電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)

電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)2023/12/27電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)我命在我，不在天地。天助自助者。主動還是被動是成功與失敗的關(guān)鍵。梅花香自苦寒來。聽好每堂課，課后研讀教材，做好每次作業(yè)。學會讀書，讀專業(yè)書，讀文學作品（修身養(yǎng)性，學會自信）與同學們共勉2023/12/272電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)課程基礎(chǔ)：《概率論》、《信號與系統(tǒng)》后續(xù)課程：《通信原理》及從事統(tǒng)計信號處理研究課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)課成績考核：平時作業(yè)＋期中考試＋期末考試課程簡介2023/12/273電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)參考書：1.《隨機信號分析》趙淑清鄭薇編哈工大出版社2.《隨機過程》毛用才等編著西安電子科技大學出版社歡迎訪問《隨機信號與系統(tǒng)》課程網(wǎng)站38/wlxt/listcourse.asp?courseid=01593.《隨機過程導論》答疑時間與地點：時間：地點：科B樓232

2023/12/274電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)

第一章概率論基礎(chǔ)隨機過程的基礎(chǔ)理論第二章隨機信號第三章平穩(wěn)性與功率譜密度第四章各態(tài)歷經(jīng)性與隨機實驗隨機過程的應(yīng)用第五章隨機信號與線性系統(tǒng)第六章帶通隨機信號本書內(nèi)容安排：2023/12/275電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)第1章概率論基礎(chǔ)本章將復習與總結(jié)概率論的基本知識也擴充一些新知識點，比如：1)利用沖激函數(shù)表示離散與混合型隨機變量的概率密度函數(shù)，2)隨機變量的條件數(shù)學期望3)特征函數(shù)4)瑞利與萊斯分布2023/12/276電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機變量1.2多維隨機變量與條件隨機變量1.3隨機變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學期望1.5特征函數(shù)2023/12/277電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機變量1.1.1概率公理1.概率確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象：在條件相同的一系列重復觀察中，會時而出現(xiàn)時而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，并且在每次觀察之前不能準確預料其是否出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱之為隨機現(xiàn)象。2023/12/278電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)隨機試驗（RandomExperiment）：對隨機現(xiàn)象做出的觀察與科學實驗。E隨機實驗的特點：a.不唯一性b.不確定性c.可重復性樣本點（SamplePoint）把隨機實驗E的每一個基本可能結(jié)果稱為隨機實驗的樣本點，記為ξ

。2023/12/279電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)隨機實驗的全部樣本點構(gòu)成的集合，稱為隨機實驗的樣本空間，記為Ω

樣本空間（SampleSpace

）隨機事件（Random

Event）實驗E中滿足一定條件的樣本點的集合稱為隨機事件,是Ω的子集。記為

A,B

,…每個樣本點稱為基本事件，樣本空間Ω是必然事件，?是不可能事件。2023/12/2710電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)隨機事件域

F：由樣本空間的全體子集構(gòu)成。隨機事件域（Random

EventField）域：一些集合組成的集合叫域。投一枚硬幣3次，觀察正反面出現(xiàn)的情況事件A：出現(xiàn)正面兩次事件B：至少出現(xiàn)正面一次2023/12/2711電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)概率事件是隨機的。賦予事件一個出現(xiàn)可能性的度量值，稱為概率（Probability）。常由相對頻率（Relativefrequency）來計算，概率空間：(Ω

，F(xiàn)，P)構(gòu)成的三元總體空間稱為概率空間。（n很大）試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)總試驗次數(shù)2023/12/2712電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)歸一性：可加性：若事件A、B互斥,即，則，非負性：任取事件A，概率公理：任何事件A的概率滿足：2023/12/2713電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)事件概率的基本性質(zhì)2023/12/2714電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.1分析擲均勻硬幣問題。解：H---正面，T---反面。因此，（1）樣本空間：

（2）事件域：（3）由硬幣的均勻特性可得，，而且，

，

2023/12/2715電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例：擲一枚均勻的骰子，觀察出現(xiàn)點數(shù)的隨機實驗E樣本空間事件域2023/12/2716電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)2.條件概率乘法公式：條件事件：條件概率（Conditionalprobability），鏈式法則：

2023/12/2717電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)事件獨立其中：m為整數(shù)，常由實際問題的意義判斷事件的獨立性事件A與B獨立（Independent）等價地定義為多個事件彼此獨立，2023/12/2718電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.1.2隨機變量RandomVariable（R.V.）（1）定義若定義在樣本空間Ω上的單值實函數(shù)，將基本可能實驗結(jié)果ξi與實數(shù)xi對應(yīng)起來，有如下函數(shù)關(guān)系：

則稱為隨機實驗E中的隨機變量，簡記為X。1.隨機變量定義：X的取值范圍稱為值域或狀態(tài)空間

R.V.一般用大寫字母X,Y,Z,

2023/12/2719電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)（2）類型：連續(xù)RV(C.R.V.

)

：X的取值連續(xù)，對應(yīng)無窮多個樣本點離散RV(D.R.V.

)

:X

的取值離散，狀態(tài)可能有限或無限狀態(tài)混合RV(M.R.V.

)

:X的取值離散或連續(xù)Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)x2xix1樣本空間隨機變量隨機變量值域…2023/12/2720電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)

2.隨機變量的概率分布函數(shù)(累積分布函數(shù))

ProbabilityDistributionFunction定義即，F(xiàn)(x)是R.V.X.落在區(qū)間上的概率。2023/12/2721電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)性質(zhì)1)

F(x)是x的單調(diào)遞增函數(shù),即2)

F(x)非負，且3),必然事件，不可能事件2023/12/2722電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)4)區(qū)間概率特性

對于D.R.V.2023/12/2723電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)對于C.R.V.X取某值的概率為0即C.R.V.落在某區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)5)

F(x)連續(xù)性2023/12/2724電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)6)

D.R.V.的F(x)

用單位階躍函數(shù)表示2023/12/2725電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)3.隨機變量的概率密度函數(shù)

ProbabilityDensityFunction定義2023/12/2726電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)性質(zhì)2）：非負性

1）：3）：歸一性4）：5）：D.R.V.2023/12/2727電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.4均勻骰子實驗：定義R.V.X的取值為解：是離散型的，分布律描述最為方便：狀態(tài)概率或者采用列表2023/12/2728電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)分布與密度函數(shù)，或2023/12/2729電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.2多維隨機變量與條件隨機變量1.2.1多維隨機變量(隨機向量)各R.V.之間可能有一定的關(guān)系,也可能沒有關(guān)系——即相互獨立Ωξ1·ξ2·ξi·X1(·)X2(·)…XK(·)X1(ξ)多維映射X2(ξ)XK(ξ)…

…X1X2XK…2023/12/2730電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.二維隨機變量(X,Y)及其分布聯(lián)合概率分布函數(shù)：聯(lián)合概率密度函數(shù)：2023/12/2731電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)性質(zhì)：，且F(x,y)是x或y的單調(diào)增函數(shù)2023/12/2732電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)令：，有2023/12/2733電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)2023/12/2734電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)6)邊緣分布邊緣分布函數(shù)：邊緣概率密度：2023/12/2735電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)2.n維隨機變量及其分布設(shè)有n維隨機變量

n維（聯(lián)合）分布函數(shù)為:

n維（聯(lián)合）密度函數(shù)為：2023/12/2736電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)高維概率密度可通過積分降低維數(shù)，設(shè)已知n維隨機變量的n維聯(lián)合概率密度，，有當m<n2023/12/2737電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.5某電子系統(tǒng)有部件A1和A2,狀態(tài)：normal與false，隨機變量X1和X2：求：(1)系統(tǒng)工作情況的樣本空間和隨機向量(X1,X2)的聯(lián)合狀態(tài)空間

(2)

A1和A2獨立時，計算(X1,X2)的概率密度函數(shù)2023/12/2738電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)X1和X2的聯(lián)合狀態(tài)空間解:(1)系統(tǒng)狀況的樣本空間2023/12/2739電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)A1和A2獨立時，取值概率：2023/12/2740電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)的概率密度函數(shù)

作業(yè)：1.91.112023/12/2741電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.隨機變量與多維隨機變量的條件事件1.2.2條件隨機變量如：點條件2023/12/2742電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)2.條件隨機變量的概率分布、密度函數(shù)類似概率的乘法規(guī)則2023/12/2743電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.2.3獨立性R.V.X1,X2,…,Xn

相互獨立：2023/12/2744電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.8二維R.V.

求:(1)；(2)討論X與Y之間的獨立性。2023/12/2745電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)解:(1)

(2)

X

與Y

獨立的充要條件：高斯R.V.之間，互不相關(guān)和統(tǒng)計獨立等價2023/12/2746電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.3隨機變量的函數(shù)1.3.1一元函數(shù)一元函數(shù)的概率特性：函數(shù)形如或構(gòu)成從樣本空間到實數(shù)域的復合映射，導致新的隨機變量。2023/12/2747電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)定理1.1:已知R.V.X

的,現(xiàn)有R.V.。設(shè)X與Y之間的關(guān)系是單調(diào)的，并且存在反函數(shù)，即，若反函數(shù)的導數(shù)h′(Y)也存在，則B為Y的值域?qū)τ谶B續(xù)型隨機變量，則有:2023/12/2748電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)證：當X與Y之間是單調(diào)增時2023/12/2749電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)當X與Y之間是單調(diào)減時2023/12/2750電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例：隨機信號X是均勻分布的，其概率密度函數(shù)為，若，試求Y的概率密度函數(shù)。解：反函數(shù)為,反函數(shù)的導數(shù)為1/a2023/12/2751電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.3.2二元函數(shù)二元函數(shù)：其概率特性：2023/12/2752電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)更一般地：設(shè)已知二維隨機變量(X,Y)的f(x,y)，現(xiàn)有且反函數(shù)的二階偏導存在，則設(shè)函數(shù)映射是單調(diào)的反函數(shù)存在雅可比行列式2023/12/2753電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.13求Z=X+Y的密度函數(shù)解：定義輔助變量U

=

Y,則積分可得：如果X與Y獨立：2023/12/2754電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.15復隨機變量

，其實部與虛部獨立，且，，討論振幅R與相位Θ的概率特性。1.3.3瑞利與萊斯分布解：函數(shù)、反函數(shù)關(guān)系與雅可比行列式，， 2023/12/2755電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)于是，邊緣概率密度函數(shù)為：瑞利分布根據(jù)X與Y獨立，有2023/12/2756電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)均勻分布

結(jié)論：中，與獨立。2023/12/2757電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)0作業(yè)：1.1602023/12/2758電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學期望1.4.1R.V.X的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均或集合平均）連續(xù)隨機變量:離散隨機變量:expectation,mean2023/12/2759電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)基本性質(zhì)：1）線性：2）若獨立，則3）對于有，簡潔書寫形式：2023/12/2760電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.4.2矩與聯(lián)合矩k階矩（Moment）與(k+r)階聯(lián)合矩（或混合矩）（Jointmoment）如下，

1)絕對原點矩：

2)原點矩：

3)中心矩：

2023/12/2761電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)幾個重要的矩(2)隨機變量X的方差Variance

方差描述了R.V.偏離均值的程度(1)均方值連續(xù)隨機變量:離散隨機變量:2023/12/2762電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)性質(zhì)：協(xié)方差隨機變量的標準差:均方值2023/12/2763電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)(3)相關(guān)矩relation記為：2023/12/2764電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)(4)協(xié)方差矩Covariance記為：有：2023/12/2765電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)(5)相關(guān)系數(shù)的數(shù)值越大，隨機變量和越相關(guān)，相關(guān)表示兩個R.V.X

、Y

的線性關(guān)聯(lián)程度表示X和Y是線性相關(guān)的表示X和Y是彼此無關(guān)的0<ρ≤1

，正相關(guān)－1≤ρ<0，負相關(guān)2023/12/2766電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)討論：的關(guān)系三者都用于表示R.V.X

、Y

的關(guān)聯(lián)程度包含均值、方差對關(guān)聯(lián)程度的影響。包含離散程度對關(guān)聯(lián)程度的影響消除了均值、方差對關(guān)聯(lián)程度的影響，因而單純地反映了R.V.X

、Y的相關(guān)性2023/12/2767電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.4.3獨立、無關(guān)、正交(1)無關(guān)或?qū)τ赗.V.X,Y(2)正交或不相關(guān)2023/12/2768電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)獨立無關(guān)正交任一隨機變量均值為0正態(tài)分布除外(3)獨立、無關(guān)、正交的關(guān)系一般情況2023/12/2769電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)高斯（正態(tài)）隨機變量

無關(guān)獨立零均值高斯（正態(tài)）隨機變量獨立正交無關(guān)作業(yè)：1.142023/12/2770電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.4.4條件數(shù)學期望在一定條件下的數(shù)學期望，稱為條件數(shù)學期望（或條件均值）。以二維為例，定義如下：對于離散型隨機變量，是y的函數(shù)，及。2023/12/2771電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)如果該函數(shù)的自變量為R.V.Y,則E(X|Y)是一個新的隨機變量，進一步對它求平均有，全期望公式證明：2023/12/2772電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)基本性質(zhì)：1)2)若獨立，則3)或者2023/12/2773電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)解：令顧客數(shù)為N，每人購買量為Xi元（）

，Xi與N都是隨機的，且彼此獨立。則營業(yè)額為，于是例1.19某小店平均每天有50名顧客，而每人平均購買10元的商品。問小店每天的平均營業(yè)額是多少？而，所以作業(yè)：1.242023/12/2774電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)定理1.2（切比雪夫不等式Chebyshevinequality）對任意,有1.4.5重要不等式例如，

而對于正態(tài)分布特例，實際上是99.74％。如果方差，則X集中在m一點上。因為對于任意小的ε，，即，。隨機變量X=m依概率1成立2023/12/2775電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)定理1.3（柯西－許瓦茲不等式Cauchy-Schewarzinequality）設(shè)，，則E(XY)存在，且實隨機變量2023/12/2776電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)隨機變量的統(tǒng)計特性：概率特性矩特性特征函數(shù)（矩發(fā)生函數(shù)）1.5特征函數(shù)2023/12/2777電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)1.基本概念定義1.2：

隨機變量X的特征函數(shù)（Characteristicfunction）定義為 式中，為確定的實變量。1.5.1(一維)特征函數(shù)2023/12/2778電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)離散隨機變量X連續(xù)隨機變量X2023/12/2779電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)特征函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系（是一個特殊的變換對）可以通過傅立葉變換求特征函數(shù)與概率密度函數(shù)變換對定理1.5（唯一性定理）密度函數(shù)與特征函數(shù)相互唯一確定。說明：特征函數(shù)必定存在，通常是復數(shù)，以另外一種方式全面地描述著隨機變量的概率特性。2023/12/2780電子科大隨機信號分析CH1概率論基礎(chǔ)例1.21求參數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)。解：2023/12/2781電子科大隨機