2023-2024學(xué)年重慶南開(kāi)中學(xué)校高一上學(xué)期11月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat15頁(yè)2023-2024學(xué)年重慶南開(kāi)中學(xué)校高一上學(xué)期11月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，則A∪B=（

）A．{2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3}【答案】B【分析】先求出集合B，再求A∪B.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．或C． D．【答案】C【分析】由題意要選的是的真子集.【詳解】由得，因?yàn)檫x項(xiàng)中只有，故只有C選項(xiàng)中的條件是使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件．故選：C.3．已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得，求解集即知函數(shù)定義域.【詳解】由題設(shè)，，解得，∴的定義域?yàn)?故選：A.4．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，所以，即.故選：D.5．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)奇偶性排除D，再根據(jù)時(shí)，，故排除AB即可得答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除D，由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除AB，故選：C6．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及分離參數(shù)將不等式恒成立轉(zhuǎn)為為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由不等式對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為，其中,即可.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.8．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【分析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)變形得，然后構(gòu)造函數(shù)，可判斷為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故選：C.二、多選題9．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷各項(xiàng)是否為指數(shù)函數(shù)即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對(duì)于B，且，故符合.故選：BC10．（多選）若函數(shù)在上滿足：對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先通過(guò)分析，得到若在上單調(diào)遞增，則函數(shù)為“理想函數(shù)”，然后依次判斷四個(gè)選項(xiàng)能否滿足題意.【詳解】不妨設(shè)，則由題意可得，即，由單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即若在上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．A選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；B選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；C選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合“理想函數(shù)”的定義；D選項(xiàng)中．該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義．故選：ABD．11．下列命題中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域結(jié)合二次函數(shù)或不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，可得，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：令，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，可得，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，可得，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得的定義域?yàn)?，因?yàn)?，即，可得，所以函?shù)的值域?yàn)?，故D正確；故選：BCD.12．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則（

）A．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的周期為6C．D．和的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8【答案】AD【分析】由題設(shè)得即可判斷A選項(xiàng)；由對(duì)稱性結(jié)合奇偶性得即可判斷B選項(xiàng)；利用周期性及解析式求出函數(shù)值即可判斷C選項(xiàng)；先求得函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，畫(huà)出和的圖象得到有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由定義域?yàn)镽，可得，，即，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；由以及為偶函數(shù)可得，則，即函數(shù)的周期為4，B錯(cuò)誤；由周期性知，，又，即，則，C錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得函?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，分別畫(huà)出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于，D正確.故選：AD.三、填空題13．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)的判定方法，即可求解.【詳解】設(shè)，即，可得函數(shù)的圖象表示開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15．若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【分析】設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程等價(jià)于，設(shè)，可得，即方程等價(jià)于在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．函數(shù)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在時(shí)，，若存在滿足，且，則最小值為.【答案】1518.5【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)一個(gè)周期的值域，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，且，再利用函數(shù)的周期性求解.【詳解】解：函數(shù)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?duì)任意，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，且，，的最小值估計(jì)值為，故的最小值取507，相應(yīng)的最小值為1011.5，則的最小值為1518.5.故答案為：1518.5四、解答題17．計(jì)算下列各式的值：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可.【詳解】（1）.（2）18．己知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào).(1)求m的值．(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除增根；（2）先判斷為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過(guò)討論化簡(jiǎn)不等式求其解.【詳解】（1）由題意，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，可得，即，而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．19．已知，．(1)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1），則，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的值域，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，則再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)的值域?yàn)?，?）由，得，所以，由，得，所以，令（），則在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為20．為宜傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張面積為的矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形），為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，設(shè)．(1)將四個(gè)宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的范圍；(2)為充分利用海報(bào)紙空間，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸（和分別為多少時(shí)），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時(shí)宣傳欄的最大面積．【答案】(1)(2)AD=120cm，，【分析】（1）根據(jù)題意列出總面積y表示為x的表達(dá)式即可.（2）根據(jù)（1）利用基本不等式求可使用宣傳欄總面積最大時(shí)和的值.【詳解】（1）根據(jù)題意，矩形海報(bào)紙面積為，所以，又因?yàn)楹?bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，所以四個(gè)宣傳欄的總面積，其中所以.即.（2）由（1）知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即,時(shí)，可使用宣傳欄總面積最大為.21．已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，求x的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解出a的值，再驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性即可求解.（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為m∈[-1，1]，使得，討論x的取值范圍即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意可得，即，解得，所以，，即為奇函數(shù)，所以.（2）由（1）可知，存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，設(shè)，定義域?yàn)?，為奇函?shù)，，而，所以為奇函數(shù)，存在m∈[-1，1]，成立，即存在m∈[-1，1]，成立，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以，存在m∈[-1，1]，使得，看成關(guān)于的一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，x的取值范圍為22．已知函數(shù)．(1)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，正實(shí)數(shù)b，c滿足，且的取值范圍為A．若函數(shù)在上的最大值不大于最小值的兩倍，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分離參數(shù)法求出a的范圍；（2）先利用基本不等式求出集合A，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單