新教材2024版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第4課時(shí)函數(shù)的極值與最大小值綜合練習(xí)課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

5．3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第4課時(shí)函數(shù)的極值與最大(小)值綜合練習(xí)A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．(2023年陜西期末)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2在[0，3]上的最小值是 ()A．eq\f(10,3) B．－eq\f(10,3) C．eq\f(7,2) D．－eq\f(7,2)【答案】B【解析】f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(2，3]時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增．所以f(x)在[0，3]上的最小值為f(2)＝－eq\f(10,3).故選B.2．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是 ()A．在(－3，1)內(nèi)f(x)單調(diào)遞增B．在(4，5)內(nèi)f(x)單調(diào)遞減C．在x＝1時(shí)f(x)取得極大值D．在x＝2時(shí)f(x)取得極大值【答案】D【解析】由圖可知，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，(2，4)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，(4，5)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以x＝1不是f(x)的極值點(diǎn)，x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)，所以A，B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，則函數(shù)y＝f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A．0 B．1C．2 D．不確定【答案】C【解析】由題意，f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有最小值，且ex>0，所以函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即f′(x)<0有解，所以x2＋2x＋a＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y＝f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.4．若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則常數(shù)c的值為 ()A．4 B．2或6 C．2 D．6【答案】D【解析】函數(shù)f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,3)))(x－c)，依題意得f′(2)＝0，即c＝2或c＝6.當(dāng)c＝2時(shí)，f′(x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))(x－2)，當(dāng)eq\f(2,3)<x<2時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在x＝2處取極小值，不符合條件；當(dāng)c＝6時(shí)，f′(x)＝3(x－2)(x－6)，當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)2<x<6時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在x＝2處取極大值，符合條件．所以常數(shù)c的值為6.故選D.5．現(xiàn)需建造一個(gè)容積為V的圓柱形鐵桶，它的蓋子用鋁合金材料，已知單位面積的鋁合金的價(jià)格是鐵的3倍．要使該容器的造價(jià)最低，則鐵桶的底面半徑r與高h(yuǎn)的比值為 ()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3) C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)【答案】D【解析】設(shè)單位面積鐵的價(jià)格為a，h＝eq\f(V,πr2)，則造價(jià)w(r)＝πr2·a＋2πrh·a＋πr2·3a＝4aπr2＋eq\f(2aV,r)，w′(r)＝8aπr－eq\f(2aV,r2)，取w′(r)＝8aπr－eq\f(2aV,r2)＝0，得到r＝eq\r(3,\f(V,4π))，當(dāng)0<r<eq\r(3,\f(V,4π))時(shí)，w′(r)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)r>eq\r(3,\f(V,4π))時(shí)，w′(r)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，故r＝eq\r(3,\f(V,4π))時(shí)，造價(jià)最小，此時(shí)h＝eq\f(V,πr2)＝eq\f(4πr3,πr2)＝4r.6．(多選)(2022年保定開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2，下列說(shuō)法中正確的有 ()A．函數(shù)f(x)的極大值為eq\f(22,3)，極小值為－eq\f(10,3)B．當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為eq\f(22,3)，最小值為－eq\f(10,3)C．函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[－2，2]D．曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y＝－4x＋2【答案】ACD【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2，所以f′(x)＝x2－4，由f′(x)>0，得x<－2或x>2，由f′(x)<0，得－2<x<2，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得極大值f(－2)＝eq\f(1,3)×(－2)3－4×(－2)＋2＝eq\f(22,3)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)＝eq\f(1,3)×23－4×2＋2＝－eq\f(10,3)，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最小值f(3)＝eq\f(1,3)×33－4×3＋2＝－1，當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值f(4)＝eq\f(1,3)×43－4×4＋2＝eq\f(22,3)，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)閒′(0)＝－4，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故選項(xiàng)D正確．故選ACD.7．若函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3)x3－ax2(a<0)在(2a，a＋1)上有最大值，則a的取值范圍為 ()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】A【解析】由f(x)＝eq\f(2,3)x3－ax2(a<0)得，f′(x)＝2x2－2ax＝2x(x－a).當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)a<x<0時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)在(a，0)上單調(diào)遞減，故f(x)在x＝a處取到極大值．又因?yàn)閒(x)在(2a，a＋1)上有最大值，且2a<a<a＋1，所以f(a)≥f(a＋1)，則eq\f(2,3)a3－a3≥eq\f(2,3)(a＋1)3－a(a＋1)2，解得a≤－eq\f(2,3).故選A.8．函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx－3x2的極值點(diǎn)為_(kāi)_______．【答案】0【解析】依題意，f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx－6x＝xcosx－6x，令f′(x)＝x(cosx－6)＝0，解得x＝0，符合題意，∴函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為0.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)，g(x)＝a－|x－1|，若?x1，x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[e，＋∞)【解析】?x1，x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立?當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)min≤g(x)max.由題意得f′(x)＝eq\f(ex(x－1),x2)，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)＝eq\f(ex,x)在(0，＋∞)上的最小值為f(1)＝e.又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(0，＋∞)上的最大值為g(1)＝a，故a≥e.10．(2022年浦江月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax，(1)若a＝－1，求f(x)的極值；(2)當(dāng)－eq\f(8,3)<a<0時(shí)，f(x)在[0，2]上的最大值為10，求f(x)在該區(qū)間上的最小值．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x3＋x2－x，f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝eq\f(1,3)，則x，f′(x)，f(x)變化情況如下表，x(－∞，－1)－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)的極大值為f(－1)＝1，極小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,27)＋eq\f(1,9)－eq\f(1,3)＝－eq\f(5,27).(2)∵f′(x)＝3x2＋2x＋a，∴Δ＝4－12a.又∵－eq\f(8,3)<a<0，∴Δ>0.令f′(x)＝0，解得x1＝eq\f(－1－\r(1－3a),3)，x2＝eq\f(－1＋\r(1－3a),3)，則x，f′(x)，f(x)變化情況如下表，x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減．∵－eq\f(8,3)<a<0，x1<0<x2<2，∴f(x)min＝f(x2).又∵f(0)＝0，f(2)＝12＋2a>0，∴f(x)在[0，2]上的最大值為f(2)＝12＋2a＝10，解得a＝－1，∴f(x)min＝f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－eq\f(5,27).B級(jí)——能力提升練11．(多選)(2022年重慶月考)定義在[－1，5]上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，函數(shù)f(x)的部分對(duì)應(yīng)值如下表．下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是 ()x－10245f(x)13132A.函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，0)∪(2，4)C．當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，若f(x)的最小值為1，則t的最大值為2D．若方程f(x)＝a有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2)【答案】AD【解析】由題圖知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[4，5]上單調(diào)遞減，所以在x＝0，x＝4處有極大值，故A正確；單調(diào)區(qū)間不能寫(xiě)成并集，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f(2)＝1，f(4)＝3，且f(x)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，所以存在x0∈[2，4]使得f(x0)＝2，易知，當(dāng)t＝x0時(shí)，f(x)在區(qū)間[－1，t]的最小值為1，故C不正確；由函數(shù)值表結(jié)合單調(diào)性作出函數(shù)草圖，可知D正確．故選AD.12．(2022年咸陽(yáng)月考)已知函數(shù)y＝f(x)在R上可導(dǎo)且f(0)＝1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足(x＋1)[f′(x)－f(x)]>0，對(duì)于函數(shù)g(x)＝eq\f(f(x),ex)，下列結(jié)論正確的是 ()A．函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增B．x＝－1是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn)C．函數(shù)g(x)必有2個(gè)零點(diǎn)D．e2f(e)>eef(2)【答案】D【解析】因?yàn)間(x)＝eq\f(f(x),ex)，所以g′(x)＝eq\f(f′(x)－f(x),ex).因?yàn)?x＋1)[f′(x)－f(x)]>0，所以當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)－f(x)<0，當(dāng)x>－1時(shí)，f′(x)－f(x)>0，所以當(dāng)x<－1時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x>－1時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；x＝－1是g(x)的極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)g(－1)>0時(shí)，g(x)無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，得g(2)<g(e)，即eq\f(f(2),e2)<eq\f(f(e),ee)，所以eef(2)<e2f(e)，故D正確．故選D.13．(2022年遵義開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|2x|－m，x<\f(1,2)，,x3lnx－m，x≥\f(1,2)))恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3e)，－\f(ln2,8)))∪(0，1)【解析】設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|2x|，x<\f(1,2)，,x3lnx，x≥\f(1,2)，))根據(jù)題意函數(shù)f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即為函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝m有3個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)x≥eq\f(1,2)時(shí)，可得g′(x)＝x2(3lnx＋1)，令g′(x)＝0，得x＝e－eq\f(1,3)>eq\f(1,2)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，e－\f(1,3)))時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e－eq\f(1,3)，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝e－eq\f(1,3)時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值，極小值為g(e－eq\f(1,3))＝－eq\f(1,3e)，又由geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,8)ln2<0，作出g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3e)，－\f(ln2,8)))∪(0，1).14．傳說(shuō)中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來(lái)的．這定海神針在變形時(shí)永遠(yuǎn)保持為圓柱體，其底面半徑原為12cm且以每秒1cm的速率縮短，而長(zhǎng)度以每秒20cm的速率增長(zhǎng)．已知神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm為止，在這段變形過(guò)程中，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時(shí)其體積最大．該定海神針原來(lái)的長(zhǎng)度為_(kāi)________cm；假設(shè)孫悟空將神針體積最小時(shí)定形成金箍棒，則此時(shí)金箍棒的底面半徑為_(kāi)_______cm.【答案】604【解析】設(shè)定海神針原來(lái)的長(zhǎng)度為xcm，則t秒后其長(zhǎng)度變?yōu)?x＋20t)cm，其底面半徑變?yōu)?12－t)cm，∴t秒后定海神針的體積V＝πR2h＝π(12－t)2(x＋20t)，0≤t≤8，又∵V′＝π[(2t－24)(x＋20t)＋20(12－t)2]＝π(t－12)(2x＋60t－240)，令V′＝0，可得t＝12(舍去)或t＝4－eq\f(x,30)，在變形過(guò)程中，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時(shí)其體積最大，即t＝2時(shí)體積最大，∴4－eq\f(x,30)＝2，解得x＝60，∴V′＝60π(t