【數(shù)學(xué)】橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一課時(shí)課件 2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

圓橢圓拋物線雙曲線圓錐曲線第三章

圓錐曲線的方程幾何特征代數(shù)方程

直線定點(diǎn)、定方向圓定點(diǎn)、定長(zhǎng)坐標(biāo)法復(fù)習(xí)舊知01《直線與圓的方程》中我們學(xué)習(xí)了：k存在時(shí)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)橢圓0201實(shí)驗(yàn)：取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，若把細(xì)繩兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫(huà)出來(lái)的軌跡是一個(gè)圓，如果把細(xì)繩的兩端點(diǎn)拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1、F2(定點(diǎn))，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)），畫(huà)出的軌跡是什么曲線？問(wèn)題：怎樣畫(huà)出橢圓？動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)橢圓02壹“操作過(guò)程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？貳筆尖移動(dòng)過(guò)程中滿足的幾何條件是什么？叁畫(huà)出來(lái)的這樣的圖象有什么共同特點(diǎn)？

在這一過(guò)程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么?動(dòng)畫(huà)演示在這一過(guò)程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是：移動(dòng)的筆尖M(動(dòng)點(diǎn))到固定在圖板上的兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和是定值,并且這個(gè)定值大于兩定點(diǎn)間的距離，即圖釘不動(dòng)兩個(gè)定點(diǎn)筆尖滑動(dòng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)繩長(zhǎng)不變距離之和不變平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.1.橢圓的定義:思考動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓應(yīng)滿足什么條件？①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和是常數(shù)；

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2

；動(dòng)點(diǎn)M沒(méi)有軌跡.F1F2M??③求橢圓的方程如何建立平面直角坐標(biāo)系可能使得橢圓方程方程簡(jiǎn)單?原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；

(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”)..Oxy..OxyOxyOxy03取過(guò)焦點(diǎn)的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).由橢圓的定義得，限制條件：建設(shè)設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0),M與

F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c),則

F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)因?yàn)?/p>

所以求橢圓的方程03限代化12yOFFMx幾何條件代數(shù)化(x,y)方法一：移項(xiàng)平方法移項(xiàng)，再平方兩邊再平方，得

整理得

兩邊除以a2(a2-c2)得

求橢圓的方程03(1)等價(jià)變形方法二：平方差法所以所以上式平方再化簡(jiǎn)得因?yàn)榍髾E圓的方程03(1)12yOFFMx代數(shù)式的幾何意義問(wèn)題：觀察右圖，你能從中找出表示

的線段嗎？

令

，則（2）式可化為：OxyF1F2P求橢圓的方程03(1)abc代數(shù)量a,b,c的幾何意義：直角三角形OPF2三邊長(zhǎng)。滿足c2=a2-b2

從上述過(guò)程可以看到，橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（2）方程（2）的解對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上。則方程（2）為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求橢圓的方程0312yOFFMxF1F2P??xyOcab思考1

觀察圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(－c,0),F2(c,0)，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程,其中c2＝a2－b2

.如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢?020301

也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.求橢圓的方程031OFyx2F共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓x2項(xiàng)分母較大.焦點(diǎn)在y軸的橢圓y2項(xiàng)分母較大.

圖形方程焦點(diǎn)F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關(guān)系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM知識(shí)小結(jié)04例題講解05例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。條件

幾何角度代數(shù)角度

橢圓需要兩個(gè)定點(diǎn)且距離和為定值有標(biāo)準(zhǔn)方程但方程形式不唯一兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)

分別是(-2,0)，(2,0)給出重要幾何量?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)1.給出參數(shù)c的值2.確定方程形式可以確定距離和分析：幾何角度代數(shù)角度定義法待定系數(shù)法例題講解05例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。(法1)例題講解：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(法2)求a,b定型定量焦點(diǎn)位置未知焦點(diǎn)位置:巧設(shè)方程14【方法說(shuō)明】(3)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：a,b,c滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程，代入計(jì)算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為常用，是解此類問(wèn)題的通法.即求a,b

的大小.即確定焦點(diǎn)的位置；其次是定“量”，共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓x2項(xiàng)分母較大.焦點(diǎn)在y軸的橢圓y2項(xiàng)分母較大.

圖形方程焦點(diǎn)F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關(guān)系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM知識(shí)回顧

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,

y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0).

由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?

尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)中x,y與x0,y0之間的關(guān)系,然后消去x0,y0,得到點(diǎn)M的軌跡方程.這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法.利用信息技術(shù),可以更方便地探究點(diǎn)M的軌跡的形狀.解1：(相關(guān)點(diǎn)代入法)xyPMO?D?解2：(參數(shù)法)∵

P

在圓x2+y2=4上，∴可設(shè)P(2cosθ,2sinθ),消去參數(shù)θ，得∴點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意有

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？【變式1】求與圓(x＋3)2＋y2=4外切,且與圓(x－3)2＋y2=100內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程．解：故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x,y),半徑為r,它與已知圓O1,O2切于Q,P兩點(diǎn),則yxO1O2PMQO橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)明：橢圓的參數(shù)方程是橢圓方程的另外一種表現(xiàn)形式，它的優(yōu)越性在于將曲線上點(diǎn)的橫,縱坐標(biāo)(兩個(gè)變量)用同一個(gè)參數(shù)θ表示，這樣就能將橢圓上點(diǎn)的很多問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決，很好地將幾何問(wèn)題代數(shù)化.橢圓的參數(shù)方程(1)橢圓的參數(shù)方程是

參數(shù)方程：(2)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程是

(3)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程是

思考由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過(guò)“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過(guò)“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?拉伸動(dòng)畫(huà)例題講解：求軌跡方程橢圓定義(坐標(biāo)法)(定義法)例4xyBMOA?

解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得例4xyBMOA?直接法:設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn).4.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知,得直線AM的斜率為直線BM的斜率為總結(jié)：解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法1.直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0.2.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．3.相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)