【數(shù)學】橢圓及其標準方程第一課時課件 2023-2024學年高二上人教A版（2019）選擇性必修第一冊

圓橢圓拋物線雙曲線圓錐曲線第三章

圓錐曲線的方程幾何特征代數(shù)方程

直線定點、定方向圓定點、定長坐標法復習舊知01《直線與圓的方程》中我們學習了：k存在時動手實驗，認識橢圓0201實驗：取一條定長的細繩，若把細繩兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出來的軌跡是一個圓，如果把細繩的兩端點拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1、F2(定點)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖（動點），畫出的軌跡是什么曲線？問題：怎樣畫出橢圓？動手實驗，認識橢圓02壹“操作過程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？貳筆尖移動過程中滿足的幾何條件是什么？叁畫出來的這樣的圖象有什么共同特點？

在這一過程中,移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么?動畫演示在這一過程中,移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是：移動的筆尖M(動點)到固定在圖板上的兩定點F1,F2的距離之和是定值,并且這個定值大于兩定點間的距離，即圖釘不動兩個定點筆尖滑動一個動點繩長不變距離之和不變平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓.這兩個定點F1,F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.1.橢圓的定義:思考動點的軌跡是橢圓應滿足什么條件？①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②動點M到兩個定點F1,F2的距離之和是常數(shù)；

動點M的軌跡是線段F1F2

；動點M沒有軌跡.F1F2M??③求橢圓的方程如何建立平面直角坐標系可能使得橢圓方程方程簡單?原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)..Oxy..OxyOxyOxy03取過焦點的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).由橢圓的定義得，限制條件：建設設M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c>0),M與

F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c),則

F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)因為

所以求橢圓的方程03限代化12yOFFMx幾何條件代數(shù)化(x,y)方法一：移項平方法移項，再平方兩邊再平方，得

整理得

兩邊除以a2(a2-c2)得

求橢圓的方程03(1)等價變形方法二：平方差法所以所以上式平方再化簡得因為求橢圓的方程03(1)12yOFFMx代數(shù)式的幾何意義問題：觀察右圖，你能從中找出表示

的線段嗎？

令

，則（2）式可化為：OxyF1F2P求橢圓的方程03(1)abc代數(shù)量a,b,c的幾何意義：直角三角形OPF2三邊長。滿足c2=a2-b2

從上述過程可以看到，橢圓上任一點的坐標都滿足方程（2）方程（2）的解對應坐標的點都在橢圓上。則方程（2）為橢圓的標準方程。求橢圓的方程0312yOFFMxF1F2P??xyOcab思考1

觀察圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(－c,0),F2(c,0)，中心在坐標原點的橢圓方程,其中c2＝a2－b2

.如果橢圓的焦點在y軸上,那么橢圓的標準方程又是怎樣的呢?020301

也是橢圓的標準方程.求橢圓的方程031OFyx2F共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點：焦點在x軸的橢圓x2項分母較大.焦點在y軸的橢圓y2項分母較大.

圖形方程焦點F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM知識小結(jié)04例題講解05例1

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點，求它的標準方程。條件

幾何角度代數(shù)角度

橢圓需要兩個定點且距離和為定值有標準方程但方程形式不唯一兩個焦點坐標

分別是(-2,0)，(2,0)給出重要幾何量兩個定點1.給出參數(shù)c的值2.確定方程形式可以確定距離和分析：幾何角度代數(shù)角度定義法待定系數(shù)法例題講解05例1

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點，求它的標準方程。(法1)例題講解：求橢圓的標準方程(法2)求a,b定型定量焦點位置未知焦點位置:巧設方程14【方法說明】(3)求橢圓的標準方程，要先定“位”，1.求橢圓標準方程的主要方法有：a,b,c滿足的關系有：根據(jù)焦點位置設方程，代入計算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為常用，是解此類問題的通法.即求a,b

的大小.即確定焦點的位置；其次是定“量”，共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點：焦點在x軸的橢圓x2項分母較大.焦點在y軸的橢圓y2項分母較大.

圖形方程焦點F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,c)a,b,c之間的關系|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2|(2a>2c>0)定義12yOFFMx1OFyx2FM知識回顧

設點M的坐標為(x,

y)，點P的坐標為(x0,

y0)，則點D的坐標為(x0,0).

由點M是線段PD的中點，得

例2如圖，在圓

上任意一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD中點M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?

尋求點M的坐標(x,y)中x,y與x0,y0之間的關系,然后消去x0,y0,得到點M的軌跡方程.這是解析幾何中求點的軌跡方程常用的方法.利用信息技術(shù),可以更方便地探究點M的軌跡的形狀.解1：(相關點代入法)xyPMO?D?解2：(參數(shù)法)∵

P

在圓x2+y2=4上，∴可設P(2cosθ,2sinθ),消去參數(shù)θ，得∴點M的軌跡是一個橢圓.設點M的坐標為(x,y),由題意有

例2如圖，在圓

上任意一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD中點M的軌跡是什么？為什么？【變式1】求與圓(x＋3)2＋y2=4外切,且與圓(x－3)2＋y2=100內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程．解：故動圓圓心的軌跡方程為設動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,它與已知圓O1,O2切于Q,P兩點,則yxO1O2PMQO橢圓的標準方程說明：橢圓的參數(shù)方程是橢圓方程的另外一種表現(xiàn)形式，它的優(yōu)越性在于將曲線上點的橫,縱坐標(兩個變量)用同一個參數(shù)θ表示，這樣就能將橢圓上點的很多問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決，很好地將幾何問題代數(shù)化.橢圓的參數(shù)方程(1)橢圓的參數(shù)方程是

參數(shù)方程：(2)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程是

(3)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程是

思考由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?拉伸動畫例題講解：求軌跡方程橢圓定義(坐標法)(定義法)例4xyBMOA?

解:設點M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得例4xyBMOA?直接法:設點、列式、化簡、檢驗.4.已知A,B兩點的坐標分別是(－1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點M的軌跡是什么?為什么?解：設點M的坐標為(x,y),由已知,得直線AM的斜率為直線BM的斜率為總結(jié)：解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法1.直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.2.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．3.相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動