2014-2-11圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納

PAGE2-11圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義：⑴第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。⑵第二定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫做橢圓的離心率。說明：①若常數(shù)等于，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段。②若常數(shù)小于，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上圖形范圍頂點(diǎn)對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上焦點(diǎn)焦距離心率準(zhǔn)線參數(shù)方程與普通方程的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為3.焦半徑公式：橢圓上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，則，。推導(dǎo)過程：由第二定義得（為點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離），則；同理得。簡記為：左“＋”右“－”。由此可見，過焦點(diǎn)的弦的弦長是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。若焦點(diǎn)在軸上，則為。有時(shí)為了運(yùn)算方便，設(shè)。判定直線與橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)方法定理1:設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面中的任意一點(diǎn)，則（1）點(diǎn)P在橢圓上.（2）點(diǎn)P在橢圓外.（3）點(diǎn)P在橢圓內(nèi).證明:(1)由橢圓的定義直接可得這個(gè)結(jié)論.(2)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí):如圖,連結(jié)交橢圓于點(diǎn)M,則>即成立.即:點(diǎn)P在橢圓外(3)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí):如圖,連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)M,則<即成立.即:點(diǎn)P在橢圓內(nèi)(2)2)當(dāng)時(shí):若點(diǎn)P在橢圓上,則有得矛盾若點(diǎn)P在橢圓內(nèi),則有得矛盾∴點(diǎn)P在橢圓外.即點(diǎn)P在橢圓外.(3)2)同理可得點(diǎn)P在橢圓內(nèi).定理2：設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)P到橢圓兩焦點(diǎn)、的距離和的最小值為,則（1）直線和橢圓C相切；（2）直線和橢圓C相離；（1）直線和橢圓C相交；證明:(1)直線和橢圓C相切直線和橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 直線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)在橢圓上,而其它點(diǎn)全在橢圓外 的最小值為(2)直線和橢圓C相離直線上的所有點(diǎn)都在橢圓C的外部恒成立 (3)直線和橢圓C相交直線上至少存在一點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部直線上至少存在一點(diǎn)P使成立注:容易驗(yàn)證對于焦點(diǎn)在軸上的橢圓,上述結(jié)論也成立.定理3：已知：直線橢圓，則（1）；（2）；（3）。證明：作坐標(biāo)變換：則在新坐標(biāo)系中橢圓C變成曲線的方程為：（已化為單位圓），直線l變成直線的方程為，易見坐標(biāo)變換前后直線和曲線的位置關(guān)系（公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）保持不變；在中，由于圓心到直線的距離∴和橢圓C相交和單位圓相交同理：和橢圓C相切//////////和橢圓C相離例1已知:橢圓C以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)在x軸上，且與兩直線均相切，求：橢圓C的方程。解：設(shè)橢圓的方程為：∵橢圓和直線相切∴由定理3可知：又∵橢圓和直線相切∴由解得∴橢圓的方程為：雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)：定義（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|說明：①|(zhì)|PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|若2a=|F1F2|，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的射線；2a>|F1F2②設(shè)M是雙曲線上任意一點(diǎn)，若M點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。（2）第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)e（e>1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂點(diǎn)A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在x軸上，c2=a2+b2實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在y軸上，c2=a2+b2離心率準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線間距離為準(zhǔn)線間距離為漸近線方程幾個(gè)概念等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。共軸雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；②雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線。注：=1\*GB3①定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為；一定點(diǎn)（即焦點(diǎn)）；一定直線（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比1）=2\*GB3②定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線=3\*GB3③圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)，表示橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，表示拋物線。=4\*GB3④拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱焦半徑）與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡單，便于應(yīng)用。2．四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：，，其中：=1\*GB3①參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。=2\*GB3②標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是，若的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開口向右，若的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是，當(dāng)?shù)囊淮雾?xiàng)前符號(hào)為正，則開口向上，若的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.=1\*GB3①待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個(gè)條件就能解出待定系數(shù)，因此要做到“先定位，再定值”。注：當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時(shí)，若不知開口方向，可設(shè)為或，這樣可避免討論。=2\*GB3②拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線性質(zhì)焦點(diǎn)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑關(guān)于軸對稱原點(diǎn)注：=1\*GB3①焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的；=2\*GB3②對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識(shí)拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題1．直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去或化得形如（*）的式子：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，若△＞0（*）式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解直線與拋物線相交；若△=0（*）式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解直線與拋物線相切；若△＜0（*）式方程無實(shí)數(shù)解直線與拋物線相離.

2．直線與拋物線相交的弦長問題=1\*GB3①弦長公式：設(shè)直線交拋物線于，則或.=2\*GB3②若直線與拋物線相交所得弦為焦點(diǎn)弦時(shí),借助于焦半徑公式處理：拋物線上一點(diǎn)的焦半徑長是，拋物線上一點(diǎn)的焦半徑長是六、拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)為過拋物線焦點(diǎn)的弦，設(shè)，直線的傾斜角為，則①；②；③以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；④弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形的面積；⑤；=6\*GB3⑥焦點(diǎn)對、在準(zhǔn)線上射影