2023年高考數(shù)學(xué)大招3常用的導(dǎo)數(shù)放縮技巧

大招3常用的導(dǎo)數(shù)放縮技巧

大招總結(jié)

第一組：對數(shù)放縮

(放縮成一次函數(shù))In通/-l,lnx<x,ln(l+x)x,lnx<x；

(放縮成雙次函數(shù))

lnx<—IX-—|(x>l),lnx>—|X-—|(0<x<l),lnx<yfx——T=(X>l),lnx>

4x<x<1);

(放縮成二次函數(shù))In遇H—x,ln(l+x)x-x2(-l<x<0),ln(l+x)?x-x2(x>0);

（放縮成類反比例函數(shù)）In知凰一，/n（l+x）—^,lnx<2（A-1）（0<X<1）.

xl+xx+1

第二組：指數(shù)放縮

（放縮成一次函數(shù)）eW+l,er>x,e'ex；

（放縮成類反比例函數(shù)）e、領(lǐng)J—（x0）,6"<--（%<0）；

1-XX

1

（放縮成二次函數(shù)）13

e%fi+x+gx2（x>o）,e?1+%+；%2一

第三組：以直線y=x-l為切線的函數(shù)

y=\nx,y=ex-1-1,y=x2-x,y=1—,y=xlnx.

x

以上公式較多且繁雜，我們記住基礎(chǔ)的、最常見的即可，其他可以根據(jù)最基礎(chǔ)的不等式推導(dǎo).

常用不等式1：e'廉c+1>x>x—1Inx?1—.

x

這個(gè)是本書封面公式，導(dǎo)數(shù)放縮精華之所在.

常用不等式2:e'醫(yī)Inx（非常具有對稱美感）

e

y=

A(x)?!n(x)

證明：e\.x+l

構(gòu)造/(x)=er-(x+l)r(x)=eA-lxe(-(x),O),r(x)<O/(x)單調(diào)遞減

X￡(0,□)—(%)>()/(%)

單調(diào)遞加.,./(x)../(O)=e°-(O+l)=O

?*.e'..x+1

證明：x-l..lnx

構(gòu)造/(x)=X-1-Inxf'(x)=1--xG(0,<0f(x)單調(diào)遞減

Xea+co)/,(x)>0/(x)單調(diào)遞加/(%)../(1)=1一1一In1=0

/.x-L.lnx

證明：Inx..1—

構(gòu)造/(x)=Inx—(1-工］/'(x)=L—二=又XG(O,1)/Xx)<0/(x)

Vx)xxx

單調(diào)遞減xe(1,+8)/'(x)>0/(x)單調(diào)遞加/(x)../(l)=()-(l-l)=()

.,1

Inx..1—

x

證明：eA..ex

構(gòu)造f(x)=ex-W(x)=e'-e

x￡(y)/)，/r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減xe(l,+o)),/(x)〉0,/(x)單調(diào)遞加

/./(x)../(l)=e'-e=0

ev..ex

證明：-x..Jnx

e

構(gòu)造/(x)=-x-\nxf'(x)=---xe(0,e)/'(x)<0/(x)單調(diào)遞減

eex

%￡(e,E),/z(x)>0,/(x)單調(diào)遞加A/(x)../(e)=1-1=0

1?

:.-x..lnx

典型例題

例1.已知函數(shù)/。)=》+二，若對于任意的》61<，*)>以恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范

e

圍是()

A.(-oo,l-e]

B.(l,+oo)

C.(l-e,l]

D.(-00,l-e]u(1,4-00)

解：方法1：對任意的x&R,要使f(x)>ax恒成立，可設(shè)

g(x)=/(x)-ax=4+(l-a)x,則要g(x)>()恒成立.當(dāng)a=l時(shí)，g(x)=4>0恒

ee

成立，故滿足題意；當(dāng)awl時(shí)，g'(x)=l-a-e-x;

若。>1,則g'(x)<()恒成立，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，g(x)趨近于負(fù)無窮,

不滿足題意；若。<1,由于g'(x)=(),解得x=-ln(l-?),所以g(x)在

上單調(diào)遞減,

在(―ln(l-a),+s)上單調(diào)遞增，g(x)在x=—ln(l-a)處取得極小值即最小值，要使

g(x)>0恒成立，即g(-ln(l—a))>()恒成立，解得此時(shí)a>l—e.綜上所述，。的取值

范圍是—故答案選C.

方法2：函數(shù)/(x)=x+[,即e〉(a-l)x恒成立，設(shè)函數(shù)8(*)=-^,同時(shí)令不等式

eee

右邊為

h(x)=(a-l)x,如圖所示:

由于e"存在過原點(diǎn)的切線y=ex,故此時(shí)該切線為y=-er,故一e<a-l,,O,則

1.故選C.

例2.已知對于任意的x<l,有不等式ln(l-x)+再，”恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍？

解：方法1：由于要對于任意的x<l有l(wèi)n(l—x)+G；,a恒成立，即ln(l—x),,a(l—x),

由于x<l時(shí)，l-x>0,故只需a,令g(x)="y*(x<l),令r=i—x,

1-xX

即此時(shí)，>0,

1?

Inf~'t—\nt?_?,

即g?)=—(f>0),此時(shí)g，(f)=J—=:^?>0).當(dāng)0</<e時(shí)，函數(shù)

ttr

g'Q)>0,此時(shí)函數(shù)g?)單調(diào)遞增；當(dāng)，,e時(shí)，函數(shù)，⑺<0,此時(shí)函數(shù)g?)單調(diào)遞減,

故函數(shù)g(f)在f=e時(shí)取得極大值，即最大值，故函數(shù)g(f),,g(e)=L,即此時(shí)得到

e

g(f),故實(shí)數(shù)a的取值范圍為+8).

eLe

方法2：若保證ln(l-x)+G；,a恒成立，即保證ln(l—x)?-。(九一1)恒成立，此時(shí)令

t=l-X,

1「1A

即Inf”〉())恒成立，由基本不等式，Inx,,-x,故得到ae-,+8.

eLe)

例3.已知函數(shù)/(x)=e*-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是/*)的極值點(diǎn)，求機(jī)并討論了(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)“4,2時(shí)，證明：/(x)>0.

解：⑴???/(x)=e'-——,x=0是/(%)的極值點(diǎn)，.?./(())=1一l=0,解得

x+mm

所以函數(shù)/(x)=eA-ln(x+l),其定義域?yàn)?/p>

/1\rtt\v1eA(x+1)—1

(-1,+00).-.-f(無)=e--------=----------------

x+1x+1

設(shè)g(x)=e'(x+l)-l,則g'(x)=e'(x+l)+e'>0,所以g(x)在(―l,”)上為增函數(shù),

又：g(0)=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,即f\x)>0;當(dāng)一1<%<0時(shí)，

g(x)<O/(x)<().

所以/(X)在(-1,0)上為減函數(shù)；在(0,+8)上為增函數(shù).

(2)證明：方法1：當(dāng)/%,2,xe(—m,+00)時(shí)，ln(x+M”ln(x+2),故只需證明當(dāng)

加=2時(shí)/(x)〉().當(dāng)加=2時(shí)，函數(shù)/，(x)=e、一一二在(―2,+口)上為增函數(shù)，且

x+2

r(-D<o,r(o)>o.

故廣(x)=0在(-2,小》)上有唯一實(shí)數(shù)根x0,且與6(-1,0).當(dāng)XG(-2,X0)時(shí),

/'(X)<0,

當(dāng)xe(Xo，*KQ)時(shí)，，f'(x)>(),從而當(dāng)x=玉)時(shí)，/(X)取得最小值.由/'優(yōu))=0,

得e'"=W'g+2)=f故/⑶.."xo)=W+x°=MA°.

綜上，當(dāng)了,2時(shí),/(x)>0.

方法2：當(dāng)列，2,xe(-機(jī),+oo)時(shí)，ln(x+機(jī)),，ln(x+2),故只需證明當(dāng)

m=2,f(x)>0.即證明e'-ln(x+2)>0,由于e'..x+l,即證明x+1..Jn(x+2),

顯然成立.

例4.已知函數(shù)/(x)=ae*-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求。的值，并求/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)口.1時(shí)，/(x)..O.

e

解(1),函數(shù)/(x)=ae'-lnx-l.;.x>O,/'(x)=ae'-Lx=2是/(x)的極值

X

點(diǎn)，

???/(2)=恁2—；=0,解得

o-^2=2^2e-Ex-1，，/*)=^ye”一：，

當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)<>2時(shí),/'(X)>()????/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,

在(2,+8)上單調(diào)遞增.

?6e

(2)證明：方法1:當(dāng)。...一時(shí)，于(x)…-----lnx-1,設(shè)g(x)=------lnx-1,則

eee

e*1ex1

g'(%)=--------，由g'(x)=--------=0,得x=l當(dāng)Ovxvl時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí),

exex9

g'(x)>O,/.x=l是g(x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)..g⑴=0,.?.當(dāng)a2時(shí)，

e

/U)..O.

x

)e

方法2：當(dāng)。…一時(shí)，/(x)ffi一—lnx-10,由于elex或者e『.x,所以證明

ee

x-lnx-l..O

即可，顯然成立.

自我檢測

1.已知函數(shù)/(x)==Tnx.

e

(1)設(shè)x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求〃z的值并討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)〃小2時(shí)，證明：/(%)>0.

e"1e

解：⑴r(x)=——一,(x>o),x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，即七一1=0,所以m=1.

exe

vvv

eee1

于是函數(shù)/(X)=FT數(shù)lnx=——lnx"'(x)=-----,由廣(x)=(),可得x=l,因此,

eeex

當(dāng)xw(O,l)時(shí)，r(x)<0；當(dāng)xe(。+8)時(shí),r(x)>0,所以,函數(shù)/(x)在(0,1)上單

調(diào)遞戒，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵證明：當(dāng)"4,2時(shí)，對于任意xe(0,+oo),e*>x+l恒成立，又xe(0,+oo),x>lnx恒

XX

成立，x02時(shí)，e*-2>x-l...lnx,x=2時(shí)，—=x-l>lnx,原式得證，即

ee

/(x)>0.

加“T

2.設(shè)函數(shù)/(x)=ae“l(fā)nx+——，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處得切線方程為

x

y=e(x-l)+2.

(1)求。、b;

⑵證明：/(x)>1.

解：⑴函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?o,+a)),r(x)=?e'lnX+-￡e*T+-ex~',

XXX

由題意可得/(l)=2,/'(D=e,故。=1/=2；

2