新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 等比數(shù)列的判定與證明（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）通過計算來證得數(shù)列是等比數(shù)列.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由題意，知．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．（2）由（1），可知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義,利用以及,即可得到,即可證明.（2）根據(jù)分組求和和等比數(shù)列求和公式即可求解.（1）因?yàn)樗?，因?yàn)樗?/p>

所以所以

所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.（2）由（1）易得：

因?yàn)樗运?．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法可求得.(1)證明：因?yàn)?，所以?dāng)時，，可得；當(dāng)時，由可得，所以，所以.即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.(2)解：由（1）知，所以.4．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由,變形為，即可證明；（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，于是，因此，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.所以，所以，所以，所以，所以.5．(1)證明見解析，(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，對分奇偶，利用等比數(shù)列求和公式計算可得；（1）解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.（2）解：由（1）得，則，①當(dāng)時，②當(dāng)時，，綜上所述，6．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由，得，即可得證；（2）由數(shù)列為等比數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用構(gòu)造法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)由，得，且，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為(2)由（1）得，等式左右兩邊同時除以可得：，即，且，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，所以.7．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得，由等比數(shù)列定義可得結(jié)論；（2）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和累加法可求得，由此可得，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，利用裂項(xiàng)相消法和求得結(jié)果，綜合兩種情況可得.(1)由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）得：，則，，，…，，各式作和得：，又，，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：.8．（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）將已知條件兩邊同時取倒數(shù)可得，利用構(gòu)造法令求出的值，由等比數(shù)列的定義即可求證；求出即可得；（2）求出的通項(xiàng)公式，由乘公比錯位相減求出，使得即可.【詳解】（1）由，得，令，所以，解得，所以，由等比數(shù)列的定義可知：數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，即，（2）由題意得，，，兩式相減得：，所以，所以，所以使恒成立的最小的整數(shù)為．9．(1)(2)數(shù)列的前2n項(xiàng)和為【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得，由此構(gòu)造數(shù)列，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，由（1）可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式，進(jìn)而求得答案.(1)由題意可知：，，故，即，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且，故(2)由（1）知，,即，由題意知：，故，故數(shù)列的前2n項(xiàng)和.10．（1）見解析；（2），．【解析】【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．11．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）分，與兩種情況分析，當(dāng)是，構(gòu)造證明即可；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)求和求解，進(jìn)而證明即可（1）證明：當(dāng)時，∴當(dāng)時，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)的等比數(shù)列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述12．(1)證明見解析，(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)求得，由由已知，可得，兩式相減可得，即可證明結(jié)論，繼而求得通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，求出，利用錯位相減法求得答案.（1）當(dāng)時，由可得,由已知，有,兩式相減得,即,

因?yàn)?，所?所以,所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可得，所以，

，則，所以，所以.13．(1)答案見解析；’(2).【解析】【分析】（1）證明見解析；（2）先求出，利用裂項(xiàng)相消法求和.(1)對于，當(dāng)n=1時，由.當(dāng)，有，此時，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.(2)由（1）知，，所以.所以當(dāng)n=1時，；當(dāng)，有，經(jīng)檢驗(yàn)，對n=1也成立.所以.所以.所以.14．（1）證明見解析；（2）最大自然數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件，可得的表達(dá)式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，則可得，根據(jù)錯位相減求和法，可求得的表達(dá)式，根據(jù)的單調(diào)性，代入數(shù)值，分析即可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴即，∴是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，即，∴，，①，②①減②得.∴.∴，∴.單調(diào)遞增.∵，.故使成立的最大自然數(shù).【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給形式，進(jìn)行配湊和整理，根據(jù)等比數(shù)列定義，即可得證，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂項(xiàng)相消法，④錯位相減法等，需熟練掌握.15．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用可得數(shù)列的遞推關(guān)系，，然后可證明是等比數(shù)列；（2）由（1）求出，即得，利用錯位相減法求得，不等式對于恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）由，得（），兩式相減得，所以（），因?yàn)?，所以，?所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由，又由（1）可知，得，∴，則，兩式相減得，所以.由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，；則的最小值為，所以實(shí)數(shù)m的最大值是.【點(diǎn)睛】本題考查由求，考查等比數(shù)列的證明，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問題．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．16．（1）證明見解析；（2）8.【解析】【分析】（1）可根據(jù)題目條件得到，易知為等比數(shù)列，即可證得為等比數(shù)列；（2）分別寫出與的前項(xiàng)和表達(dá)式，列出方程組，即可求解出的值．【詳解】（1）證明：依題意可知，整理可得；；有，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．（2）數(shù)列的前項(xiàng)和；數(shù)列的前項(xiàng)和；，；可列方程組，解得；．17．(1)(2)【解析】【分析】由題可知，數(shù)列的代數(shù)表達(dá)式是很復(fù)雜的，需要進(jìn)行恒等變換；（1）當(dāng)和同時出現(xiàn)在代數(shù)表達(dá)式中的時候，往往需要利用，把轉(zhuǎn)換成，但是本題是要證明為等比數(shù)列，所以要把轉(zhuǎn)換成，再利用等比數(shù)列的定義即可證明；（2）依題意很顯然應(yīng)該是裂項(xiàng)相消求和.（1）當(dāng)時，，，解得；當(dāng)時，把代入題設(shè)條件得:，即，很顯然是首項(xiàng)為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）知是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，．故數(shù)列的前項(xiàng)和為：.18．（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）45.【解析】【分析】（1）等式兩邊同時除以即可；（2）需要對的整數(shù)部分與小數(shù)部分進(jìn)行分析.【詳解】∵，顯然∴，是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列即，所以.（2）.因?yàn)閚≥2時，，.所以n≥2時，.又n=1時，，所以；時，，所以時，.由，及，得.所以使成立的最大正整數(shù)n的值為45.【點(diǎn)睛】本題說明n≥2時，是解決問題的關(guān)鍵.19．（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）由題意得，化簡整理，結(jié)合定義即可得證.（2）由（1）可得，代入可得，分別討論為奇數(shù)和偶數(shù)時的表達(dá)式，結(jié)合單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋约?，則從而數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，即

所以，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，是遞減的，此時當(dāng)時，取最大值，則；當(dāng)為奇數(shù)時，是遞增的，此時，則.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列構(gòu)造法，等比數(shù)列的定義以及裂項(xiàng)相消求和，還涉及了分類討論的思想，屬于難題20．（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累加的方式，結(jié)合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，