2023年海南省天一大聯(lián)考高三沖刺模擬數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數丁=5皿%（35皿%+4?05幻（*€/?）的最大值為加，最小正周期為T,則有序數對（加,7）為（）

A.（5,萬）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2萬）

2.已知集合4="|卜一1歸3,》62},8=卜：€2|2*64},則集合3=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

3.已知函數/（x）的定義域為（0,+8）,且/圖2?。?4零），當0<%<1時，〃x）<°?若/（4）=2,則函數/（x）

在［1,16］上的最大值為（）

A.4B.6C.3D.8

4.如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數學測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）

甲班乙班

7958

73I1013

2II3

A.甲班的數學成績平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的數學成績的平均分比乙班穩(wěn)定

C.甲班的數學成績平均分的中位數高于乙班

D.甲、乙兩班這5次數學測試的總平均分是103

5.在直角坐標平面上，點P（x,y）的坐標滿足方程d-2x+y2=o,點Q（a,b）的坐標滿足方程

。2+〃+6?！獣P+24=0則T的取值范圍是（）

x-a

-4-幣-4+"

A.[-2,2]

~~3~

6,已知雙曲線巨+）尸=1的一條漸近線傾斜角為學，則。=（）

a6

A.3B.Yc--fD-3

13

7.已知a=log|213,8=（空丫，c=logl314,則6仇c的大小關系為（）

A.a>h>cB.c>a>bC.h>c>aD.a>c>h

8.如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何

體的體積為

C.48D.32

9.若集合A={HX（X—2）〉0},B={X|X-1>0},則AD8=

A.B.|x|l<x<2|C.{x}x>2}D.{x|x>l}

10.設i是虛數單位，若復數加+生（me/?）是純虛數，則，〃的值為（）

3+i

A.-3B.-1C.1D.3

11.已知集合4={小2-3x—10<0卜集合8={x|T〈x<6},則等于（）

A.{止1cx<5}B.{x|-l?x<5}

C.{x|-2<x<6}D.{x|-2<x<5}

12.已知集合4={幻％2<1},B={x|lnx<l},則

A.AHB={x|O<x<e}B.AAB={x|x<e}

C.AUB={x|Ovxve}D.A|J3={x|-lvxve}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若卜2,i為虛數單位，則正實數。的值為.

2222

14.已知橢圓e：「+「=l（a>人>0）與雙曲線-%=1（加>0，">°）有相同的焦點”、￡,其中"為左

礦b~m~n

焦點.點P為兩曲線在第一象限的交點，，、e?分別為曲線G、C?的離心率，若△尸片E是以PE為底邊的等腰三角

形，則弓一弓的取值范圍為.

15.在平面直角坐標系xOy中，若圓G：爐+(j-1)2=/(r>0)上存在點尸，且點尸關于直線x-y=0的對稱點。

在圓Cz：(X—2)2+(y—1)2=1上，則r的取值范圍是.

16.已知點A(0,-1)是拋物線Y=的準線上一點，尸為拋物線的焦點，尸為拋物線上的點，且歸目=對例，若

雙曲線C中心在原點，尸是它的一個焦點，且過P點，當"，取最小值時，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線C:1=4y與直線/：x—2y-2=0.

(1)求拋物線C上的點到直線/距離的最小值；

(2)設點是直線/上的動點，Q(1，D是定點，過點尸作拋物線C的兩條切線，切點為A,B,求證A,Q,

8共線；并在通=3詼時求點尸坐標.

18.(12分)已知｛4｝為各項均為整數的等差數列，S,為｛%｝的前"項和，若小為:生和％3的等比中項，S7=49.

(1)求數列｛q｝的通項公式;

22222018

(2)若［=——+——+——+.??+-----,求最大的正整數〃，使得I,〈蕓

a\a24a34+&a/.+i2019

19.(12分)選修4-5：不等式選講

設函數/(x)=|2%+4一k-2|(xeeH).

(1)當。=一1時，求不等式/(x)〉0的解集

(2)若/(力2-1在xeR上恒成立，求實數。的取值范圍.

20.(12分)已知三棱錐P-A8C(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形A8C。為邊長等于夜的正方形，AABE

和ABCR均為正三角形，在三棱錐P-48c中：

圖-圖二

(1)證明：平面P4CJ_平面ABC;

(2)若點M在棱川上運動，當直線BM與平面R1C所成的角最大時，求直線與平面M5C所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知平行于x軸的動直線/交拋物線C：>2=4x于點P,點尸為C的焦點.圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線4與曲線E相切于點Q(sj),過。且垂直于4的直線為4,直線4，分別與y軸相交于點A，B當線

段A3的長度最小時，求s的值.

22.(10分)a,b,c分別為AABC內角A,B,C的對邊.已知a=3,csinC=asinA+Z?sinB,且5=60。.

(1)求△ABC的面積；

(2)若D,E是8c邊上的三等分點，求sin/ZME.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

、3353

函數V=sinx(3sinx+4cosx)=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(0為輔助角)

2222

.?.函數的最大值為M=4,最小正周期為T=M=〃

2

故選B

2.D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來自于集合A,且2、也是集合A的元素.

【詳解】

因區(qū)3,所以-2<x<4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,TeA，則x=(M,2,

故集合B={0,1,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.

3.A

【解析】

根據所給函數解析式滿足的等量關系及指數塞運算，可得/［：)+/(〃)=/(，”)；利用定義可證明函數/(x)的單調

性，由賦值法即可求得函數f(x)在口』6］上的最大值.

【詳解】

函數/⑺的定義域為(0,+力)，且2/目,2/(?)=4午，

則/1?)+/(〃)=/(，")；

任取和馬?0,欣)，且占＜々，貝!|0＜立＜1,

X2

故/工＜0,

\X2)

令"?=%,n=x2,則/五+/。2)=/(%)，

\X2j

即/㈤—/(/)=14土］＜0,

\X2)

故函數/(X)在((),+。)上單調遞增，

故〃%)皿=〃16),

令m=16，〃=4,

故〃4)+/(4)=〃16)=4,

故函數/(x)在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點睛】

本題考查了指數塞的運算及化簡，利用定義證明抽象函數的單調性，賦值法在抽象函數求值中的應用，屬于中檔題.

4.D

【解析】

計算兩班的平均值，中位數，方差得到ABC正確，兩班人數不知道，所以兩班的總平均分無法計算，O錯誤，得到

答案.

【詳解】

由題意可得甲班的平均分是104,中位數是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位數是101,方差是37.6,則A,B,C正確.

因為甲、乙兩班的人數不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故。錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查了莖葉圖，平均值，中位數，方差，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.B

【解析】

由點P（x,y）的坐標滿足方程V-2x+y2=0,可得P在圓（x-1）2+y2=I上，由Q（a,b）坐標滿足方程

/+〃+6a-8/2+24=0,可得。在圓（x+3）?+（y—4）2=1上，則三=即。求出兩圓內公切線的斜率，利用數

形結合可得結果.

【詳解】

???點P（x,y）的坐標滿足方程/一2x+丁=o,

在圓（x-l）-+），=［上，

?.■Q（a,h）在坐標滿足方程＜?+〃+6。一泌+24=0,

Q在圓（x+3）2+（y—4）2=1上，

則T=%*作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設兩圓內公切線為A8與CO,

由圖可知^AB—kpQ<心口

設兩圓內公切線方程為丫="+加,

卜+時]

Jl+/

則=>|攵+同=\-3k+/n-4|,

\-3k+zn-4|

1

J1+女2

圓心在內公切線兩側，：.k+m--^-3k+m-4),

\k+rr\|2Z+2|

可得"?=Z+2,I------=I----=1,

Jl+公yji+k2

化為弘2+8k+3=0，kJ土幣,

3

_

i_4-幣t_-4+y/l

即上AB----2-----，kg-----2----，

-4-yfl/y-b_i/-4+幣

-=kpQ<-'

3x-a3

y-b—4—yfl—4+

上」的取值范圍一―/一，故選B.

x-a[_33

【點睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數形結合思想的應用，屬于綜合題.數形結合是根據數量與圖形

之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數

形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

6.D

【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據傾斜角可得漸近線斜率，由此構造方程求得結果.

【詳解】

由雙曲線方程可知：a<0,漸近線方程為：y=±，=x,

7-a

???一條漸近線的傾斜角為苧，3=tan2=一走，解得：a=-3.

6。63

故選：D.

【點睛】

本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題，關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系；易錯點是忽略方程表示

雙曲線對于。的范圍的要求.

7.D

【解析】

由指數函數的圖像與性質易得人最小，利用作差法，結合對數換底公式及基本不等式的性質即可比較。和c的大小關

系，進而得解.

【詳解】

13

根據指數函數的圖像與性質可知0<b=（空<1，

113J

由對數函數的圖像與性質可知。=logi213〉l,c=log1314>l,所以。最?。?/p>

而由對數換底公式化簡可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

"lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

Igl2,lgl3

-I12

由基本不等式可知lgl21gl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

2lg213--(Igl2+lgl4)

1113-Igl21gl4>gI

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

/1r

lg213--lgl68

(2J

Igl2-lgl3

(1A(1、

Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68

I2八2J

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lg^)

>0

Igl2-lgl3

所以〃>c,

綜上可知a>c>'

故選：D.

【點睛】

本題考查了指數式與對數式的化簡變形，對數換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.

8.B

【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱

錐，利用體積公式，即可求解。

【詳解】

由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底面邊長為4,

高為3的正四棱錐，

所以幾何體的體積為V=監(jiān)-%=4x4x5x4x4x3=64,故選B。

【點睛】

本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規(guī)則，空間

幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面

積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解。

9.C

【解析】

解一元次二次不等式得4={幻》>2或犬<0},利用集合的交集運算求得AD8={x|x>2}.

【詳解】

因為A={x|x>2或x<0},8={%,>1},所以{x|x>2},故選C.

【點睛】

本題考查集合的交運算，屬于容易題.

10.A

【解析】

根據復數除法運算化簡，結合純虛數定義即可求得m的值.

【詳解】

由復數的除法運算化簡可得

m---=m+3-i,

3+i

因為是純虛數，所以〃2+3=0,

:.m=—3,

故選：A.

【點睛】

本題考查了復數的概念和除法運算，屬于基礎題.

11.B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A,之后求得AD8.

【詳解】

由A={x,-3x-10<0|=1x|(x+2)(x-5)<o|={犬卜2cx<5},

所以AnB=|x|-l<x<5},

故選：B.

【點睛】

該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.

12.D

【解析】

因為A={x|f<1}={x|-l<x<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以An8={x[0<x<l},AUfi={x|-l<x<e},故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13."

【解析】

利用復數模的運算性質，即可得答案.

【詳解】

由已知可得:?>0,解得a=.

故答案為：幣.

【點睛】

本題考查復數模的運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

\J7

【解析】

設|阿|=&|空|=t,由橢圓和雙曲線的定義得到S=a+m,t=a-m,根據APf；居是以2片為底邊的等腰

三角形，得到t=a-/n=2c,從而有上一，=2,根據e,>1,得到1<e.<1,再利用導數法求

4S3

2e2

y=e,一弓=2e,2=,：的范圍.

i-2et

【詳解】

設|閡=s,附|=t,

由橢圓的定義得s+t=2a,

由雙曲線的定義得s-t=2m,

所以s-a+/n,t-a-/n,

因為△PEE是以為底邊的等腰三角形，

所以|耳聞=網=2c,

即t=a—m=2c,

因為G=—,=土，

am

所以^=2,

八11

因為6>1,所以0<一<1,

e2

所以一=2+一<3,

即<1,

31

2e;

而y=e2-q=2e2?q

1—2q

，_4q(1-q)

因為y>0,

一(1-2弓)2

所以y在停,1)上遞增，

2

所以丁>1.

故答案為：

13z

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

15.[72-1,72+1]

【解析】

設圓G上存在點P(xo,J0),則。(則，X。)，分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉化成兩個新圓有公共點求參數

范圍.

【詳解】

設圓G上存在點尸(xo,Jo)滿足題意，點尸關于直線x-y=o的對稱點。(泗，X0),

n.年+(%-1)2=產

=1

故只需圓好+(J-D2=/與圓(X-1)2+(J-2)2=1有交點即可，所以,一1區(qū)J(1_0)2+(2_1)2*+1,解得

y/2-l<r<y/2+l-

故答案為：h5-1,、歷+1]

【點睛】

此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.

16.^2+1

【解析】

由點A坐標可確定拋物線方程，由此得到戶坐標和準線方程；過P作準線的垂線，垂足為N,根據拋物線定義可得

\PN\

身=相，可知當直線Q4與拋物線相切時，〃?取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點坐標，根據雙

\PA\

曲線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

A（O,1）是拋物線x2=2py準線上的一點；.〃=2

.?拋物線方程為無2=4y.-.F（O,1）,準線方程為y=-l

過P作準線的垂線，垂足為N,貝”尸網=處耳

?.?附/別.媽蚪"

1111\PA\\PA\

設直線Q4的傾斜角為a,貝ijsina=加

當“取得最小值時，sina最小，此時直線Q4與拋物線相切

2

設直線Q4的方程為.丫=依一1,代入/=4），得：X-4AX+4=0

.?.△=16k2—16=0,解得：左=±1.?.尸（2,1）或（一2,1）

二雙曲線的實軸長為|%-|.I=2（75-1），焦距為|入耳=2

雙曲線的離心率6=示歷刁=忘+1

故答案為：V2+1

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當加

取得最小值時，直線左與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得P點坐標.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）至；（2）證明見解析，尸（0,-1）或P（2,0）

10

【解析】

(1)根據點到直線的公式結合二次函數的性質即可求出；(2))設4±,%),8(馬，必)，表示出直線Q4，PB的

方程，利用與表示出芭，x2,即可求定點P的坐標.

【詳解】

(1)設拋物線C上點的坐標為。,二)，

上

則dJ"；"]小儼2…4),,3小，。=1時取等號)，

則拋物線C上的點到直線/距離的最小值上近；

10

(2)設A(x?y),B(X2,y2),

1,

Qy=i廠，

4

,1

■y=-x,

.,直線B4,m的方程為分別為y—x=5。一%)，)一%=?。-*2)，

由兩條直線都經過點P點得玉，Z為方程Y-2xoX+4%=O的兩根玉+工2=2/，占々=4%,

直線AB的方程為A--X=三二耳(X一斗)，y—X=(%-與)，

x2-xt4

If-?！?=1-審+羊=心+%=0，

.?.A,Q,8共線.

又%-1=3(1-^),

/.N=4-3X2,

%=3x0-2

＜々=2-％0,

xxx2-2x0-4

解工0=。，/=2,

丁點尸(吃,%)是直線/上的動點，

??*0=。時，%=-1，/=2時，%=0,

.-.m-D,或尸（2,0）.

【點睛】

本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握

水平和分析推理能力.

18.(1)an=2?-1(2)1008

【解析】

(D用基本量求出首項可和公差可得通項公式；

201Q

(2)用裂項相消法求得和7“，然后解不等式7；＜云而可得.

【詳解】

解：(1)由題得卜=為外，即,i+2J)2[(4+d)(q+12d)

S-J=49bq+21d=49

14二。

6Z,=1

解得嚴，7

a=2\d=—

I3

(x[cL=\

因為數列｛q｝為各項均為整數，所以_0,即勺=2〃-1

CI—

2_2__J_______1

anan+]（2〃-1）（2〃+1）2n-\2〃+1

…丁,1111111,12n2018

所以北——11------1-------1------_____=]=______<_____

“335572n-l2〃+1_____2〃+12n+l2019

]2018

即1一<2019解得“<1009

2/1+1

所以〃的最大值為1008

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式、前〃項和公式，考查裂項相消法求數列的和.在等差數列和等比數列中基本量法是解

題的基本方法.

19.(1)(―oo,—1)U(1,+00)；(2)[-6,-2]

【解析】

(1)當。=一1時，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.(2)對。分成。＜T,a=-4,。＞-4三種情

況，利用零點分段法去絕對值，將/(X)表示為分段函數的形式，根據單調性求得”的取值范圍.

【詳解】

(1)。=一1時，/(x)>()可得2],即(2x—l)2>(x—2)2,

化簡得：(3x—3)(x+l)>。，所以不等式〃x)>()的解集為

-x—tz—2,x<2

(2)①當a<-4時，/(耳=-3%一。+2,24》4一￡由函數單調性可得

a

x+a+2c,x>—

I2

〃x)min=/(一￡卜￡一2NT，解得；-6Va<-4

②當a=T時，/(x)=k-2],/(x)mjn=0N-l,所以a=T符合題意;

,a

—x-ci-2,x<---

2

③當a>-4時，/(%)=<3x+a-2,-^4x42,由函數單調性可得,

x+〃+2,x>2

/(x)min=/層卜埸-211,解得-4<aW-2

綜上，實數。的取值范圍為[-6,-2]

【點睛】

本小題主要考查含有絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.

20.(1)見解析(2)各座

11

【解析】

(1)設AC的中點為。，連接BO,PO.由展開圖可知PA=P5=PC=J5,PO=1，AO=BO=CO=1.。為AC的

中點，則有POLAC,根據勾股定理可證得POLOB,

則尸。平面ABC,即可證得平面PAC，平面ABC.

(2)由線面成角的定義可知ZBMO是直線BM與平面PAC所成的角,

Bo]

且tanZBMO=-----=,N8WO最大即為OM最短時，即M是A4的中點

OMOM

建立空間直角坐標系，求出AM與平面MBC的法向量用利用公式sin6=""小即可求得結果.

\AM\\m\

【詳解】

(1)設AC的中點為O,連接BO,P0.

由題意，得PA=PB=PC=J^，PO=\,A0=30=C0=l.

??,在中，PA=PC,O為AC的中點，,POLAC,

?.在APOB中，PO=1,OB=1,PB=BPO2+OB2=PB2,：.PO±OB.

,：AC^\OB=O,4。,。8(=平面，；./>0_|_平面人8(：,

?.,POu平面PAC,，平面B4C_L平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BOLAC,30J_平面PAC,

ZBMO是直線BM與平面PAC所成的角,

口BO1

日tanZBMO=----=------,

OMOM

..當OM最短時，即M是PA的中點時，/BMO最大.

由PO_L平面ABC,OBLAC,

:.POA-OB,POA.OC,

于是以OC,OB,OD所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標系,

則。(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),A(—1,0,0),尸(0,0,1),M

BC=(1,-LO),PC=(1,O,-1),MC=[],W=(1,0,1

設平面MBC的法向量為加=(N，y,zj,直線MA與平面MBC所成角為。,

,,m-BC=0[尤]-y1=0

則由一得：[n.

m-MC=0[3%一4=0

令X]=],得*=1,Z]=3,gp777=(1,1,3).

.c\AM-m\22422

_.sin(7=_------=.—=-------

則\AM\\m\1r-11?

gMi

直線MA與平面MBC所成角的正弦值為獨2.