知橢圓G：?1,C2若由橢圓C1長(zhǎng)軸一端點(diǎn)P

和短軸一端點(diǎn)。分別向橢圓。2引切線網(wǎng)和QT，若兩切線斜率之積等于-；，則橢圓的離

心率e=.

三、解答題.(解答過(guò)程應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，解答步驟.共70分)

04/32

17.2022年卡塔爾世界杯（英語(yǔ)：FIFAWorldCup

Qatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也

是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔

爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦

的世界杯足球賽.為了解某校學(xué)生對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行

調(diào)查，其中女生中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)畤，男生有5人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興

趣.

（1）完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別

有關(guān)”?

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男60

女

合計(jì)

（2）從樣本中對(duì)足球沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨

機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期望

P(K2*k。)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

K2〃=Q+Z?+c+d

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)，

18.

如圖，在直三棱柱AB?中，AB=CC}=3,BC=4,AC=5,AE=AAA,,D為

8C的中點(diǎn).

(1)當(dāng)/l=g時(shí)，求證：AD〃平面BGE；

(2)CQ與平面8GE所成角為凡求sin6的取值范圍.

44

19.在銳角_43c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a也c,Z?-csinA=acosC.

(1)求A；

(2)若6=2,求一ABC面積的取值范圍.

20.

22(

已知A,B分別是橢圓C:2+方=1(。＞。＞0)的上下頂點(diǎn)，|AB|=2,點(diǎn)［1,+J在橢圓c上

,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓C交于x軸上方兩點(diǎn)M,N.若弱.瑞=T,試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若

是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=gx2-(x+i)］n(x+l)+x+"

(1)g(x)是〃》)的導(dǎo)函數(shù),求g(x)的最小值;

(2)已知〃eN*,證明：1+g+g+L+，＞+

(3)若x*-xlnx+(2-a)x-l20恒成立，求”的取值范圍.

請(qǐng)考生在第22、23兩題中選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的

第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］.

06/32

22.

x—cosa

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C參數(shù)方程為個(gè)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos（e-亞.

（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程與曲線c的普通方程；

（2）P是曲線。上的點(diǎn)，求P至卜距離的最大值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)〃x）=k-2%|2x+8］.

（1）求不等式的解集；

（2）若/（力2/一。恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍.

2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題），第n卷（非選擇題），共4頁(yè)，滿

分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書

寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

i-3i=1+，

1.已知復(fù)數(shù)z滿足丁一+\N是z的共枕復(fù)數(shù)，則z+5等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

【答案】B

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)等式得到Z,計(jì)算得到共拆復(fù)數(shù)彳，即可得到Z+2的值.

【詳解】解：由題意

在上a=i+i中，

Z

l-3i(l-3i)(l-i)3i2-4i+l4i+2,~

Z==-777T-=彳==-1-21

l+i(l+i)(l-i)1-i22

/.z=-l+2i

/.z+z=-l-2i-l+2i=-2

故選：B.

2.

從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下由此可

估計(jì)甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，則下列結(jié)論正確的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大

B.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班小

C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差相等

D.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班大

【答案】A

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大小;

B選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大?。?/p>

C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義計(jì)算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；

D選項(xiàng)，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績(jī)更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.

【詳解】甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為空9=73,乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為"2=

69.5,

甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大，A正確；

51+60+62+63+73+73+76+81+82+93

甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為=71.4,

10

51+52+63+63+67+72+81+82+83+92

乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為=70.6

10

08/32

故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班大，B錯(cuò)誤；

甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為93-51=42,乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為92-51=41,

故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差不相等，C錯(cuò)誤；

從莖葉圖中可以看出甲班的成績(jī)更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績(jī)更分散，沒(méi)

有集中到平均數(shù)70.6的附近，

故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班小，D錯(cuò)誤.

故選：A

3.設(shè)集合4=卜1,2°,朋2,當(dāng)卜5={l,2/ne3,手),則AcB子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，從而得到A8=八2,殍},再求子集個(gè)數(shù)即

可.

所以AB=n,2,—kAcB的子集個(gè)數(shù)為23=8.

故選：C

4.設(shè)xeR,向量"=(x』)，b=(1,-1),lb?則,一同=()

A.1B.41C.6D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求x,再由向量減法的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示求k-可.

【詳解】因?yàn)閍=(x,l),b=(l,-1),且皿，

所以—1=0，所以x=l,則a-b=(0,2),可得|a-6|=*2+22=2.

故選：D.

5.

已知廠為拋物線T：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)，過(guò)F作垂直x軸的直線交拋物線于“、N兩點(diǎn)，

以MN為直徑的圓交＞軸于C,。兩點(diǎn)，若|8|=26,則T的方程為。

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2\［?＞xD.y~=6x

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，〃為半徑的圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.

【詳解】由題可知尸1,0）,由x=g可得：/=加,

所以|MN|=2〃，所以以MN為直徑的圓的半徑是P,圓心為

所以［乎］=/，P＞。，

解得P=2,

所以拋物線方程V=4x.

故選：B.

6.

X+修=-b

一元二次方程V+hx+C=O的兩根玉,尤2滿足,，這個(gè)結(jié)論我們可以推廣到一元三次

x{x2=C

方程中.設(shè)不工2，尤3為函數(shù)/（力=^-6/+15-6的三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.尤1+%2+無(wú)3=-6B.+玉毛+X2±l=-11C.尤3=-6D.

X1x2尤36

【答案】D

【解析】

【分析】ax'+hx2+cx+d=0（。。0且＜7。0）的三個(gè)實(shí)根分別為%,工2,工3，依題意可得

g_xj（x_毛）（X-三）=0,再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.

【詳解】iSax3+bx2+cx+d=0且dwO）的三個(gè)實(shí)根分別為m，赴,七,

10/32

所以々（工一玉乂工一七乂工一壬^二。，

所以&V-（%+x2）x+xix2］（x-x3）=0,

所以以3一。（尤|+九2+工3）12+。（犬|工2+工2尤3+%芻）工一%2/3二。，

所以O(shè)XA

-a(X]+x2+x3)=b,a{xxx2+x2x3+x1x3)=c,-￥I23=d,

即X+W+W=-2,x1x2+馬當(dāng)+%七=—中洛=一￡

a-——a

所以1?1?1=々丹+%七+再%2="=。，

%x2x,_dd

a

所以函數(shù)/(x)=Y-6工2+11X—6中X]+/+X3=--=6,xx+xx+xx=-=11,

a[2[323ci

中2七=_4=6,11

a~6

故選：D

7.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立

兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直.從前表卻行一百二十三步，人目著

地取望島峰，與表末三合.從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合?問(wèn)島高及去表各幾何

.這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年.其大意為：測(cè)量望海島A3的高度及海

島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿DE,FG（AB,DE,對(duì)共面，均垂直于地面

），使目測(cè)點(diǎn)〃與B，。共線，目測(cè)點(diǎn)。與8,產(chǎn)共線，測(cè)出E”，GC,EG,即可求出島

高AB和AE的距離（如圖）.若DE=FG=3,EH=1,HC=12,GC=9,則海島的高

AB=（）

A.18B.16C.12D.21

【答案】A

【解析】

DEEH墨=%，結(jié)合條件即得.

【分析】由題可得益=而

ABAC

【詳解】由題可知。E//AB,FG//AB,

g”DEEHFGGC

所以罰=而‘益=就'又DE=FG=3,EH=7,HC=12,GC=9,

所以..-------,---=---------

ABAE+7ABAE+7+12

解得A￡=35,AB=18.

故選：A.

8.

如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體AB。。-44GA中，。是底面正方形ABC。的中心，點(diǎn)M在

上，點(diǎn)N在4耳上，若ONLAM,則。M=（）

A.1B.2C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、丁、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)N（6,〃,6）,M（O,O,/n）,其中0<?<6,由OMAM=0求出的值

,即可得解.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

12/32

則A(6,0,0)、0(3,3,0),設(shè)點(diǎn)N(6,〃,6),M(0,0,m),其中0<n<6,

AM=(-6,0,m),ON=(3,“—3,6),

因?yàn)镼V_LAM,則ON-AM=3x(-6)+6加=0,解得機(jī)=3,故DW=3.

故選：D.

ab,、a,8

9.定義=ad—bc,已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且%=2,=0,則%=()

Cdo

A2V2B.+2V2C.4D.±4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即得.

CL8

【詳解】因?yàn)椤?=0,

8?8

所以紇/-64=0,即姆=64,又｛叫為等比數(shù)列，%=2,

所以%，%，%同號(hào)，%=8,又

所以。5=4.

故選：C.

10.

小明去參加法制知識(shí)答題比賽，比賽共有A,B,。三道題且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立

.已知三道題的分值和小明答對(duì)每道題的概率如表：

A題分值：3分8題分值：3分。題分值：4分

答對(duì)的概率0.60.50.4

P（X=3）

記小明所得總分為x（分），則M去=（）

r0[A=1（JJ

5八311「55

AA.-B.-C.—D.—

22156

【答案】A

【解析】

【分析】由概率乘法公式分別求出尸（X=3）,P（X=10）,由此可得結(jié)論.

【詳解】由已知P（X=3）=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6=0.3,

p（X=10）=（）.6x0.5x0.4=0.12,

所以P（X=3）_5

所以P（X=10）2,

故選：A.

11.已知函數(shù)〃x）=sin2（0x—3—cos?（8+技）（0>0）,關(guān)于函數(shù)/（x）有如下四個(gè)命題：

①“X）的最小正周期是今

②若"X）在處取得極值，則0=1;

③把/（x）的圖象向右平行移動(dòng)焉個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

④4工）在區(qū)間近二]上單調(diào)遞減，則的最小值為。.

_?！筧ct）2

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由題可得/（x）=cos（25）,根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變

換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得過(guò)然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性

a2

質(zhì)可判斷④.

14/32

【詳解】因?yàn)?(尤)=5抽213-5卜852妙+/卜85%%-5m％尤=?05(28),

所以“X)的最小正周期是得=5,故①正確；

若/(x)在x=5處取得極值，則即=航，左eZ,即3=女,keZ,又。＞0,故＜y=%Z:eN",

故②錯(cuò)誤；

把/(力的圖象向右平行移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，可得

y=cos2。(龍一-cos^2a)x-^=sin(2°x),

因?yàn)閟in(-2ox)=-sin(25),故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故③正確；

由xw0,—,可得2。無(wú)€0,2工-TT

又/(X)在區(qū)間0，/上單調(diào)遞減，

aa

則泗〈兀，即0＜q4?，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知匕應(yīng)_=@+故④正確；

aa2act)o)a2

所以真命題的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

12.已知/(x)=e'-依有兩個(gè)零點(diǎn)％,々(石＜W)，g(x)=~---x+\,則()

A."eB.g(xJ+g(w)＞0

c.g&)-g(w)＞。D.2g(x,).g(X2)+g(X2)＜。

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,通過(guò)令〃x)=O,構(gòu)建新函數(shù)/z(x)=F，求導(dǎo)解出〃(x)=F的單調(diào)性

，再結(jié)合有兩個(gè)不同零點(diǎn)即可得出〃與e的大小關(guān)系；

對(duì)于選項(xiàng)C,通過(guò)對(duì)g(x)求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對(duì)稱定義得出g(x)關(guān)于0,0)對(duì)稱，得出

g(%)＜。且g(%)＞0,即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,通過(guò)對(duì)/(x)零點(diǎn)的分析結(jié)合選項(xiàng)A中的證明，得出0<不<1<W，結(jié)合選項(xiàng)C中

的證明利用單調(diào)性得出g(%)>g(0)=-g即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B,結(jié)合選項(xiàng)C,D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)i(x)=〃(x)-〃(2-x),求導(dǎo)再構(gòu)造得出

i(x)的單調(diào)性即可由0<玉<1<々于單調(diào)性得出％+xi〉2,即可證明4比4離x=l遠(yuǎn)，再結(jié)

合對(duì)稱性得出|g(X2)|>|g(5)|，即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

令/(x)=e*-辦=0,

ex

貝|Jex=ax>B|Ja=—，

x

x

令M%)=一e,

則〃,(力=三二=巴善1,

則當(dāng)x>l時(shí)〃'(x)>0,當(dāng)x<l時(shí)〃'(x)<0,

x

則/2(力=e?在X>1時(shí)單調(diào)遞增，在尤<1時(shí)單調(diào)遞減,

,

則〃(X)疝n=〃(l)=Te=e,

則當(dāng)〃x)=e'-?有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，?>e,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：

g(x)=W-彳-龍+1，

則/(x)=2V-Iln2+21-rln2-l=ln2(2X-1+2I-J)-1,

X

由基本不等式可得2'T+2'->2,

則In2(2i+2i)221n2>l,

則g，(x)>0,則g(x)再定義域上單調(diào)遞增,

16/32

/、/、2V+I22-x+I2

g(x+l)+g(r+l)=-^---^-x-l+l+---^r+x-l+l=O,

則g(x)關(guān)于(LO)對(duì)稱，

令/(x)=e，-3=0,貝

e*>0,且由選項(xiàng)A得知。>e,

.,.當(dāng)/(x)=e*-ar=0時(shí)，解得的x>0,即玉、x2>0,

由選項(xiàng)A中可知/z(x)=^在％>1時(shí)單調(diào)遞增，在x<l時(shí)單調(diào)遞減,

當(dāng)/(x)=e*-必有兩個(gè)零點(diǎn)看,工2(石<七)時(shí)，

則0<X[<1V尤2，

則g(xj<()，且g(%)>0,

令i(x)=〃(x)_〃(2-x),且0cx<1,

2-x

則皿=J)隹-己

7

令/(x)=W(O<x<l),

則/'(x)=e'(；[2)<0,

即/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,

xe(0,l),

:.x<2-x,

x

ee2r

>0,

/(2-x)2

則i'(x)<o,

即i(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

z(x)>z(l)=0,

即/?(x)>/?(2—%),

0<Xj<1,

/z(x1)>/i(2-x1),

，

〃(W)>〃(2—xj,

x2>l,2-玉>1,〃(x)在(1,物)上單調(diào)遞增，

x2>2-Xj,即玉+馬>2,

則々比X]離X=1遠(yuǎn)，

則|g(尤2)|>|g&)|，

則g(X1)+g(x2)>。，

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：

由選項(xiàng)B中可知gG)<0,且g(%)>0,

則g(%),g(w)<o,

故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：

2g(%)-g(w)+g(x2)=g(引｛2ga)+l]

由選項(xiàng)B中可知g(x)再定義域上單調(diào)遞增，且g(&)>0,0<%<1,

則g(xJ>g(O)=-g，

則2g(%)+1>0,

則2g(%"(馬)+8(X2)>0

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：B

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常見(jiàn)的解題轉(zhuǎn)化方法：

18/32

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問(wèn)題，需要注意分類討論與數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用；

（2）函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題處理.

難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時(shí)需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）

x+y-240

13.設(shè)變量X,，滿足約束條件x-y+2N0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為.

x+2y-2>Q

【答案】|

【解析】

【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在V軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)

解，代入即可求解.

x+y-2<0

【詳解】畫出約束條件<x-y+220所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x+2y-2>0

目標(biāo)函數(shù)2=》+丁，可化為直線y=-x+z,

當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)c時(shí)在y上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

（、

又由x+2y—2=0,解得°卜<2天4三，

x—y+2—0y33/

所以目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為2*='2+14=：2.

故答案為：

14.11-l|（x+l）6展開式中V的系數(shù)為_________.（用數(shù)字作答）.

VX）

【答案】5

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椋▁+碟的展開式通項(xiàng)為心=禺產(chǎn)"

所以n=C>3,4=C*4.

故展開式中V的系數(shù)為C：-或=20-15=5.

故答案為：5.

15.

把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，構(gòu)成數(shù)列{q},則

旬=----------

【答案】13

【解析】

【分析】根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.

【詳解】由題可知正整數(shù)按1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3,……，進(jìn)行排列,

因?yàn)?+2++.=電+1）,當(dāng)攵=13時(shí)，攵（攵+1）=9],

22

所以%=13.

故答案為：13.

16.

如圖，已知橢圓G：*■+￡=1,x2y2

=t(a>b>0,0<t<l).若由橢圓C長(zhǎng)軸一端點(diǎn)p

和短軸一端點(diǎn)。分別向橢圓。2引切線依和QT，若兩切線斜率之積等于-；，則橢圓的離

心率e=.

20/32

【答案】—

2

【解析】

【分析】設(shè)切線PR：y=K(x+a),QT-.y=k2x+b,聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件

可得.=,，然后根據(jù)離心率公式即得.

a22

【詳解】由題可知。(一。,0),Q(0,。),

設(shè)切線PR：y=4（x+a）,QT:y=k2x+b,

y=^（x+a）

由，尤2,2,可得（好/+人2卜2+2（2a3x+K2a4—s2b2=0,

.LL

所以△=（26（打2-4（6/+。2）（/2/Ta2b?）=（）,

i2

整理可得號(hào)=盧二

(IT)。

y=k2x+b

2

由y,可得72b2+24242A^〃方―幻2〃2=0,

所以△=（2%24%）2-4（%；/+。2）（。2》2_的%2）=0,

整理可得仁嘿,

又兩切線斜率之積等于-;,

所以將￡=湍/嚕4曜4

所以62="=匕￡=1一4」，又ee（O,l）,

tera2a22''

所以e=也.

2

故答案為：叵.

2

三、解答題.（解答過(guò)程應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，解答步驟.共70分）

17.2022年卡塔爾世界杯（英語(yǔ)：FIFAWorldCup

Qatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也

是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔

爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦

的世界杯足球賽.為了解某校學(xué)生對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行

調(diào)查，其中女生中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)畤，男生有5人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興

趣.

（1）完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別

有關(guān)”?

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男60

女

合計(jì)

（2）從樣本中對(duì)足球沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨

機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期望

尸（心兒）0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

n{ad-bc)1

K2

(o+〃)(c+d)(Q+c)(〃+d)，n=a+h+c+d

【答案】（1）填表見(jiàn)解析；有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”

22/32

（2）分布列見(jiàn)解析；期望為1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求K?，分析理解;

（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)

男55560

女301040

合計(jì)8515100

“，100x(55x10-5x30)2800…c

K-=-----------------=——?5.229>5.024

85x15x40x60153

所以有97.5%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”.

【小問(wèn)2詳解】

按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人,

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,則有:

唳=。）=答/丁尸警=*|，3=2）=詈W

，X的分布列為:

X012

3]_

P

555

131

i^￡(X)=0x-+lx-+2x-=l,即X的期望為1.

18.

如圖，在直三棱柱ABC-4與G中，AB=CC1=3,BC=4,AC=5,AE^AAA,,D為

6C的中點(diǎn).

小G

B

（1）當(dāng)■=；時(shí)，求證：AT>〃平面BGE；

（2）若立，G。與平面BGE所成的角為。，求sin。的取值范圍.

44

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

「2屈

⑵方F

【解析】

【分析】（1）首先取BG中點(diǎn)。，連接。。，0E,。為BC的中點(diǎn)，易證四邊形ADOE為

平行四邊形，從而得到仞〃0￡,再利用線面平行的判定即可證明〃平面BGE.

（2）以B為原點(diǎn)，BC,84,BB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解

即可.

【小問(wèn)1詳解】

取BG中點(diǎn)。，連接0。，0E,。為8c的中點(diǎn)，如圖所示：

因?yàn)?。力分別為BG和的中點(diǎn),

所以。Q〃gCG且0。=：CC,,

24/32

又當(dāng)4=5時(shí)，E為A4的中點(diǎn)，

所以AE〃gcq,且AE=gcG，

所以O(shè)D〃AE,且。D=AE,

所以四邊形4DOE為平行四邊形，所以AO〃OE,

因?yàn)锳D.平面BCE，OEu平面BC|E,所以49〃平面8。田.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳8=3,BC=4,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,即ABIBC.

又因?yàn)槿庵鵄BC-ABC為直三棱柱,

所以以8為原點(diǎn)，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

所以3（（）,0,0）,q（4,0,3）,￡＞（2,0,0）,E（0,3,32）,—WXW

4

BG=（4,0,3）,B左=（0,3,33）,

設(shè)平面BC]E的一個(gè)法向量”=（x,y,z）,

所以，令x=3,得〃=（3,44-4）.

n-BE-y+Az=0

又。G=（2,0,3）,

pi-DCj

6

所以sin6=

|〃帆A/BA/16/12+25'

?1V2由7.有「2屈3VT

又一<A<—,所以sin。e———,,

443913

所以sine的取值范圍為嚕，嚕.

19.在銳角乂中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。也(;力-與114=<285。.

(1)協(xié)；

(2)若8=2,求一ABC面積的取值范圍.

【答案】(1)A=:

4

(2)(1,2)

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同

角關(guān)系可得A角；

(2)由(1)及已知得8角范圍，利用正弦定理把。表示為B的三角函數(shù)，從而得出。的范圍

，再由三角形面積公式得面積范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閔-csinA=acosC,

由正弦定理得sinB-sinCsinA=sinAcosC,

即sin(A+C)-sinAcosC=sinCsinA,

所以cosAsinC=sinCsinA,

因?yàn)閟inCVO,所以tanA=l,由得A=(.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閎=2,

2sinB

2sinC_U_J_2(sin^cosB-cosTsinB)_夜

C———―F2

sinBsinBsinBtanB

由包一8V巴可得B>四，

424

所以Be則tanBw(l,y),故cw(0,2&)，

I42J

iB

所以_ABC的面積S=-人csin/l=——ce(1,2).

22v'

26/32

即ABC面積的取值范圍為（1,2）.

20.

已知A,B分別是橢圓。：5+，=1（。>。>0）的上下頂點(diǎn)，|/慟=2,點(diǎn)，辛）在橢圓。上

,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/與橢圓C交于x軸上方兩點(diǎn)M,N.若弱.瑞=T,試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若

是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由.

【答案】（1）—+/=1;

2

（2）是，直線/過(guò)定點(diǎn)母）.

【解析】

分析】（1）由題可得6=1,然后把點(diǎn)［日）代入橢圓方程可得/=2,即得；

（2）設(shè)直線丁=依+/,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得￡=且

3

,進(jìn)而即得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閨蝴=2,所以力=1,

又點(diǎn),日）在圖像C上，

所以4+9=1'所以儲(chǔ)=2，

所以橢圓C的方程為￡+丁=1；

2-

【小問(wèn)2詳解】

由題可設(shè)直線/：y^kx+t,A/（x，x）、N（x2,y2）,（y,>0,y2>0）,

y=kx+t

,得(2公+1卜2+4依+2/一2=0,

由，X~2

—+y=1

,2

則A=8（2/+l—r）＞0,

4kt

2t2-2

3=環(huán)

又OM-ON=-\,g[Jxlx2+yiy2=-l,

所以石玉+(Ax,+。("j+/)=—1,即伊+1卜用+依(％+工2)+產(chǎn)=T，

(k2+l)-2?,-2+fe-f——^—}+t2=-l,

'>2公+1I2k2+\)

解得*=I，又y+%=J^>0,即，>0,

JNK?1

所以t=y~kx+^->

33

所以直線/過(guò)定點(diǎn)

21.已知函數(shù)/(力=37一(了+1)111(%+1)+1+/.

(1)g(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù)，求g(x)的最小值;

(2)已知〃eN*,證明：1+/+飛+L+—?>ln(〃+1)；

(3)若1'-jdn_x+(2-a)x-120恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)0(2)證明見(jiàn)解析

⑶(-2]

【解析】

【分析】(1)求出g(x)的表達(dá)式，求導(dǎo)，通過(guò)討論g(x)的單調(diào)性，即可求出g(x)的最小

值；

(2)通過(guò)(1)中g(shù)(x)的取值范圍得出x21n(x+l),即可證明不等式；

28/32

xx-x\nx+2x-\

(3)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可可，通過(guò)(1)中的結(jié)論xNln(x+l),可得

x

出〃(X)的取值范圍，即可求得。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，在/(x)=gx2-(x+i)]n(x+l)+x+f中，

所以，g(%)=/A(x)=x—ln(x+l)—1+1=x—ln(x+l),

在g(x)=x—ln(x+l)中，x>-l,

1_x

x+1x+l

令g[x)=O,解得％=(),

又XG(-1,0)時(shí),g〈%)<0,xe(0,+oo)時(shí),g[x)>0,

，g(x)2g(O)=O,即g(x)的最小值為0.

【小問(wèn)2詳解】

在g(x)=x-ln(x+l)中，g(x)=x-In(x+l)20,

可知xil