必修第二章 全市一等獎

2.3.4平面向量共線的坐標表示第二章

§2.3平面向量的基本定理及坐標表示學習目標1.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線.3.掌握三點共線的判斷方法.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點平面向量共線的坐標表示已知下列幾組向量：(1)a＝(0,3)，b＝(0,6)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；(3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)；思考1上面幾組向量中，a，b有什么關系？答案(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.思考2以上幾組向量中，a，b共線嗎？答案共線.思考3當a∥b時，a，b的坐標成比例嗎？答案坐標不為0時成比例.思考4

如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？答案能.將b寫成λa形式，λ>0時，b與a同向，λ<0時，b與a反向.梳理(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線，當且僅當存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當___________時，向量a，b(b≠0)共線.注意：對于(2)的形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.x1y2－x2y1＝0[思考辨析判斷正誤]答案提示提示當y1y2＝0時不成立.×2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，則a∥b.(

)3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，則a∥b.(

)×√題型探究類型一向量共線的判定與證明答案解析例1

(1)下列各組向量中，共線的是

A.a＝(－2,3)，b＝(4,6) B.a＝(2,3)，b＝(3,2)C.a＝(1，－2)，b＝(7,14) D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)解析A選項，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a與b不平行；B選項，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a與b不平行；C選項，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a與b不平行；D選項，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故選D.√答案解析(2)在下列向量組中，可以把向量a＝(－3,7)表示出來的是

A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)解析平面內不共線的兩個向量可以作基底，用它能表示此平面內的任何向量，因為A，B，D都是兩個共線向量，而C不共線，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出來.√反思與感悟

向量共線的判定與證明題目應充分利用向量共線定理或向量共線的坐標條件進行判斷，特別是利用向量共線的坐標條件進行判斷時，要注意坐標之間的搭配.跟蹤訓練1

下列各組向量中，能作為平面內所有向量基底的是

A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)解析√答案解析A選項，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作為基底；B選項，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1與e2不共線，故可以作為基底；C選項，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作為基底；∴e1∥e2，不可以作為基底.故選B.類型二利用向量共線求參數(shù)解答例2

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？解方法一ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行，方法二由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4).解答引申探究1.若例2條件不變，判斷當ka＋b與a－3b平行時，它們是同向還是反向？∴ka＋b與a－3b反向.解a＋kb＝(1,2)＋k(－3,2)＝(1－3k,2＋2k)，3a－b＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)，∵a＋kb與3a－b平行，∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，解答2.在本例中已知條件不變，若問題改為“當k為何值時，a＋kb與3a－b平行？”，又如何求k的值？反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問題，一般有兩種思路，一是利用向量共線定理a＝λb(b≠0)，列方程組求解，二是利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解.解答跟蹤訓練2

(2017·紹興柯橋區(qū)期末)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若a＝xb＋yc，求實數(shù)x，y的值；解∵a＝xb＋yc，∴(3，2)＝(－x＋4y，2x＋y)，解答(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k的值.解a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由(a＋kc)∥(2b－a)得，2(3＋4k)＝－5(2＋k)，類型三三點共線問題證明∴A，B，C三點共線.反思與感悟(1)三點共線問題的實質是向量共線問題，兩個向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的，利用向量平行證明三點共線需分兩步完成：①證明向量平行；②證明兩個向量有公共點.(2)若A，B，C三點共線，即由這三個點組成的任意兩個向量共線.答案解析所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，達標檢測1.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，則實數(shù)x的值為

A.2 B.－2C.3 D.－3答案1234√5解析因為a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.解析2.與a＝(12,5)平行的單位向量為

解析設與a平行的單位向量為e＝(x，y)，√12345答案解析答案1234解析5答案解析123454.已知三點A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共線，則m的值為____.6∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6.123455.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________.(2,4)答案解析12345設點D的坐標為(x，y)，解析∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，故點D的坐標為(2,4).規(guī)律與方法1.兩個向量共線條件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)當