4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 原卷版

4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))考點(diǎn)二：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．考點(diǎn)三：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．注意：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．【題型歸納】題型一：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算1．（2023上·云南·高三云南師大附中?？迹┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．8 B．5 C．6 D．72．（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．85 D．1203．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．題型二：等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用4．（2023上·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為45，前2n項(xiàng)和為60，則其前3n項(xiàng)和為（

）A．65 B．80 C．90 D．1055．（2023下·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．36．（2023下·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．27 B．45 C．65 D．73題型三：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)7．（2023上·重慶·高二重慶一中校考期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2018上·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（

）A．15 B．30C．45 D．609．（2022上·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的公比，且，則.題型四：等比數(shù)列中前Sn和與其它知識交匯問題10．（2023下·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=（

）A．192 B．190 C．180 D．18211．（2022上·江蘇連云港·高二期末）在等比數(shù)列中，，．設(shè)t為實(shí)數(shù)，為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則t的值為

（

）A． B．2 C．3 D．412．（2020上·河南鄭州·高二鄭州外國語學(xué)校?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為題型五：等比數(shù)列的簡單應(yīng)用13．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍.已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少尺？”該女子第一天織布的尺數(shù)是（

）A． B． C． D．14．（2023上·廣東廣州·高三廣州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①、②、③、④……中圖形的周長依次記為，得到數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若時(shí)，則的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．5 B．8 C．10 D．1215．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學(xué)校考一模）云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn)．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個(gè)數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問題16．（2023上·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考期中）已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最小值.17．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知非零數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．20．（2023上·福建·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列滿足，，則（

）A．511 B．1023 C．1025 D．204721．（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，,，，，則（

）A． B． C． D．22．（2023上·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎獮榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．1223．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．1124．（2023下·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果某人在聽到喜訊后的1h內(nèi)將這一喜訊傳給2個(gè)人，這2個(gè)人又以同樣的速度各傳給未聽到喜訊的另2個(gè)人……，如果每人只傳2人，這樣繼續(xù)下去，要把喜訊傳遍一個(gè)有2047人（包括第一個(gè)人）的小鎮(zhèn)，所需時(shí)間為（

）A．8h B．9h C．10h D．11h25．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．26．（2023上·北京·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.27．（2023上·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┑炔顢?shù)列滿足：首項(xiàng)為2，公差為是的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.28．（2023上·江蘇鹽城·高二?？计谥校┯洖閿?shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若成立，求的最小值.【高分突破】一、單選題29．（2023下·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．7630．（2023下·貴州畢節(jié)·高二?？茧A段練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A．31 B．63 C．64 D．12731．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且與的等差中項(xiàng)為20，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．，按復(fù)利計(jì)算，則小華每期付款金額約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元33．（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．二、多選題34．（2023上·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，則下列不成立的是（

）A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．35．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比可能是（

）A． B． C． D．36．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會有的學(xué)生選擇甲餐廳．設(shè)開學(xué)后第n天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（

）A．B．是等比數(shù)列C．第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D．開學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次37．（2023下·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．下列結(jié)論正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則B．若是等比數(shù)列，則C．若是等差數(shù)列，則公差D．若是等比數(shù)列，則公比是2或－238．（2023上·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B．若數(shù)列為等比數(shù)列，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列39．（2023下·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．C．的前n項(xiàng)和為 D．的前n項(xiàng)和為三、填空題40．（2023上·江蘇鹽城·高二?？计谥校﹥蓚€(gè)等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則．41．（2023上·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》記載：遙望巍巍塔七層，燈光點(diǎn)點(diǎn)倍加增.意思是：總共七層，相鄰兩層，下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的兩倍.若要滿足總燈數(shù)不少于千燈，則頂層最少盞燈.42．（2023上·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．43．（2023上·上?！じ叨？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，，則．44．（2023上·安徽淮北·高二?？计谥校┬∶饔脭?shù)列記錄某地區(qū)2023年8月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)趉天下過雨時(shí)，記，當(dāng)?shù)趉天沒下過雨時(shí)，記，他用數(shù)列記錄該地區(qū)該月每天氣象臺預(yù)報(bào)是否有雨，方法為：當(dāng)預(yù)報(bào)第k天有雨時(shí)，記，當(dāng)預(yù)報(bào)第k天沒有雨時(shí)，記記錄完畢后，小明計(jì)算出，那么該月氣象臺預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的總天數(shù)為.四、解答題45．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；