南昌航空大學(xué)2007-2008學(xué)年第二學(xué)期高數(shù)期末試卷

2007—2008第二學(xué)期高數(shù)期末試卷一、（每小題5分，共10分）1.設(shè)，證明：。2.求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度及沿該梯度方向的方向?qū)?shù)。二、求曲線在點(diǎn)的切線及法平面方程。（8分）三、計(jì)算下列重積分（第小題6分，共18分）1.，由及圍成。2.,。3.,由曲面與平面所圍成。四、計(jì)算下列曲線（曲面）積分（每小題6分，共18分）。1.,:.2.,頂點(diǎn)為，和的三角形正向邊界。3.，其中為上半球面的上側(cè)。五、（每小題6分，共18分）。1.判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂。若收斂，是條件收斂，還是絕對(duì)收斂？1）；2）。2.將展開為的冪級(jí)數(shù)。六、解下列微分方程（每小題7分，共21分）。1.求的通解。2.求的通解。3.求，，的特解。七、在第一卦限內(nèi)作球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)軸所圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。（7分）一、（每小題5分，共10分）1.設(shè)，證明：。2.求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度及沿該梯度方向的方向?qū)?shù)。,二、求曲線在點(diǎn)的切線及法平面方程。（8分），。三、計(jì)算下列重積分（第小題6分，共18分）1.，由及圍成。2.,。3.,由曲面與平面所圍成。四、計(jì)算下列曲線（曲面）積分（每小題6分，共18分）。1.,:.2.,頂點(diǎn)為，和的三角形正向邊界。3.，其中為上半球面的上側(cè)。記是下側(cè)。所圍區(qū)域記為，則五、（每小題6分，共18分）。1.判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂。若收斂，是條件收斂，還是絕對(duì)收斂？1）；2）。對(duì)于級(jí)數(shù)，，所以絕對(duì)收斂。對(duì)于級(jí)數(shù)，，發(fā)散，所以級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂。條件收斂。2.將展開為的冪級(jí)數(shù)。六、解下列微分方程（每小題7分，共21分）。1.求的通解。2.求的通解。，一階線性方程。3.求，，的特解。，。七、在第一卦限內(nèi)作球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)軸所圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。（7分）設(shè)為橢球面上的一點(diǎn)，令，則，，過的切平面方程是即切平面在三個(gè)軸上的交點(diǎn)分別是，，四面體的體積是在