2023屆北京市豐臺(tái)區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題（解析版）

2023屆北京市豐臺(tái)區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題

一、單選題

I.已知全集。=R,集合A={x|-l<x4O},則如A=()

A.(-oo,-l)u(0,-H?)B.(^o,-l]u(0,+co)

C.(t?,—1)U【O,+8)D.(-oo,-l]u[0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念求解即可.

【詳解】因?yàn)閁=R,A={x|-l<x<0},

所以aA={x|xW-l或x>0}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=3+。，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出共輾復(fù)數(shù)，即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閦=i(l+i)=-l+i,

所以5=-1—i,

所以2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第三象限，

故選：C.

3.在卜［的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()

A.-24B.24C.-48D.48

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出，將廠的值代入通項(xiàng)

求出展開式的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為7；M=(-2)'C；xj,令4一2r=0,解得r=2,所以展開式

的常數(shù)項(xiàng)為］=4C：=24

故選：B

4.已知向量3=(2,?石=(Z1),則“2=應(yīng)”是"￡///'的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由2/歷可求出2=士應(yīng)，再由充分性和必要性的定義即可得出答案.

【詳解】若2/小，則2xl_/P=0，解得：入=土丘.

所以4=&■=>“//B,而推不出2=

故“人=夜"是1〃斤’的充分而不必要條件

故選：A.

5.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

A.y=l-x2B.y=tanx

C.y=xcosxD.y=e*+e-*

【答案】D

【分析】利用函數(shù)奇偶性和在區(qū)間上單調(diào)遞增逐項(xiàng)分析.

【詳解】選項(xiàng)A由令y=l-V的定義域?yàn)镽,

且/(-x)=l-(-x)2=l-x2，

由函數(shù)為二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為y軸，

所以在(0,+8)單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(。,1)上單調(diào)遞減，

故A錯(cuò)誤，

=的定義域?yàn)椴稩xw5+farMez],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

且/(-x)=tan(-X)=-tanX=-f(x),

所以y=tanx為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

由、=口。5》的定義域?yàn)镽,

且/(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x),

所以y=xcosx為奇函數(shù)，故c錯(cuò)誤，

由y=e*+e-，的定義域?yàn)镽,

且/(-x)=eT+e，=/(x),所以

y=為偶函數(shù),

Vxp^e(O,l),s,^<x2f

所以/(%,)-f5)=e*+e』一(e-+e』

.11

=eA1-er2+----------

ev'e"2

=(e*-e1l—

IAeY

因?yàn)?,%￡（0,1）,且為＜々,

因?yàn)椋?=?1在區(qū)上單調(diào)遞增,

所以e"-e"<0,l<eA,<e,l<e^<e,

所以1-士>0,

eY

故/。）一/（馬）＜0,

所以y=e、+e-，在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，

故選：D.

6.已知拋物線＜7:卜2=20工3＞0）過點(diǎn)41,艱）,焦點(diǎn)為F.若點(diǎn)8（肛0）滿足|AF|=|8F|,則機(jī)的值

為（）

A.2B.V2+1C.2或-1D.&+1或1-0

【答案】C

【分析】由拋物線C:y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（l,夜），可求出P,即可表示出尸Q,。卜再由IA用=|防|,

即可求出，〃的值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（l,72）,

所以2=2p=p=l,

，〃=2或，〃=-l.

故選：C.

7.已知函數(shù)f（x）=31og2X-2（x-l）,則不等式f（x）＞0的解集是（）

A.(1,4)B.(r0,l)U(4,+oo)

C.(0,1)54,+8)D.(0,4)

【答案】A

【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.

【詳解】依題意/(幻=31”/-2(犬-1)>(),log2x>j(x-l),

)'=log/jf4

2

由2(八解得卜0或?

y=4(x-i)1%=。l%=2

2

畫出y=log2x,>=§(x-l)的圖象如下圖所示，

由圖可知，不等式/(x)>0的解集是(1,4).

故選：A

8.設(shè)雙曲線C*京K-的右焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸的直線/平行于雙曲線C的一條漸近線,

與另一條漸近線交于點(diǎn)尸，與雙曲線C交于點(diǎn)Q,若Q為線段"的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為

()

1_B,也口?竽

A.C.夜

22

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意得到直線/：y=g(x-c),與另一條漸近線聯(lián)立得到根據(jù)。為線

段尸產(chǎn)的中點(diǎn)得到。(手再代入雙曲線方程求解即可.

I44a)

【詳解】由題知：尸(。,0),平行的一條漸近線為y=

a

則直線/：y=3(l-。),

bey

2^J

b

y=——x

a

因?yàn)?。為線段燈的中點(diǎn)，所以。

(3cbe、X2v2—r2"0

把。(IF卜入/方=1得：陣一呼十

a"o

化簡(jiǎn)得=1，即5=2,則6=^/^.

136＜r1：6。,cr

故選：C

9.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8C￡＞是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面A6CD,點(diǎn)M為底

面上的動(dòng)點(diǎn)，例到的距離記為d,若|MC|=2d,則點(diǎn)M在底面正方形內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度為()

AB

cC2兀cLc3無

A.2B.—C.-\/5D.—

34

【答案】B

【分析】在平面中求得M點(diǎn)的軌跡方程，從而求得軌跡的長(zhǎng)度.

【詳解】由于平面ABCROMu平面ABCD,所以

所以0M=d,|MC|=2J.

在正方形A3C￡＞中，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，

C(3,0),設(shè)M(x,y),則疆翳=；,網(wǎng)=4|網(wǎng)2,

(x-3)2+y2=4x2+4y2,x2+y2+2x-3=0,(x+1)2+y2=4,

所以M點(diǎn)的軌跡是以E(-LO)為圓心，半徑為2的圓.

由(x+l)~+y2=4令x=0,解得y=±百，

則F（0,-⑹，由于阿=1,所以"EF=’,

所以M點(diǎn)的軌跡在底面正方形內(nèi)的長(zhǎng)度是

10.市場(chǎng)占有率指在一定時(shí)期內(nèi)，企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品在其市場(chǎng)的銷售量（或銷售額）占同類產(chǎn)品銷

售量（或銷售額）的比重.一般來說，市場(chǎng)占有率會(huì)隨著市場(chǎng)的顧客流動(dòng)而發(fā)生變化，如果市場(chǎng)的

顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定，那么經(jīng)過一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（即顧客的

流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)占有率），此時(shí)的市場(chǎng)占有率稱為“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率有A,B,C三個(gè)企業(yè)都

生產(chǎn)某產(chǎn)品，2022年第一季度它們的市場(chǎng)占有率分別為：40%,30%,30%.經(jīng)調(diào)查，2022年第二

季度4,B,C三個(gè)企業(yè)之間的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移情況如下圖所示：

若該產(chǎn)品以后每個(gè)季度的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移情況均與2022年第二季度相同，則當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡

狀態(tài)，最終達(dá)至獷穩(wěn)定市場(chǎng)占有率”時(shí)，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率”為（）

A.45%B.48%C.50%D.52%

【答案】D

【分析】根據(jù)市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移情況求得正確答案.

【詳解】最終達(dá)到“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率''時(shí)，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場(chǎng)占有率”為：

0.4x（］-0.3-03）+0.3x0.6+0.3x0.6=0.52=52%.

故選：D

二、填空題

11.函數(shù)/（X）=一：+Jx+1的定義域是

【答案】{巾"1且"0}

2r_1*0

【分析】根據(jù)題意得到"八求解即可.

x+l>0

2''140

【詳解】由題知：二八=x"l且XHO.

x+l>0

故答案為：{x|x±-l且XHO}.

12.己知集合4={（犬,丫）|*一丫一，*=0,X,'€1<},B={（x,y）k2+y2_2x+2y=o,x,yeR},若AcB為

2個(gè)元素組成的集合，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】（0,4）

【分析】集合A表示直線上的點(diǎn)，集合B表示圓上的點(diǎn)，根據(jù)直線和圓相交計(jì)算得到范圍.

【詳解】集合A表示直線犬-丫-加=0上的點(diǎn)，

集合B表示圓（x-爐+（），+1）2=2上的點(diǎn)，圓心為例（1,-1）,半徑/?=&,

AcB為2個(gè)元素組成的集合，故直線和圓相交，即d=

V2

解得0<zn<4.

故答案為：（0,4）

13.己知函數(shù)f（x）=sin（ox+E）0>0）,若/⑶=/[]），且在區(qū)間（右5）上有最小值無最大

值，則。=.

【答案】4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值求得正確答案.

【詳解】由于若=且/（X）在區(qū)間（看，；）上有最小值無最大值，

IT7TJT

所以一（t）-\—=2E—,co=6k—2,左wZ,

362

由于刃>0,所以。的值為4.

故答案為：4

14.已知函數(shù)/(x)=〃Inx-(x-1尸(a￡R)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X,出(玉<Z)，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)/(用有零點(diǎn)；

②〃的取值范圍是,:+8);

③%>1；

④/⑸>0.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①?

【分析】求出函數(shù)定義域以及導(dǎo)函數(shù)/(x)=-直二型由/⑴=0可說明①正確；由已知,

/'(x)=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出。的范圍，判斷②；根據(jù)求根公式,

解出巧，結(jié)合②中解出的。的范圍，可得到工2<1，即③錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

③的解析，可得/(迎)>/(1)=0,即④正確.

【詳解】由已知可得，f(x)定義域?yàn)?0,+8),尸(x)=0-2(x-l)=-直二四三.

XX

對(duì)于①，因?yàn)?(l)=alnl-(l-l)2=0,所以1是函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，故①正確；

對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和超，所以/'(x)=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解芭,電，即方程

21—2x-a=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解不三，

%1+x2=1>0

,m--<a<0,故②錯(cuò)誤;

則應(yīng)滿足，X\X2=5>°

A=(-2)2-4x2x(-?)=8a+4>0

對(duì)于③，解方程北―?？傻檬孔⒋餖生磬，因?yàn)椤?，所以寸土?/p>

由②知所以0<2a+l<l,所以故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由汽x)>0可得，即2/_2》-4<0,所以西<*<*,所以“X)在(4馬)上單調(diào)遞增；解

r(x)<0可得，0<x<百或*>電,所以f(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,在(w，+00)上單調(diào)遞減.

由③知g<X2<l,所以，(％)>/(1)=0,故④正確.

故答案為：①④.

三、雙空題

15.在等差數(shù)列｛4｝中，公差d不為0,4=9,且%%，%成等比數(shù)列，則，___________;當(dāng)

?=時(shí)，數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和S”有最大值.

【答案】-25

【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到必=4%，解得d=—2,再計(jì)算火=1>0,4=<0,得到答案.

【詳解】4,4,%成等比數(shù)列，故即(9+3d)2=9x(9+4”),

解得d=-2或2=。(舍).

=9—2(〃—1)=11—2〃，at=9>0,as=1>0,a6=—1<0,

故〃=5時(shí)，S,,有最大值.

故答案為：-2;5

四、解答題

16.如圖，已知正方體ABC。-ABCR中，點(diǎn)E是棱8c的中點(diǎn).

⑴求證：8?！ㄆ矫鍻GE；

(2)若點(diǎn)F是線段BR的中點(diǎn)，求直線OF與平面DGE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵也

3

【分析】（1）連接CD,交G。于連接E4,證明即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面QGE的法向量為］=（2,-1,1）,根據(jù)向量的夾角公

式計(jì)算得到答案.

【詳解】（1）如圖所示：連接c。交G。于H,連接E"，

H是CR中點(diǎn),E是8c的中點(diǎn)，敬BD"HE,

”Eu平面DC.E且BD,<z平面。GE,故叫〃平面D&E；

（2）以分別為x/，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則。（0,0,0）,E（l,2,0）,G（0,2,2）,尸（1,1,1）,

nDE=x+2y=0

設(shè)平面Z）GE的法向量為］=（x,y,z）,貝小'___',

n-DCt=2y+2z=0

取y=T得到分=(2,—1,1),而=(1,1,1).

M.叫—2

直線3尸與平面。GE所成角的正弦值為kos（兀麗，V2

3

17.在AABC中，2asinB=垃1>.

⑴求A;

Q）若b=2也,從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的

面積.

條件①：cosC=———；

10

條件②：〃=2；

條件③：sin8=—

5

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）4=3或4=與；

44

（2）答案見解析.

【分析】（1）由正弦定理邊化角可得sinA=XZ,即可求出結(jié)果；

2

（2）若選①：根據(jù)已知可得C為鈍角，則A為銳角，sinC=MZ>sinA,三角形唯一，根據(jù)兩角

10

和的正弦公式可求出sin8=@,根據(jù)正弦定理求出〃的值，根據(jù)S,.c=；"sinC即可求出面積；

若選②：根據(jù)正弦定理可求出sin8=1,8為直角，三角形唯一確定，可求出C=A,即可求出

SVA5C=<〃C=2；若選③：由sinA>sin8，可知人=^或4=￥，有兩解?

【詳解】（1）由2asin3=血力可得，2sinAsin8=0sin8.

因?yàn)閟inBwO,所以sinA=受，又0<4<兀，所以4=：或4=當(dāng).

244

（2）若選①：cosC=-'叵.

10

因?yàn)?<C<兀，所以C為鈍角，A為銳角，

又sinC=71-cos2C-3^^>sinA=sin（兀一A）,

又5<兀一人<兀，所以。<九一4,即A+C<TI,所以AABC存在且唯一確定.

則A=（,由A+B+C=TT可得8=TC—（A+C）.

0

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-------X

2I10J2105

,.,2y/2x也

bsmA

根據(jù)正弦定理‘可得，a=2=26,

sinAsmBsinCsinB6

5

所以。=1x2\/5x2A/2X3^^=6;

2210

若選②：4=2.

因?yàn)閎=2a>a，所以A=m由正弦定理三=二可得，.bsinA2A^XT1，

4sinAsin8sm8=------=-----^=1

a2

jr

因?yàn)?<3<兀，所以8=彳，所以AABC存在且唯一確定.

2

TV|

則C=TI-A-B=a=A,所以c=a=2,SVABC=-ac=2-

若選③：sinB=@.

5

因?yàn)閟inA=^>sinB,所以4>8,此時(shí)A=/或4=2，

244

所以，此時(shí)"WC存在但不唯一.

18.非物質(zhì)文化遺產(chǎn)(簡(jiǎn)稱“非遺”)是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是一個(gè)國(guó)家和民族歷史文化

成就的重要標(biāo)志.隨著短視頻這一新興媒介形態(tài)的興起，非遺傳播獲得廣闊的平臺(tái)，非遺文化迎來

了發(fā)展的春天.為研究非遺短視頻受眾的年齡結(jié)構(gòu)，現(xiàn)從各短視頻平臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了1000名非遺短視

頻粉絲，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成6組：U0,20),[20,30),[30,4()),[40,50),[50,60),[60,70],并整

理得到如下頻率分布直方圖：

⑴求a的值；

(2)從所有非遺短視頻粉絲中隨機(jī)抽取2人，記取出的2人中年齡不超過40歲的人數(shù)為X,用頻率估

計(jì)概率，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)在頻率分布直方圖中，用每一個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為該組粉絲年齡的平均數(shù)，估計(jì)非遺

短視頻粉絲年齡的平均數(shù)為，”，若中位數(shù)的估計(jì)值為附，寫出m與〃的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(l)a=0.018

(2)分布列詳見解析，￡(%)=0.6

(3)?>m

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1求得

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列以及數(shù)學(xué)期望.

(3)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的求法求得加，〃，并比較出兩者的大小關(guān)系.

【詳解】(1)(0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+a)xl0=l,

解得a=0.018.

(2)不超過40歲的人的頻率為(0.004+0.012+0.014)x10=0.3,

所以X~B(2,0.3),X的可能取值為0」,2,

P（X=0）=C；x0.3°x0.72=0.49,

P（X=1）=C；x03xO.71=0.42,

p（X=2）=C；x0.32x0.7°=0.09,

所以X的分布列為:

X012

P0.490.420.09

所以E(X)=2x0.3=0.6.

(3)租=15x().04+25x().12+35x0.14+45x0.24+55x0.28+65x().18=46.4歲.

0.04+0.12+0.14=0.3,0.04+0.12+0.14+0.24=0.54,

0225145

所以鹿=40+^x10=40+—=—>m.

0.2433

19.已知橢圓E:二+￥=1(“">0)過點(diǎn)4(-2,0),離心率為巫.

a2b22

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)尸(2,加)(加>0),直線附與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B為橢圓E的右頂點(diǎn).記

直線OP的斜率為公，直線3c的斜率為以，求證：尤?心為定值.

22

【答案】(1)工+工=1

42

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)過點(diǎn)和離心率計(jì)算得到橢圓方程.

m2

(2)計(jì)算直線方程，聯(lián)立方程得到C點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算仁=：,k2=--,相乘得到答案.

2m

【詳解】⑴橢圓￡:捺+卷=13>"0)過點(diǎn)A(-2,0),離心率為冬

故a=2,e=—=—=,c=V2>b=\Ja2-c2=>/21橢圓方程為土+匕=1.

a2242

m/八

y=1(x+2)

(2)的，=：，直線AP：y=?(x+2),聯(lián)立方程,

42

得到(8+也丁+4m2x+4/-32=0,

方程的一個(gè)解為-2,故另外一個(gè)解為十

2

16—2加2m\16-2m18m16-2m8"?

當(dāng)x=-----r時(shí),y=--------------：+2即C

8+〃r-4I8+m.28+加8c+2'8c+療?)

8m

8+/2m

8(2,0),左=￡UPF-1,得證

16-2/n2

8+/

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+sinx.

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程;

⑵求函數(shù)/*)在區(qū)間口,e］上的最小值；

⑶證明函數(shù)fM只有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】(l)(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=()

⑵八l)=sinl

(3)見解析

【分析】(1)對(duì)Ax)求導(dǎo)，求出/6=sinlJ'(l)=l+cosl,由點(diǎn)斜式方程即可求出答案；

(2)令g(x)=r(x)=J+cosx,g〈x)=-5-sinx,得出g(x)在［l,e］的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性

定理可得“X)在xe(l,a)上單調(diào)遞增，在x?a,e)上單調(diào)遞減，再比較/⑴J(e)的大小，即可得

出答案.

(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論0<xWl,I<x4萬和萬時(shí)，/(x)

的正負(fù)，即可得出證明.

【詳解】(1)/(x)=lnx+sinx的定義域?yàn)?0,+8),

故f\x)=—+cosx,/(l)=sinl,/,(l)=l+cosl,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(11⑴)處的切線方程為：y-sinl=(l+cosl)(x-l),

化簡(jiǎn)得：(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

(2)令g(x)=r(x)=g+cosx,g<x)=-J-sinx,

當(dāng)工￡［l,e］時(shí)，(g(^)="4-sinx<0,

所以g(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，且g⑴=l+cosl>0,

1

g(/e)\=—1+cosev—+cos2——^=1----1--<0,

ee3e2

所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間［Le］存在唯一的。，使g(a)=r(a)=0

又當(dāng)時(shí)，g(x)=r(x)>0；當(dāng)x?a,e)時(shí)，g(x)=ff(x)<0；

所以/(x)在x?l，a)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?⑴=lnl+sinl=sinl,/(e)=Ine+sine=l+sine>/(1),

所以函數(shù)在區(qū)間U,e］上的最小值為〃l)=sinl.

(3)/(x)=lnA：4-sinx,xe(0,+oo),

若0<xWl,ff(x)=—+cosx>0,

x

所以/(X)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，又〃l)=sinl>0,/^j=-l+sinl<0,

結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，〃x)在區(qū)間(0』有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

若l<x<4，則lnx>0,sinx20,則/(x)>0,

若x>“，因?yàn)閘nx>ln萬>1N-sinx,所以/(x)>0,

綜上，函數(shù)在(0,+8)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷;

另一方面，也可將零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合判斷.

21.設(shè)4為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足：VneN\都有見”之%+2.則稱數(shù)列｛%｝為

尸(㈤數(shù)列.

(1)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為P(2)數(shù)列：

數(shù)列A：3,5,8,13,21；

數(shù)列B：log?5,n,5,10.

⑵若數(shù)列也｝滿足a＞0且6的汨一而i,是否存在正實(shí)數(shù)2,使得數(shù)列也｝是P（/l）數(shù)

列？若存在，求2的取值范圍；若不存在，說明理由.

（3）若各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛%｝是P⑴數(shù)列，且｛%｝的前m（＞n*2）項(xiàng)和q+/+4+…+%為150,求

4+的最小值及取得最小值時(shí)am的所有可能取值.

【答案】（1）數(shù)列A是，數(shù)列8不是；

（2）不存在，理由見解析；

（3）答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)定義驗(yàn)證％.「4,22是否恒成立，即可判斷;

（2）假設(shè)存在，則由已知包+i=〃,+J〃+3-J〃+l可推得2+i＜2.

當(dāng)?時(shí)，2+1＜白＜4，

這與假設(shè)矛盾，所以不存在;

（3）根據(jù)已知推出，舊可+1,進(jìn)而推出品士機(jī)，am_t＜am-l,L,at,相加可推

得4”2”^+?一；根據(jù)基本式,

結(jié)合題意可得4"的最小值不小于30.進(jìn)而得出m的范圍，得到

m22

所有可能的整數(shù)解.分情況討論，得出數(shù)列，即可得到金的所以可能的取值.

【詳解】（1）根據(jù)定義，尸（2）數(shù)列應(yīng)滿足V〃eN*,都有+2,

即4+廣22恒成立.

對(duì)于數(shù)列A：有5-3=222,8-5=3