2023年海南省天一大聯(lián)考高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)丁=5皿%（35皿%+4?05幻（*€/?）的最大值為加，最小正周期為T,則有序數(shù)對(duì)（加,7）為（）

A.（5,萬）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2萬）

2.已知集合4="|卜一1歸3,》62},8=卜：€2|2*64},則集合3=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

3.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,且/圖2?。?4零），當(dāng)0<%<1時(shí)，〃x）<°?若/（4）=2,則函數(shù)/（x）

在［1,16］上的最大值為（）

A.4B.6C.3D.8

4.如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）

甲班乙班

7958

73I1013

2II3

A.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定

C.甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班

D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是103

5.在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程d-2x+y2=o,點(diǎn)Q（a,b）的坐標(biāo)滿足方程

。2+〃+6。—昉+24=0則T的取值范圍是（）

x-a

-4-幣-4+"

A.[-2,2]

~~3~

6,已知雙曲線巨+）尸=1的一條漸近線傾斜角為學(xué)，則。=（）

a6

A.3B.Yc--fD-3

13

7.已知a=log|213,8=（空丫，c=logl314,則6仇c的大小關(guān)系為（）

A.a>h>cB.c>a>bC.h>c>aD.a>c>h

8.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何

體的體積為

C.48D.32

9.若集合A={HX（X—2）〉0},B={X|X-1>0},則AD8=

A.B.|x|l<x<2|C.{x}x>2}D.{x|x>l}

10.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)加+生（me/?）是純虛數(shù)，則，〃的值為（）

3+i

A.-3B.-1C.1D.3

11.已知集合4={小2-3x—10<0卜集合8={x|T〈x<6},則等于（）

A.{止1cx<5}B.{x|-l?x<5}

C.{x|-2<x<6}D.{x|-2<x<5}

12.已知集合4={幻％2<1},B={x|lnx<l},則

A.AHB={x|O<x<e}B.AAB={x|x<e}

C.AUB={x|Ovxve}D.A|J3={x|-lvxve}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若卜2,i為虛數(shù)單位，則正實(shí)數(shù)。的值為.

2222

14.已知橢圓e：「+「=l（a>人>0）與雙曲線-%=1（加>0，">°）有相同的焦點(diǎn)”、￡,其中"為左

礦b~m~n

焦點(diǎn).點(diǎn)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，，、e?分別為曲線G、C?的離心率，若△尸片E是以PE為底邊的等腰三角

形，則弓一弓的取值范圍為.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓G：爐+(j-1)2=/(r>0)上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)。

在圓Cz：(X—2)2+(y—1)2=1上，則r的取值范圍是.

16.已知點(diǎn)A(0,-1)是拋物線Y=的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，尸為拋物線上的點(diǎn)，且歸目=對(duì)例，若

雙曲線C中心在原點(diǎn)，尸是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過P點(diǎn)，當(dāng)"，取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線C:1=4y與直線/：x—2y-2=0.

(1)求拋物線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值；

(2)設(shè)點(diǎn)是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，Q(1，D是定點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,求證A,Q,

8共線；并在通=3詼時(shí)求點(diǎn)尸坐標(biāo).

18.(12分)已知｛4｝為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，S,為｛%｝的前"項(xiàng)和，若小為:生和％3的等比中項(xiàng)，S7=49.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

22222018

(2)若［=——+——+——+.??+-----,求最大的正整數(shù)〃，使得I,〈蕓

a\a24a34+&a/.+i2019

19.(12分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=|2%+4一k-2|(xeeH).

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求不等式/(x)〉0的解集

(2)若/(力2-1在xeR上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)已知三棱錐P-A8C(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形A8C。為邊長等于夜的正方形，AABE

和ABCR均為正三角形，在三棱錐P-48c中：

圖-圖二

(1)證明：平面P4CJ_平面ABC;

(2)若點(diǎn)M在棱川上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面R1C所成的角最大時(shí)，求直線與平面M5C所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線/交拋物線C：>2=4x于點(diǎn)P,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線4與曲線E相切于點(diǎn)Q(sj),過。且垂直于4的直線為4,直線4，分別與y軸相交于點(diǎn)A，B當(dāng)線

段A3的長度最小時(shí)，求s的值.

22.(10分)a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a=3,csinC=asinA+Z?sinB,且5=60。.

(1)求△ABC的面積；

(2)若D,E是8c邊上的三等分點(diǎn)，求sin/ZME.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

、3353

函數(shù)V=sinx(3sinx+4cosx)=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(0為輔助角)

2222

.?.函數(shù)的最大值為M=4,最小正周期為T=M=〃

2

故選B

2.D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來自于集合A,且2、也是集合A的元素.

【詳解】

因區(qū)3,所以-2<x<4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,TeA，則x=(M,2,

故集合B={0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)塞運(yùn)算，可得/［：)+/(〃)=/(，”)；利用定義可證明函數(shù)/(x)的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)f(x)在口』6］上的最大值.

【詳解】

函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?0,+力)，且2/目,2/(?)=4午，

則/1?)+/(〃)=/(，")；

任取和馬?0,欣)，且占＜々，貝!|0＜立＜1,

X2

故/工＜0,

\X2)

令"?=%,n=x2,則/五+/。2)=/(%)，

\X2j

即/㈤—/(/)=14土］＜0,

\X2)

故函數(shù)/(X)在((),+。)上單調(diào)遞增，

故〃%)皿=〃16),

令m=16，〃=4,

故〃4)+/(4)=〃16)=4,

故函數(shù)/(x)在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)塞的運(yùn)算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.D

【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到ABC正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，O錯(cuò)誤，得到

答案.

【詳解】

由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.

因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

5.B

【解析】

由點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程V-2x+y2=0,可得P在圓（x-1）2+y2=I上，由Q（a,b）坐標(biāo)滿足方程

/+〃+6a-8/2+24=0,可得。在圓（x+3）?+（y—4）2=1上，則三=即。求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)

形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

???點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程/一2x+丁=o,

在圓（x-l）-+），=［上，

?.■Q（a,h）在坐標(biāo)滿足方程＜?+〃+6。一泌+24=0,

Q在圓（x+3）2+（y—4）2=1上，

則T=%*作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設(shè)兩圓內(nèi)公切線為A8與CO,

由圖可知^AB—kpQ<心口

設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為丫="+加,

卜+時(shí)]

Jl+/

則=>|攵+同=\-3k+/n-4|,

\-3k+zn-4|

1

J1+女2

圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，：.k+m--^-3k+m-4),

\k+rr\|2Z+2|

可得"?=Z+2,I------=I----=1,

Jl+公yji+k2

化為弘2+8k+3=0，kJ土幣,

3

_

i_4-幣t_-4+y/l

即上AB----2-----，kg-----2----，

-4-yfl/y-b_i/-4+幣

-=kpQ<-'

3x-a3

y-b—4—yfl—4+

上」的取值范圍一―/一，故選B.

x-a[_33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

6.D

【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

由雙曲線方程可知：a<0,漸近線方程為：y=±，=x,

7-a

???一條漸近線的傾斜角為苧，3=tan2=一走，解得：a=-3.

6。63

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示

雙曲線對(duì)于。的范圍的要求.

7.D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得人最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和c的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<b=（空<1，

113J

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知。=logi213〉l,c=log1314>l,所以。最??；

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

"lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

Igl2,lgl3

-I12

由基本不等式可知lgl21gl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

2lg213--(Igl2+lgl4)

1113-Igl21gl4>gI

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

/1r

lg213--lgl68

(2J

Igl2-lgl3

(1A(1、

Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68

I2八2J

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lg^)

>0

Igl2-lgl3

所以〃>c,

綜上可知a>c>'

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

8.B

【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長為4,高為3的正四棱

錐，利用體積公式，即可求解。

【詳解】

由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長為4,

高為3的正四棱錐，

所以幾何體的體積為V=監(jiān)-%=4x4x5x4x4x3=64,故選B。

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間

幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面

積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。

9.C

【解析】

解一元次二次不等式得4={幻》>2或犬<0},利用集合的交集運(yùn)算求得AD8={x|x>2}.

【詳解】

因?yàn)锳={x|x>2或x<0},8={%,>1},所以{x|x>2},故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.

10.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得

m---=m+3-i,

3+i

因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以〃2+3=0,

:.m=—3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A,之后求得AD8.

【詳解】

由A={x,-3x-10<0|=1x|(x+2)(x-5)<o|={犬卜2cx<5},

所以AnB=|x|-l<x<5},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

12.D

【解析】

因?yàn)锳={x|f<1}={x|-l<x<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以An8={x[0<x<l},AUfi={x|-l<x<e},故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13."

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

由已知可得:?>0,解得a=.

故答案為：幣.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

\J7

【解析】

設(shè)|阿|=&|空|=t,由橢圓和雙曲線的定義得到S=a+m,t=a-m,根據(jù)APf；居是以2片為底邊的等腰

三角形，得到t=a-/n=2c,從而有上一，=2,根據(jù)e,>1,得到1<e.<1,再利用導(dǎo)數(shù)法求

4S3

2e2

y=e,一弓=2e,2=,：的范圍.

i-2et

【詳解】

設(shè)|閡=s,附|=t,

由橢圓的定義得s+t=2a,

由雙曲線的定義得s-t=2m,

所以s-a+/n,t-a-/n,

因?yàn)椤鱌EE是以為底邊的等腰三角形，

所以|耳聞=網(wǎng)=2c,

即t=a—m=2c,

因?yàn)镚=—,=土，

am

所以^=2,

八11

因?yàn)?>1,所以0<一<1,

e2

所以一=2+一<3,

即<1,

31

2e;

而y=e2-q=2e2?q

1—2q

，_4q(1-q)

因?yàn)閥>0,

一(1-2弓)2

所以y在停,1)上遞增，

2

所以丁>1.

故答案為：

13z

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

15.[72-1,72+1]

【解析】

設(shè)圓G上存在點(diǎn)P(xo,J0),則。(則，X。)，分別滿足兩個(gè)圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)

范圍.

【詳解】

設(shè)圓G上存在點(diǎn)尸(xo,Jo)滿足題意，點(diǎn)尸關(guān)于直線x-y=o的對(duì)稱點(diǎn)。(泗，X0),

n.年+(%-1)2=產(chǎn)

=1

故只需圓好+(J-D2=/與圓(X-1)2+(J-2)2=1有交點(diǎn)即可，所以,一1區(qū)J(1_0)2+(2_1)2*+1,解得

y/2-l<r<y/2+l-

故答案為：h5-1,、歷+1]

【點(diǎn)睛】

此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題，兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.

16.^2+1

【解析】

由點(diǎn)A坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到戶坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,根據(jù)拋物線定義可得

\PN\

身=相，可知當(dāng)直線Q4與拋物線相切時(shí)，〃?取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙

\PA\

曲線定義得到實(shí)軸長，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

A（O,1）是拋物線x2=2py準(zhǔn)線上的一點(diǎn)；.〃=2

.?拋物線方程為無2=4y.-.F（O,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,貝”尸網(wǎng)=處耳

?.?附/別.媽蚪"

1111\PA\\PA\

設(shè)直線Q4的傾斜角為a,貝ijsina=加

當(dāng)“取得最小值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線Q4與拋物線相切

2

設(shè)直線Q4的方程為.丫=依一1,代入/=4），得：X-4AX+4=0

.?.△=16k2—16=0,解得：左=±1.?.尸（2,1）或（一2,1）

二雙曲線的實(shí)軸長為|%-|.I=2（75-1），焦距為|入耳=2

雙曲線的離心率6=示歷刁=忘+1

故答案為：V2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)加

取得最小值時(shí)，直線左與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得P點(diǎn)坐標(biāo).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）至；（2）證明見解析，尸（0,-1）或P（2,0）

10

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；(2))設(shè)4±,%),8(馬，必)，表示出直線Q4，PB的

方程，利用與表示出芭，x2,即可求定點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

(1)設(shè)拋物線C上點(diǎn)的坐標(biāo)為。,二)，

上

則dJ"；"]小儼2…4),,3小，。=1時(shí)取等號(hào))，

則拋物線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值上近；

10

(2)設(shè)A(x?y),B(X2,y2),

1,

Qy=i廠，

4

,1

■y=-x,

.,直線B4,m的方程為分別為y—x=5。一%)，)一%=?。-*2)，

由兩條直線都經(jīng)過點(diǎn)P點(diǎn)得玉，Z為方程Y-2xoX+4%=O的兩根玉+工2=2/，占々=4%,

直線AB的方程為A--X=三二耳(X一斗)，y—X=(%-與)，

x2-xt4

If-?！?=1-審+羊=心+%=0，

.?.A,Q,8共線.

又%-1=3(1-^),

/.N=4-3X2,

%=3x0-2

＜々=2-％0,

xxx2-2x0-4

解工0=。，/=2,

丁點(diǎn)尸(吃,%)是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，

??*0=。時(shí)，%=-1，/=2時(shí)，%=0,

.-.m-D,或尸（2,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握

水平和分析推理能力.

18.(1)an=2?-1(2)1008

【解析】

(D用基本量求出首項(xiàng)可和公差可得通項(xiàng)公式；

201Q

(2)用裂項(xiàng)相消法求得和7“，然后解不等式7；＜云而可得.

【詳解】

解：(1)由題得卜=為外，即,i+2J)2[(4+d)(q+12d)

S-J=49bq+21d=49

14二。

6Z,=1

解得嚴(yán)，7

a=2\d=—

I3

(x[cL=\

因?yàn)閿?shù)列｛q｝為各項(xiàng)均為整數(shù)，所以_0,即勺=2〃-1

CI—

2_2__J_______1

anan+]（2〃-1）（2〃+1）2n-\2〃+1

…丁,1111111,12n2018

所以北——11------1-------1------_____=]=______<_____

“335572n-l2〃+1_____2〃+12n+l2019

]2018

即1一<2019解得“<1009

2/1+1

所以〃的最大值為1008

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解

題的基本方法.

19.(1)(―oo,—1)U(1,+00)；(2)[-6,-2]

【解析】

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.(2)對(duì)。分成。＜T,a=-4,。＞-4三種情

況，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將/(X)表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得”的取值范圍.

【詳解】

(1)。=一1時(shí)，/(x)>()可得2],即(2x—l)2>(x—2)2,

化簡得：(3x—3)(x+l)>。，所以不等式〃x)>()的解集為

-x—tz—2,x<2

(2)①當(dāng)a<-4時(shí)，/(耳=-3%一。+2,24》4一￡由函數(shù)單調(diào)性可得

a

x+a+2c,x>—

I2

〃x)min=/(一￡卜￡一2NT，解得；-6Va<-4

②當(dāng)a=T時(shí)，/(x)=k-2],/(x)mjn=0N-l,所以a=T符合題意;

,a

—x-ci-2,x<---

2

③當(dāng)a>-4時(shí)，/(%)=<3x+a-2,-^4x42,由函數(shù)單調(diào)性可得,

x+〃+2,x>2

/(x)min=/層卜埸-211,解得-4<aW-2

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-6,-2]

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.

20.(1)見解析(2)各座

11

【解析】

(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接BO,PO.由展開圖可知PA=P5=PC=J5,PO=1，AO=BO=CO=1.。為AC的

中點(diǎn)，則有POLAC,根據(jù)勾股定理可證得POLOB,

則尸。平面ABC,即可證得平面PAC，平面ABC.

(2)由線面成角的定義可知ZBMO是直線BM與平面PAC所成的角,

Bo]

且tanZBMO=-----=,N8WO最大即為OM最短時(shí)，即M是A4的中點(diǎn)

OMOM

建立空間直角坐標(biāo)系，求出AM與平面MBC的法向量用利用公式sin6=""小即可求得結(jié)果.

\AM\\m\

【詳解】

(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接BO,P0.

由題意，得PA=PB=PC=J^，PO=\,A0=30=C0=l.

??,在中，PA=PC,O為AC的中點(diǎn)，,POLAC,

?.在APOB中，PO=1,OB=1,PB=BPO2+OB2=PB2,：.PO±OB.

,：AC^\OB=O,4。,。8(=平面，；./>0_|_平面人8(：,

?.,POu平面PAC,，平面B4C_L平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BOLAC,30J_平面PAC,

ZBMO是直線BM與平面PAC所成的角,

口BO1

日tanZBMO=----=------,

OMOM

..當(dāng)OM最短時(shí)，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，/BMO最大.

由PO_L平面ABC,OBLAC,

:.POA-OB,POA.OC,

于是以O(shè)C,OB,OD所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),A(—1,0,0),尸(0,0,1),M

BC=(1,-LO),PC=(1,O,-1),MC=[],W=(1,0,1

設(shè)平面MBC的法向量為加=(N，y,zj,直線MA與平面MBC所成角為。,

,,m-BC=0[尤]-y1=0

則由一得：[n.

m-MC=0[3%一4=0

令X]=],得*=1,Z]=3,gp777=(1,1,3).

.c\AM-m\22422

_.sin(7=_------=.—=-------

則\AM\\m\1r-11?

gMi

直線MA與平面MBC所成角的正弦值為獨(dú)2.