2023人教A版高中數(shù)學精講3．3 冪函數(shù)

第三章函數(shù)的概念與性質

3.3塞函數(shù)

例證明基函數(shù)/(x)=?是增函數(shù).證明：函數(shù)定義域是［0,+8).

V玉，x2ef0,+oo),且玉<々，有f(xj_.f(x2)=?-

(+)

Xy一天

因X,-X2<0,+yfx^>0,

所以/(xj</(w)，即基函數(shù)/(x)=?是增函數(shù)?

練習

1.已知嘉函數(shù)y=x”的圖象過點(2,&),試求出這個函數(shù)的解析式.

【答案】y=)

【解析】

【分析】直接帶點計算即可.

【詳解】由已知0=2&，得&=；，即〉=￡.

2.利用幕函數(shù)的性質，比較下列各題中兩個值的大小：

4411

(1)(-1.5)3,(-1.4)3；(2).

-1.5-1.4

【答案】(1)(—1.5)3<(—1.4)3；(2)

-1.5-1.4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)/(外=/的單調(diào)性比較大小；

(2)根據(jù)g(x)='在(-嗎0)上的單調(diào)性比較大小.

X

【詳解】解：(1)設/@)=爐,則“力在R上為增函數(shù).

-1.5<-1.4,.?.(—1.5)3<(-1.4)3.

(2)設g(x)=,，則g(x)在(一℃,0)上為減函數(shù),

【點睛】本題考查幕函數(shù)的單調(diào)性的應用，屬于基礎題.

3.根據(jù)單調(diào)性和奇偶性的定義證明函數(shù)/(幻=/的單調(diào)性和奇偶性.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照：設元、

作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可.

【詳解】證明：/(x)=/的定義域為R.

任取x—eR,且芭<々，則/(內(nèi))一/(々)=工；-E=(%-%2乂x；+x/2+x；)

=(王一馬)(玉+|-^2-

(1Y3

王，工2￡R,且再</，.?%—A??<°,IX|H--X-yH—x；>0.

\2y/4

"(%)-/02)<。，即/(%)<“￡).

/(x)=_?在R上為增函數(shù).

又；f(-X)=(-X)3=-X3=-/(X),，=為奇函數(shù).

【點睛】本題考查累函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的證明，屬于基礎題.

習題3.3

復習鞏固

4.畫出函數(shù)>=屈的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.

【答案】圖像見解析，偶函數(shù)，討論見解析

【解析】

【分析】

將絕對值去掉，將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)的形式，再根據(jù)累函數(shù)的性質及圖象畫

出函數(shù)圖象，從而可以判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

設/(x)=y=M，.f(x)的定義域為R.

/(r)=7P^=M=/(x)，

y=/(x)=為偶函數(shù).

當XG[0,+o。)時?，y=M為增函數(shù)，證明如下:

設任意的X1,&e[0,+8),且占＜與，則

%一%=屈一相=嘉一嘉=才+於.

■Xt,x2e[0,+oo),且不0,厄>0,

禽+后＞0,不一w＜0,.,.乂一％＜0即，＜%.

y=y/\x\在[0,+oo)上為增函數(shù).

當xe(Ho,0]時，y=M為減函數(shù)，證明如下:

設任意的王,々e(Y?,0],且王＜々，則

必一%=廂一屈=

vx1,x2e(-oo,0],且不+工2—玉>0.二切一%>。即X>%.

y=y/\x\在（-°0,01上是減函數(shù).

【點睛】本題考查分段函數(shù)及幕函數(shù)的圖象及性質，屬于中檔題.

綜合運用

5.在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率%

（單位：c"/s）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比.

（1）寫出氣體流量速率也關于管道半徑「的函數(shù)解析式；

（2）若氣體在半徑為3c帆的管道中，流量速率為400c//s，求該氣體通過半徑

為;?的管道時，其流量速率u的表達式；

（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5a”，計算該氣體的流量速率（精確到

lent3/5）.

【答案】（1）v=kr4;（2）v=r4；（3）3086cm3/s

81

【解析】

【分析】

（D）設比例系數(shù)為Z,由題意可得：V=kr4.

（2）代入可得Z.

（3）利用（2）的表達式即可得出.

【詳解】解：（1）設比例系數(shù)為3氣體的流量速率v關于管道半徑「的函數(shù)解析

式為v=kr，.

（2）將廠=3與u=400代入丫=什4中，有400=^x34.解得左=絆，

O1

所以，氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率v的表達式為丫=鬻/.

O1

（3）當r=5時，「=理x5"=25000°=3086cm;/5.所以,當氣體81通過的管

8181

道半徑為5cmH寸，該氣體的流量速率約為3086c//§.

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的解析式及幕函數(shù)其應用，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

6.試用描點法畫出函數(shù)/（x）=x-2的圖象，求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單

調(diào)性、奇偶性，并證明.

【答案】圖像見解析，定義域：*1x70},值域：{yly>0},討論見解析，證明見

解析

【解析】

【分析】

2

函數(shù)/(x)=x-2=可得XHO.可得定義域，x>0,可得r>0,可得值域；在

JTX

求解奇偶性，并作出其大致圖象，利用定義證明單調(diào)性即可；

【詳解】解：/u)=4.

X

列表：

X-3-2-1123???

]_

/(X)…11…

9449

描點，連線.圖象如圖所示.

定義域:WXHO},值域：3y>0}"(x)=x-2在(―8,0)上是增函數(shù)，在(0,+8)

上是減函數(shù).

證明如下：設任意的X1,%26(-=°，°)，且玉.則

/(%)一/(%)=*一千考-X；

22

X/2

%)<x2<0,/.X]+尤2v0,>0,x2-xl>0.

"㈤―f(w)v。，即/(%)<〃￡),.??/(x)=婷在(7,0)上是增函數(shù).

設任意的西,々G（0,+OO）且―則/&)_/(/)=5_5=-色+號］?一/).

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2