2023全國數(shù)學(xué)建模競賽易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計模型全國一等獎

易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計模型

（2006年獲全國一等獎）

摘要：本文主要考慮當(dāng)容積一定時，如何設(shè)計易拉罐的形狀和尺寸，使得所用

材料最省。首先對易拉罐進行測量，對問題二、問題三、問題四建立數(shù)學(xué)模型，

并利用LINGO軟件結(jié)合所測的數(shù)據(jù)進行計算，得出最優(yōu)易拉罐模型的設(shè)計。

模型一，對正圓柱體形狀的易拉罐，當(dāng)容積一定時，以材料體積最小為目標(biāo),

建立材料體積的函數(shù)關(guān)系式，并通過求二元函數(shù)條件極值得知，當(dāng)圓柱高為直徑

兩倍時，最經(jīng)濟，并用容積為360ml進行驗算，算得〃=122.63楨，/?=30.58Mm

與市場上凈含量為355ml的測得的數(shù)據(jù)根本接近。

模型二，對上面局部為正圓臺、下面局部為正圓柱的易拉罐同樣在容積量一

定時，考慮所用材料最省，建立優(yōu)化模型，并通過LINGO軟件仍用容積為360ml

進行驗算，算得R=30.58/?wi,/=29.33,"〃，h}=8.94/zzm,h2=111.8mm,高

之和約為直徑的兩倍。

模型三，考慮到罐底承受的壓力，根據(jù)力學(xué)上橫梁支點的受力與拱橋設(shè)計的

原理，設(shè)計底部支架1環(huán)形）與一定弧度的拱面，同時利用黃金分割，將直徑與

高之比設(shè)為0.618,建立容積量一定時材料最省的優(yōu)化模型，再將有關(guān)數(shù)據(jù)代入

計算，得到結(jié)論，現(xiàn)行易拉罐的設(shè)計從某種意義上不乏是最優(yōu)設(shè)計。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型易拉罐非線性規(guī)劃正圓柱正圓臺

一、問題重述

銷量很大的飲料容器（即易拉罐）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該是某

種意義下的最優(yōu)設(shè)計，而不是偶然。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)

計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的

話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。

現(xiàn)針對以下問題，研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。

問題一：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，

測量驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各局部的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)

據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是測量得到的，那么必須注明出處。

問題二：設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理

地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，

等等。_________!

問題三：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖1所示，即上面局部是一個

正圓臺，下面局部是一個正圓柱。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果

是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。

問題四：利用所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐

形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。

同時，以做此題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，

寫一篇短文（不超過1000字，論文中必須包括這篇短文），闡述什么圖I

是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點。

二、問題分析

在易拉罐設(shè)計的實際情況中，我們必須保證罐內(nèi)體積大于飲料的凈含量，同

時考慮到飲料對罐體各局部的應(yīng)力，需確定罐蓋、罐底和罐壁的厚度，在此情況

下的最優(yōu)是使得容積一定時，所用的材料最省。

在問題一中對于各個局部的數(shù)據(jù)可以直接測量，利用千分卡對易拉罐進行測

量；問題二是對正圓柱體的易拉罐在容積一定時，以半徑和高之比為衡量最優(yōu)設(shè)

計的標(biāo)準(zhǔn)；問題三中，比照問題一中所測得的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)易拉罐罐蓋、罐底的厚

度是罐壁的兩倍，因此我們在解決此問題時可以假設(shè)罐蓋、罐底的厚度是罐壁的

兩倍，再利用規(guī)劃方法求解由圓臺和圓柱體組成的易拉罐的最優(yōu)設(shè)計。在問題四

中根據(jù)問題二、三的模型所求得的數(shù)據(jù)與測量的數(shù)據(jù)進行比擬，以及觀察市場上

正規(guī)廠家生產(chǎn)的碳酸和非碳酸飲料易拉罐的異同之處，作出關(guān)于易拉罐形狀和尺

寸的最優(yōu)模型。

三'模型假設(shè)

1、根據(jù)薄壁圓筒的應(yīng)力分析，假設(shè)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍。

2、易拉罐各接口處的材料忽略不計。

3、易拉罐各局部所用的材料相同。

4、單位體積材料的價格一定。

5、相同類型易拉罐的容積相同。

四、模型建立與求解

目前市場上大局部的易拉罐形狀可以分成兩類：一類主體局部是正圓柱體，

正圓柱體上面局部是正圓臺（如圖2所示）；另一類主體局部是正圓柱體，正圓

柱體上面局部與下面局部都是正圓臺（如圖3所示）。

如圖2如圖3

我們用千分卡尺對杭州中萃食品生產(chǎn)的可口可樂易拉罐進行了測量，分別測

量數(shù)據(jù)如下表。（單位；mm]

罐IWI123.7罐柱內(nèi)徑61.29

上圓臺高13.5下圓臺高7.7

罐蓋內(nèi)徑58.17罐底厚0.29

罐蓋厚0.29罐底拱高10.11

圓柱體高102.5罐壁厚0.135

由上表可知：罐底與罐蓋的厚度大約是柱壁厚度的2倍；高大約為正圓柱直

徑的2倍。

易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計就是確保盛放飲料時容器不變形、放置穩(wěn)定、

運輸平安的前提下，如何設(shè)計形狀與尺寸才能使一定容積量的易拉罐所用的材料

最省，為此我們分別對問題二、問題三、問題四建立模型如下：

模型一：正圓柱體模型

假設(shè)易拉罐是一個正圓柱體，罐內(nèi)半徑為R,罐內(nèi)高為罐壁厚為沙，根

據(jù)假設(shè)1可知，罐底與罐蓋厚為2b,所以制作材料的體積為：

=17TRbH+Hb2+4b兀R?+8兀b?R+4兀b，

因為6<<R,故項4乃。3可以忽略不計。因而

于是，問題就是求目標(biāo)函數(shù)s（R,"）="）（2/?H+肥+4肥+助R）在條件

V="/?2"下的最優(yōu)解。即

mins(R,H)=7rb(2RH+Hb+4R2+SbR)

V=TTR2H

s.t.-

R>O,H>0

利用Lagrange乘子法求解，作函數(shù)

令

即

消去力得：…,人后’"=4.后。唯一的駐點就是問題的極值

點，也是此問題的最優(yōu)解。由上述可知，當(dāng)罐高為罐內(nèi)直徑的兩倍時，正圓柱體

的易拉罐所用的材料最省。這與我們目前市場上的可口可樂易拉罐的形狀大致相

同。

假設(shè)用V=360〃?/代入計算得，H=122.392mm,R=30.598mm,這與我們

所測凈含量為355/4的易拉罐高123.1mm與罐體半徑30.51〃?〃?還是比擬接近的

［飲料罐不能裝滿飲料，必須留有一定的空間余量）。

但也看出兩組數(shù)據(jù)之間也存在一定差異，這是因為我們所測量的易拉罐下底

并非是一個圓面，而是一個向上凸的拱面，接近上、下底局部是兩個正圓臺。

模型二：主體為正圓柱體，上面局部為正圓臺模型

當(dāng)易拉罐的上面局部是一個正圓臺，下面局部是正圓柱

體時（如圖4）,假設(shè)正圓柱體局部的罐內(nèi)半徑為R,罐內(nèi)

高為外，罐壁厚為b；正圓臺局部上底內(nèi)半徑為八，正圓臺

內(nèi)高為由。根據(jù)假設(shè)1可知，易拉罐罐底與罐蓋的厚度均

為給，仍以制作易拉罐的材料最省作為最優(yōu)設(shè)計。由于考

慮到易拉罐各局部材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需

的材料等于外徑體積減去內(nèi)徑體積進行計算。

易拉罐正圓臺局部所用的材料體積：

圖4

因為為<<R,故2萬/可以忽略，那么易拉罐正圓臺局部的材料體積為:

易拉罐正圓柱局部的材料體積：

因為人<<R,故2萬。3可以忽略。那么易拉罐正圓柱所用的材料體積：

所以，易拉罐的總材料體積為：

要使生產(chǎn)易拉罐的費用最省，同理可建立優(yōu)化模型:

V="似之［幽+Y）

S.t.</?>Tj

R,q,4,外>。

利用LINGO軟件（附錄一）計算得出/?二八=30.6”m，4=118.93mm,

為=3.48mm；顯然，易拉罐的形狀是正圓柱體。也就是說在容積相同的情況下,

正圓柱體形的易拉罐要比上面局部是正圓臺、下面局部是正圓柱體的易拉罐省

材，但是問題要求設(shè)計的上面局部是正圓臺的易拉罐，因此需要進一步改良。

根據(jù)所測易拉罐的數(shù)據(jù)分析，假設(shè)易拉罐的正圓臺高為正圓柱高的8%,正

圓臺的上內(nèi)徑為正圓柱內(nèi)徑95隊

s.tvR=0.95q也=12.5〃］

7=360,6=0.0135

R，n，h［，h>o

利用LINGO軟件進行求解（附錄二），分別得出：

R=30.87mm,r}=29.33mm,h}-8.94mm,色=111.8mm,H=hx+h2=120.74/?im,

這與我們所測得數(shù)據(jù)比擬接近。

模型三：易拉罐的最優(yōu)設(shè)計模型

對于盛裝碳酸飲料的容器，不僅要考慮省材,還要考慮盛放與搬運中的平安、

方便、實用。如果把易拉罐設(shè)計成球體，在一定容量的情況下材料最省，但對于

放置、儲存等會帶來諸多的不便（球與球之間的空隙大）。根據(jù)幾何原理，罐底

為平面放置最穩(wěn)，主體為正圓柱體最優(yōu)。但考慮到碳酸飲料的壓力等因素，罐底

與罐蓋要考慮牢固性，根據(jù)橫梁受力的原理：當(dāng)梁的支座從兩端往中間移時，其

載荷將會提高。根據(jù)此原理，我們在易拉罐的底部設(shè)計了一個底軌（環(huán)形），并

使其向量移動0.2R,這樣既可以提高易拉罐底的載荷，也可以使其擺放平衡。

底軌的厚度為兩個底厚加上它們之間的空隙，約為6bo

因此在罐底的底軌與正圓柱的連接處就形成了一個正圓臺，與此對應(yīng)，我們在

正圓柱的上面也設(shè)計了一個正圓臺，進而從美學(xué)的角度考

慮，根據(jù)黃金分割點將將直徑與高的比設(shè)為0.618,同時

在罐口設(shè)計了一個圓槽，使其內(nèi)徑略大于底軌外徑，當(dāng)兩

罐飲料疊放時，上面一罐飲料的底部可以嵌入下面一罐飲

料的罐蓋的圓槽，便于放置。

在罐底局部，根據(jù)拱橋的原理：橋面設(shè)計成一定的拱

形時，它的受力比一般平面橋要大得多。因此我們把罐底

底軌內(nèi)的局部設(shè)計成具有一定弧度的拱面，使其能夠更好的承受罐內(nèi)液體的壓

力。

綜上所述，可將易拉罐罐體設(shè)計成三局部：上部為正圓臺，高為由,上圓臺

罐口內(nèi)半徑為八；中部為正圓柱，高為名，罐體正圓柱內(nèi)半徑為R;下部為正圓

臺，高為力3,罐底內(nèi)半徑為-2,罐底拱高為d(如圖5所示)。又設(shè)罐體壁厚為力，

罐底、罐蓋厚為對各局部進行材料體積計算。

易拉罐上正圓臺局部的材料體積：圖5

因為力<<R,故2萬/可以忽略，那么易拉罐正圓臺局部的材料為：

易拉罐正圓柱局部的材料體積：

因為6<<尺，故2萬/可以忽略，那么易拉罐正圓柱局部的材料體積：

易拉罐下正圓臺側(cè)面局部的材料：

=心而(b+R+r)

易拉罐底部材料的體積：S底(d，G)=%(</2+2r,2)

所以，易拉罐所用的總材料體積為：

當(dāng)易拉罐所需的總材料最少，那么生產(chǎn)該易拉罐的費用最省，建立優(yōu)化模型

如下：

?,7rh,(R2+Rr.+r,2)7ch^^R~+Rn+r2)7Td(3r^2+d2)

,V=2h,+——------!---!—+——=------==2----------=------

s.tj2336

R,rx,r2,hx,h2>0

當(dāng).=0.8/?,rx-r2=6b,ht=2%=0.15%>2R=0.618(4+―+1)，

V=360000,b=0.135/=7時，利用LINGO(附錄三)解得：R=2S.3mm,

r2=22.667mm,=23.48,陽〃，/z,=11.23mm,%=5.61/wm,h2=74.85〃”〃，，

H-91.69/77/77,這樣設(shè)計出來的易拉罐取材省，外觀美麗。

五'模型評價與改良

此模型通過實際數(shù)據(jù),將理論分析和實際狀況進行比擬，有較強的現(xiàn)實意義。

能兼顧平安、實用、方便、美觀、經(jīng)濟，理論引用可信度較高。但在模型中沒有

考慮接口處的材料，由于時間關(guān)系，對罐底、罐蓋與罐壁的厚度等比照沒有作深

入的研究。期望能在此方面加以改革，以到達(dá)最經(jīng)濟的效果。

六'建模體會

數(shù)學(xué)建模是一項以培養(yǎng)青年學(xué)生創(chuàng)新思維、團結(jié)協(xié)作、綜合應(yīng)用能力、提高

學(xué)生素質(zhì)為目的的活動、深受青年學(xué)生的青睞，我們是這項活動的喜愛者、參與

者、受益者。

通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與實踐，我們懂得了數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實世界中的實際

問題加以提煉。用數(shù)學(xué)語言符號描述問題的內(nèi)在聯(lián)系，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建

立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進而用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)軟件等求出模型的解，并驗證模型的

合理性。用該數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實問題，甚至解決一些當(dāng)前生產(chǎn)、生活中的技術(shù)難

關(guān)，并將局部模型應(yīng)用于實際生產(chǎn)中，給社會帶來巨大的經(jīng)濟效益。數(shù)學(xué)建模的

關(guān)鍵步驟可以歸納為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗及

模型應(yīng)用等。對于我們來說，如何解讀實際問題，掌握各種信息與數(shù)據(jù)，抓住其

本質(zhì)，再用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識建立模型是難點。

就易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計而言，考慮了易拉罐罐底為何設(shè)計成呈弧

形的拱面，這樣設(shè)計對易拉罐有何作用，如何設(shè)計易拉罐各局部材料的厚度以及

形狀，并證明所需要的材料是最省的，即對產(chǎn)家而言所需的費用是最省的，然而

在此根底上還需考慮到罐內(nèi)氣體對易拉罐各局部的應(yīng)力以及易拉罐的承受能力，

并用數(shù)學(xué)的方式進行表達(dá)和證明，說明我們所設(shè)計的易拉罐是合理的，這是問題

的關(guān)鍵所在，也是本模型的最大難點，而數(shù)學(xué)建模的最大難點也在于如何建立數(shù)

學(xué)模型將理論轉(zhuǎn)化為實際問題。

通過數(shù)學(xué)建?；顒邮刮覀冋嬲昧藬?shù)學(xué)的魅力，它的應(yīng)用十分廣泛，可以

滲透到工程、生物、經(jīng)濟、環(huán)境、能源等各個鄰域，也使我們學(xué)會了學(xué)習(xí)，學(xué)會

了合作，學(xué)會了利用網(wǎng)絡(luò)及我們所學(xué)的知識去解決問題的思想。這對我們今后的

學(xué)生時代及走上崗位后的職業(yè)生涯會終身受益。

參考文獻

[1]劉鴻文，？材料力學(xué)？，人民教育出版社，1979.2.(第154頁)

[2]吳建國，？數(shù)學(xué)建模案例精編？，北京市三里河路6號：中國水利水電出版社,

2005.1.(第89頁)

[3]?數(shù)學(xué)手冊?編寫組，？數(shù)學(xué)手冊？，北京印刷二廠：人民教育出版社，1979(第

81頁)

[4]姜啟源謝金星葉俊，？數(shù)學(xué)模型第三版？，北京市西城區(qū)德外大街4號：高

等教育出版社，2004.2

[5]admin,鋁制易拉罐成形工藝及模具，，2006.9.15

[6]劉代祥，飲料包裝研究，，2006.9.15

附錄

附錄一

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+2*3.14*b*(RA2+R*rl+rlA2)/3

+2*3.14*b*RA2+3.14*b*2*R*h2+3.14*bA2*(4*R+h2);

3.14*RA2*(h2+hl/3)+3.14*hl*rlA2/3.0+3.14*hl*R*rl/3.0=v;

R>=rl;

end

Localoptimalsolutionfoundatiteration:130

Objectivevalue:4785.179

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

Hl118.93320.000000

R30.603490.000000

RI30.60349-0.6001035E-07

H23.480709-0.1719013E-06

RowSlackorSurplusDualPrice

10.000000-35601.72

20.000000-0.8841982E-02

34785.179-1.000000

40.000000-0.8841982E-02

50.000000-24.57812

附錄二

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+2*3.14*b*(RA2+R*rl+rlA2)/3

+2*3.14*b*RA2+3.14*b*2*R*h2+3.14*bA2*(4*R+h2);

3.14*RA2*(h2+hl/3)+3.14*hl*rlA2/3.0+3.14*hl*R*rl/3.0=v;

R>rl;

rl>=0.95*R;

hl>=0.08*h2;

Localoptimalsolutionfoundatiteration:131

Objectivevalue:4751.322

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

Hl8.9406410.000000

R30.87646-0.1512417E-06

RI29.332640.000000

H2111.75800.000000

RowSlackorSurplus>DualPrice

10.000000-35349.82

20.000000-0.8779419E-02

34751.322-1.000000

40.000000-0.8779424E-02

51.5438230.000000

60.000000-21.85243

70.000000-0.5905080

附錄三

model:

b=0.135;v=360000;d=7;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+6.28*b/3*(RA2+R*rl+rlA2)+6.2

8*b*RA2+6.28*b*R*h2+3.14*

AA

(4*b2*R+b2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r2人2);

3.14*RA2*h2+3.14*hl*(RA2+r*rl+rlA2)/3+3.14*h2*(RA2+R*r2+r2A2)/3-3.14*

d*(3*r2A2+dA2)/6=v;

r2=0.8*R;

rl-r2=6*b;

hl=2*h3;

hl=0.15*h2;

2*R=0.618*(hl+h2+h3);

End

Localoptimalsolutionfoundatiteration:8

Objectivevalue:6682.800

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

D7.000000