安徽省2023中考數(shù)學(xué)題型8幾何探究題習(xí)題

題型八幾何探究題

高分幫

類型1與全等三角形有關(guān)的探究

1.⑴如圖⑴，在四邊形ABCD中,AB〃CD,點(diǎn)￡是比'的中點(diǎn),若45■是N為〃的平分線,試判斷AB,AD,%之間的

數(shù)量關(guān)系.解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)45■交比1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證△/?！髟滦牡玫紸B=FC,從而把

AB,AD,ZT轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，即可判斷出AB,AD,比'之間的數(shù)量關(guān)系為ADiAB⑴C;

⑵問(wèn)題探究:如圖(2),在四邊形ABCD中，AB//CD,點(diǎn)產(chǎn)為ZT延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接加；點(diǎn)￡是6。的中點(diǎn),若AE

是N以/，的平分線,試探究AB,AF,。、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

圖⑴圖⑵

(\)AD=AB+DC

解法提示：：71￡是/胡〃的平分線,

.：/DAE=NBAE.

VAB//CD,

."DAE=/F,

?：AD=DF.

丁點(diǎn)￡是比的中點(diǎn)，

.,.CE=BE.

又/F=/BAE、/AEB=/CEF,

.?.△CEP^4BEA,

?：AB=CF.

又VDF=CF+DC.

.：AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

證明：如圖，延長(zhǎng)AE交ZF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

:AE平分4BAF,

；./BAG=/FAG.

?.,AB//DC,

.：4BAG=NG,

；.乙FAG=/.G.

；.FA=FG.

:,點(diǎn)E是火的中點(diǎn),

:.CE=BE.

乂ZAEB=4GEC,

.：△4￡屜△砥:；

.'.AB=GC.

又VCG=CF+FG,

.：AB=AF+CF.

2.如圖,線段4?=8,射線BGA.AB,P為射線成■上一點(diǎn)，以4P為邊作正方形APCD,且點(diǎn)C,。與點(diǎn)B在4尸兩側(cè),連

接此在方＞上取一點(diǎn)￡使NEAP=NBAR連接應(yīng)并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)廣(點(diǎn)尸與點(diǎn)A,方不重合).

(1)求證:郎W△呼；

⑵判斷CF與4?的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；

(3)求■的周長(zhǎng).

(1)證明：丁四邊形加YZ為正方形，

?：CP=AP,N仍。OYM50,

又PE=PE,

??.△AEP^ACEP.

⑵航L44.

理由：??,△AEP^ACEP,

???NEAP=/ECP.

???4EAP=/BAP,

，4BAP=NECP.

???乙ECP+/CMP0O°,NAW：；/CMP,

???NAMI?'+NBAP§G；

?:N4/部=90°,

ACE.LAB.

⑶如圖,過(guò)點(diǎn)。作CNIPB,垂足為點(diǎn)A；則四邊形勿3是矩形,

.*.CN=BFyBN=CF.

易知/CPN+/APB甘°,NPAB+NAPBW0°,

???—PAB.

又TAP=CP,/廬/CV290°,

二△QC—用，

.\CN=PB,PN=AB.

:△AEP^XCEP、

.'.AE=CEy

?：CA\F產(chǎn)AE+EF+AF

=CE+EF+AF

二冊(cè)+A卜'

;PN+PB+AF

=ABKN+AF

=AB+BF+AF

口8=16.

3.[2021合肥38中二模]如圖⑴，在正方形ABC。中,Ey夕分別為邊仍雨的中點(diǎn)，連接AFya交于點(diǎn)G.

(1)求證:4」場(chǎng)；

⑵如圖⑵,連接BG,求證:GB平分N￡6F;

(3)設(shè)△?!"；的面積為S,求證:BrCS.

⑴證明：丁四邊形4%刀是正方形，

.\AD=AB=BCy/DAE=/ABF=90°.

:Z/分別為邊ARBC的中點(diǎn)，

?：力?如,；

二/△力分；

"ADE=/BAF.

???/DAG+/EAGW°,

???/DAG+/ADGAb°、

二/力必由0°,即AFA.DE.

(2)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)七作BM_LAF,垂足為點(diǎn)M則BM//GE.

A________E_______B

G

M

???AE=BE,

?：AG=GM.

設(shè)BF二&貝ljABA,AF=\f^a,BJ隹證&1層愿露

55

；.GM聾■HBM

/△b%；為等腰直角二角形，

"BGM45",.,.ZBGE^O°Y5°N5°,

.,.ZBG,if=ZBGE,

；.GB平分/EGF.

(3)證明：XM)G的面積為S則A6?DG心.

由AFLDE,GB平■分4EGF,可得N4的N陽(yáng))=135°.

連接BD,NABDA5°,易證△/如△及祝

/.BGf=AG-DG,

；.B4ts.

4.[2021重慶A卷]在△4函中,48=/，點(diǎn)〃是邊比1上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將4〃繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至/￡的位置,

使得為。=180°.

⑴如圖⑴,當(dāng)乙皈>90°時(shí)，連接應(yīng);交4c于點(diǎn)F.若BE平一6NABC,BD2求力"的長(zhǎng)；

(2)如圖(2)，連接儆取鹿的中點(diǎn)G,連接AG.猜想4G與3存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想；

⑶如圖(3),在⑵的條件下,連接DG,CE,若N為。=120°,當(dāng)BD>CD,N』￡C=150°時(shí),請(qǐng)直接寫出--—的值.

(1)如圖(D,連接CE,過(guò)點(diǎn)尸作FQ1.BC,垂足為點(diǎn)H.

A

圖⑴

；BE平分4ABC,N9G900,

.\FA=FQ.

「AB=AC,ZBAC-QO°,

"ABC=/ACBa3：

/.FQ^-CF.

?.?/BAC+/DAEC80°,Z^f-90°,

/.ZDAE^°,

J4BAD二4CAE.

在△/初和△/〃中，

一,

Z=Z

?：△/力運(yùn)△力俏

???CE=BD=2,/ACQ/A8DN50,

二?NBCE幫0.

;BE平分乙AB&

?：/ABF=/CBF,

"MBNBEC.

乂:/AFB=4EFC,

???4BEC=4EFG

???CF=CE2

；?AF=FQ*用近.

⑵力

證明：如圖⑵，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)M,使AM=ABy連接EM.

M

圖⑵

是四的中點(diǎn)，

."吟血

7/8AC+NDAEA80。，/物C+NQJ六180°,

，/DAE=/CAM、

"D心NEAM.

TAB二AC,.\AM=AC.

在△49。和△/￡"中，

上：二:

???CD=ME、

⑶岑

解法提示：如圖(3),延長(zhǎng)創(chuàng)至點(diǎn)R使得AP=AB,連接CP,EP,DE.

圖⑶

：*Zfi4C=120",N"l￡*/ZMC=180°,

二/必入0°,.：△/加是等邊三力形.

VAC=AB=AP,N。尸=180°°,

,△4^是等邊三角形.

由(2)可知，△〃四△』以；

.：/4上￡=NO=30°,

.："平分

.:咫垂直平分線段AC,

.：AE=CE、

ZZ￡4C=Z￡61--f-------=15°,

.：ZCAD=ZDAE-^EAC=&Q°-15°=45°,

；./ADB=/CAD+/ACDW5：

"BADW5°,

；.BA=BD.又AE=DE,

.:跖垂直平分44

設(shè)BE與4。交于點(diǎn)H,連接DH,則AH=DH,

.：△/!/〃是等腰直角三角形.

由⑵知AG^CD.

又DH^JD,

.\AH=DH=AG=DG.

又NAW=90°,

.：四邊形1功//是正方形.

設(shè)AG=a,貝ljCD=2a,AH=DH=a,

.：CH《a,

.：Bl)=BAACAH+HC(i-V3)a.

易證是等腰直角三角形，

；.CE當(dāng)C"Ma,

.-J1+V3)-_V6

*'V2

5.如圖,在正六邊形ABCDEF中,點(diǎn)。是中心,點(diǎn)M,“分別是AB,徵上的點(diǎn),且AM=CN,連接OM,ON.

⑴如圖⑴，求證：。聆覦

⑵如圖(2),點(diǎn)G是比1上一點(diǎn),且BG=AM.

(IM接MG,NG,求證:四邊形。始V是菱形；

圖⑴圖⑵圖⑶

②如圖(3),點(diǎn)P,0分別是OM,的中點(diǎn),連接PQ,PG,GQ判斷△AG0的形狀并說(shuō)明理由.

⑴證明：如圖⑴，連接OA,0C,易知OA=OC,2Mg60°.

圖⑴

乂VAM=CN,

.：△4〃儂△他

.,.OM=ON.

⑵⑦ffi明：如圖(2),連接OB,”,能易知OB=OC,4BOC40°,NOBG=/OCNq。；

圖⑵

又,.,BG=AM=CN,

△(：()*

.：OG=ON、/BOG=/CQN,

:./GON=/CON+/COG=/BOG+/COG=/BOC$0”,

.：△aw是等邊三角形.

同理易得△』/%是等邊三角形，

.\G*()M=ON=GN,

四邊形例/GV是菱形.

②圖是等邊三角形.

理由如下：如圖(3),連接他用OG,由例知△〃的■和都是等邊三角形.

p0

BG

圖⑶

丁點(diǎn)P、0分別是OM,公的中點(diǎn)，

???PG=QG、/OGP:/OGQ°,

?：4PGQ=/OGP+4OGQ30°+30°=60°,

是等邊三角形.

類型2與相似三角形有關(guān)的探究

6.[2020淮北?模]⑴如圖⑴，在Rt△胸中，NO90°^在分別平分/口氏/煙，過(guò)點(diǎn)尸作

DE〃AB交"'于點(diǎn)〃交BC于點(diǎn)、E.

證:點(diǎn)尸是線段場(chǎng)的中點(diǎn);

②^證:渺二BE?BA.

⑵如圖(2),在Rt△力弦中，NG90。/戶13,BCA2,BP平?分NAB&過(guò)點(diǎn)夕作DE〃AB交力。于點(diǎn)D,交比于點(diǎn)E,

若點(diǎn)q為線段龍的中點(diǎn),求力〃的長(zhǎng)度.

⑴證明：①：設(shè)平分N48C；

???4ABP二4CBP.

VDE//AB,

???/ABP二/EPB、

???NCBP=4EPB、

?：BE=PE.

同理可得ZF物.

VDE//AB,

又VCA=CBt

???CE;CD,

???BE=AD,

.\PE=PDy

?:點(diǎn)P是線段應(yīng)的中點(diǎn).

酬①信/ABP=/EBP二NEPB弋/CBA.

:F尸平分N?！?/p>

???/PAB=^/CAB.

VCA=CBt

???4CBA=/CAB,

?：ZABP=/EBP二/EPB=/PAB,

???BP:BE?BA.

⑵過(guò)點(diǎn)尸作〃?的平行線,交BC千點(diǎn)、F,交力3于點(diǎn)G如圖.

在Rt△力⑦中，V132-122-5.

VFG//AC,PD〃AG,

?：/斤斤NCq0°,四邊形4；如是平行四邊形,

.\PG=AD,

；PE=PD、PF〃CD,

?：勿是△加9的中位線，

???EF=F&PF/D.

由（1）可知BE=EP.

設(shè)AD=PG=x、貝I］耍5r,?:則(5r).

:DE"AB、

"】2，

二位蘭紗#(5x),

55

.：￡灣(5-x),EP=BE=BC-CE斗x.

55

5(5-)e_

在Rt△痔中,sinNEPF二—九巴得

5

乂乙EPF=4EDC,sinN歌KinN創(chuàng)「考，

.5-」2

.65

/方

."礙

7.[2021合肥42中三模]如圖，在RtZ\45C中，ZBAC-90°,ADLBC,AE=AC,連接EC交相于點(diǎn)￡點(diǎn)，是胡延

長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接HF交"'于點(diǎn)G,nNB=NH.

⑴求證:△笳；

(2)若點(diǎn)G是4c的中點(diǎn),求證:小2";

(3)在(2)的條件下,求sinNZFC的值.

⑴證明：:仞1陽(yáng)

.：/BAD+NB=QQ°.

乂：*Z//+ZJG￥=90°,NB=NH,

.：/BAD=NAGH.

乂；4AGH=ZFGC,

?：/BAD=/FGC.

VAE=AC,

.：/AEC=/ACE,

???△AEFsAGCF.

⑵證明：丁點(diǎn)G是的中點(diǎn),4代犯

???AECGC.

由(1)得△力￡7SZ\G。；

?：---------2.

丁N協(xié)G90”,

??./BAD+/CAD軻.

乂：?/力〃/N8-90°,

"CAD=』B=/H.

又??"4AFG=NHFA,

.:△AFGSXHFA、

?*--------N,.：HF^AF.

(3)易知/力￡。=/力。2n5°.

如圖,連接他

由⑵得△J/Qs/v〃訊

.：-----------2,.,.All2.他

又VAE=AC=^AG,

:?AH=AE.

又丁N8心90°,

垂直平分EH,

，CE二CH,

???/ECH"ACEW：

：XAEFsXGCF、

；.——二—4/GFC=/AFE=/CFD.

設(shè)FC=a,則EF%,

.,.HC=EC=EF+FC=Za,

.:在RSCHF中,HF"/2=VTOa,

.：sln/DFC=sin/HFC二--駕.

死10

8.如圖,在菱形四龍中，點(diǎn)￡在射線8c上，點(diǎn)、尸在線段力。上,連接DF、DE、NEDF二/BAC,射線〃￡與射線4。交

于點(diǎn)〃

⑴如圖⑴，當(dāng)點(diǎn)￡在線段a'上時(shí),求證:XFDPsXFCD\

⑵如圖(2),點(diǎn)￡在線段BC上,連接EF、當(dāng)即〃ABN求證:5=6P-CA;

(1)證明：丁四邊形力比。是菱形,

/.AB//CD,BAC二4DCF.

???/EDF:/BAC,.'.^EDF=ZDCF.

又：2母氏/狽,：△田如入△也Z

⑵證明：：?四邊形力砥9是菱形，

???AB=BC,/BAC=/DAC,/EDF:/BAC=/BCA.

又乙FPD=4EPC,??.△FPD^XEPC,

又乙FPE二Z.DPC,；.4FPESRDPC、/Z.PDC=/EFC.

VEF//AB,AEFC=Z.BAC=ADACy工/PDC=/DAC.

又:?4DCP二乙ACD,

.,.△DC24ACD、，——

；.5=CP?CA.

⑶如圖，連接Z?交"'于點(diǎn)〃

:,四邊形4發(fā)力是菱形，.：■/T.

丁。廬2遙，sxnZBAC^-.

.?.DO=OB=ABsinZA4r=2V6貯2

由勾股定理可得A0X》2底

在RtZX/M/中，DFA

.：0卜7~2-V32-22-V5,

?V3'2乃V5V5.

易得△短~■皿

----------------,

.?./■'I)/■(>/r,即3-V5-IT,

解得外竽，

0

；.CP=PF-FC呼孤空、

55

.：AP=AC+CP=/里..

□5

4.

易得△尸如△處以一一,即礪金，

解得?？?

9.[2021合肥瑤海區(qū)三模]如圖(1),四邊形4及力是正方形，力層2,4C是其對(duì)角線;△龐尸是等腰直角三角

形，NDEF今0。.若DF,施與然分別交于點(diǎn)也N,且分別與AB,a1交于點(diǎn)G,H,連接MH.

⑴當(dāng)N"游2aw時(shí)，求證:4舊押；

(2)證明：△〃場(chǎng)是等腰直角三角形；

⑶如圖(2),若DF,如分別交直線然于點(diǎn)4A；爐分別交48的延長(zhǎng)線、BC干點(diǎn)、G,P,若點(diǎn)P是比的中點(diǎn),求

M的長(zhǎng).

圖(1)圖⑵

(D證明：：?四邊形月成〃是正方形，

二?AD=CD,ZDAM=ADCN=A^°.

又：?NAM4CDN,

.：△力〃儂△微Y

，AM=CN.

⑵證明：如圖(1),連接BD、則4加5°,

?：/ADB/BDM2EDF/BD扎

，4ADM=/BDH.

丁四邊形力筋是正方形，

二/DAM=/DBH43°,

?：△/〃―△助以

?J2

2

在RtZX。/%1中，易知——當(dāng)、

—=—,即—=—.

又:NMDH=NEDF45°,

...△DMIM4DEF,

.：△〃物/是等腰直角三角形.

(3)如圖(2),連接BD,颯NBDC-NCD*NED?NO)此即N應(yīng)匕=/￡?、：

???/ACD=/ABD43：

，/DCN=/DBGA33。、

??.△BDGsACDN,

易得M；〃仍；

?：△〃田是等腰直角三角形.

由題意易知一,即gk

???BG2,"小4,

.：DG=42=25/5,

10.[2021安慶四中二模]如圖(1),已知乙陽(yáng)A'=90°,"平分N極優(yōu)點(diǎn)6是邊和/上一點(diǎn)，冊(cè)4,比LL在于點(diǎn)C,

交4V于點(diǎn)G,如于點(diǎn)D,連接劭交4戶于點(diǎn)0,ARLBD于點(diǎn)、E,交DC于點(diǎn)連接CE.

(1)求證：N跳。=/胡6;

(2)請(qǐng)判斷CF與分'的數(shù)量關(guān)系,并給出證明；

⑶若N物八平90。，如圖(2),試證明CF=DF.

圖(D圖⑵

(1)方法一：

證明：VBCLAP,AEVHD,

.'.ZBCO=ZAEO=90°.

又；2AOE=NBOC,

，△曲￡s△幽.：—

又???/AOB=/EOC,

.?.△OABSXOEC、

?：/BEC=NBAC.

方法二：

證明：如圖(1),取47的中點(diǎn)//,連接HC,HE.

N

圖⑴

???BCLARAELBD,

???/ACB=/AEB=Qb",

.\HC=HE^AB=HA=HB,即力,B,C,少四點(diǎn)在以點(diǎn)//為圓心,月〃為直徑的圓上,

???/BEC=/BAC.

⑦CF=DF.

證明：：7戶平分/%1A；乙山290°,

/.Z.CAB=ADAC=^°.

VBC1.AP,CDLANy

"ACB=/ADC挈：

?"「二及當(dāng)月叱夜，

「々然.仞孝心2.

：F￡J_必/以〃斗0°,

???/DAF+/ADE=Q。。，/ABD+/ADBW00,

???/DAF=/ABD.

又「/ADF=NBAD50,

??.△ABMADAF,

二一,即產(chǎn)，

:?DFA,

/.CF=CD-DF=iy

.\CF=DF.

⑶證明：對(duì)于題圖⑵，取"的中點(diǎn)Q連接CQ和聞如圖⑵.

圖⑵

二仍平分/場(chǎng)A；BC1AP,

:?/CAB=/DAC、BC=CG.

又???BQ=DQ、

,：的是△戚的中位線，

/.CQ//GD.

乂VCDLAN,

???NDCQ=/CDGW：

VAEIBD,

???/FEQ^O。二N〃CQ

?:點(diǎn)CF、E、。到/W的中點(diǎn)的距離相等，

?:點(diǎn)C,F,E、。在以修為直徑的圓上,

，/CFQ=4CEQ.

由（1）得N四0二/勿用

???ZCFQ=/CEQ=/CAB=/CAD.

：2%4-90°,4GIXW

???/CGA+/CAD劍、/CGA+/DCGW。，

?：/CAD=/DCG、

"CFQ=NDCG,

.??FQ〃BG,?：—=—=1,

,\CF=DF.

一類型3與全等、相似三角形有關(guān)的探究

11.在RtZ\4%'中,246=90°,。是4?的中點(diǎn)，NEDFA5°,/切尸繞頂點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與

AC,比的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡F,DF交于點(diǎn)M,應(yīng)交比?于點(diǎn)N.

(1)如圖(1),若CE=CF,求證:龍=Z陰

⑵如圖(2),在/雙A繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,求證:CF-,

⑶若CD2CH,求&V的長(zhǎng).

⑴證明：°,AC=BC,AD=BD,

，./BCD=/ACDa5°,NBCE=/ACF4Q0,

；.Z.DCE=NDCF=\35°.

在△陽(yáng)?與△次力■中，

卜”/

?二△DC的△DCF、

?：DE=DF.

⑵證明：：2%尸=135°,

"CDF+/FA■°-135°N5°.

又：/CDF+/CDEM°,

?:N/"ZY比；

又NHAN〃四=135°,

??.△CDFs^CED,

???Ca:CE?CF,

(3)過(guò)點(diǎn)〃作%_!_歐于點(diǎn)G,如圖.

E

??2DCB=A5：

，GC=GD*D=?

由⑵可知，CH=CE-a-,

：.CE二---2V2.

：ZECN=4DGX2ENO少G、

.：A￡AiC^A￡?A6；

,即J爺

則D\」2+J(曰7+凈2手

12.[2021福建]如圖,在正方形ABCD中,￡戶為邊48上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)/關(guān)于班'的對(duì)稱點(diǎn)為4/'的延

長(zhǎng)線交8c于點(diǎn)G.

(1)求證：/龍〃4'尸；

(2)求NOf'S的大小；

(3)求證:['024'〃

⑴證明：如圖，設(shè)四'與4'相交于點(diǎn)T.

「點(diǎn)力與點(diǎn)/關(guān)于應(yīng)對(duì)稱，

.：/1垂直平分A4；即DEVAA',AT=TA'.

:廣為邊4夕上的兩個(gè)二等分點(diǎn)，

,ME=EF,?:夕7是△44N的中位線，

；?ET〃A'F、即DE//A'F.

⑵如圖，連接用丁四邊形業(yè)如9是正方形，

.\AD=ABy/DAB=/ABG30°,/DAT+/BAG=9。°.

VDEA-AA\,\ADTA^°,

?：/ADT+/DAT由,???/ADT=/BAG,

.'.△DA恒AABO,

???AE=BG.

乂AE二EF二FB,

???FB=BG,

?：△/2好是等腰直角三角形，

"GFB聿°.

VDE//AfF,?"'RL44',

?："4'G900.

取AG的中點(diǎn)〃，連接見(jiàn)',必，

在和Rl△砒7中，

0A'二OF=0G卻G、0B=OF=0G耳G,

???0A'二OF二0G=0B,

二點(diǎn)A\F、RG都在以為直徑的。0上,

???/GA'B=/GFB=\30.

(3)i正明:設(shè)力則AD=BC^a,AF=2ayAE=BF=a.

由(2)得BG=AE=a.

在RtZXW中，tanNBAS一丁力,即LanZJ'/l^,

3,

，2

設(shè)//'/”,則AAYk,在雙△，'",中，由勾股定理，得+，2-V10A,

.:屈"a,k—.AA'^k^-.

555

在RtZk4%;中，由勾股定理,得A(^l2+

?“/.?/77\3V1025/T0

..AG=AG-AM"10a---^―--,

：C(；=BC-GB盤a,：.一Y-44

由⑵知，NA'FB+NA'GB=180°.

；NA'GC+NA'GB=18Q°,

.：NA'FB=NA'GG

.'i

..—專

.：A'O2A'B.

13.[2021合肥蜀山區(qū)一模]如圖，△/!比?與△/口?均為等邊三角形,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在AB,邊上,且AE=BF,連接

AF,應(yīng)交于點(diǎn)G,連接用并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)H.

(1)求N/8的度數(shù)；

(2)求證：G〃=&4C;

(3)若〃為跖的中點(diǎn),求一的值.

⑴：'是等邊三角形,

.,.CA=AB,NCAE=NB%0°.

在△勿￡和44獷中，｛/=N

???/ACE=/BAF,

二NAGE=/ACE+ZCAG=NBAF+/CAGWQ°.

⑵證明：如圖，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)、M使GM=GA.

由(1)知N4給60°,

?:△力CV為等邊三角形，

?：4V=G4/劭護(hù)60°,

"CAGNMAE.

丁△力切為等邊三角形，

?：N%C60°,加%,

???ZDAC+/CAG=4CAE+/MAE,

即N%G=N。業(yè)

在△加(；和△C4V中,{/='/

.：△的儂△<%%

.".GD=MC.

又:MC=GM+GC=GA+GC,

；.GD=GA+GC.

(3)由(2)易得N比於=60°,

；.NEGH=180°-NDGA-NAGE=60°=Z.B.

乂「N能7/=N

?：4EGtS4EBC、.：——二—,

即EG-EC=EB'Ell.

；NEAG=NECA,/AEG=NCEA,

，△必叱△/“，.：--.—，即i：，t-[■；(；?lie,

；.E#=EB,EH.

:?〃為BE的中m,.；E呻B,

.：EhEB,EH評(píng),

2'

14.[2021合肥瑤海區(qū)二模]如圖(D,在RtZ\/L%中，N4Q?=90°,/。=陽(yáng)點(diǎn)〃是比'的中點(diǎn),連接仞點(diǎn)￡是49

上一點(diǎn),連接淡、并延長(zhǎng)交/C于點(diǎn)F.

(D若點(diǎn)尸是4c的中點(diǎn),求證：N48AN區(qū)"：

⑵如圖(2),若NDBE=4DEB.

(2^證:

朗想——的值并寫出計(jì)算過(guò)程.

圖⑴圖⑵

(1)證明：:AC=BC,ZACB^Q°,

.；NCAB=NCBA=45".

:,點(diǎn)。是比的中點(diǎn)，點(diǎn)/*'是〃'的中點(diǎn)，

；.BD耶C,AF^AC,

?：BD=AF.

乂AB=AB,

.：△4孫/△胡〃，

："ABE=2BAE.

⑵①ffi明：如圖,連接CE,過(guò)點(diǎn)A作■交立的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

CDB

?：/DBE=/DEB,/.DE=DB.

又CD二BD,

.:點(diǎn)￡住以點(diǎn)〃為圓心,旗為直徑的圓上,

?：/BEC以：

??./CBF+/BCE挈。.

VZACB=^O:???/ACG+/BCE=3)°,

?"ACG=4CBF.

乂???4GAC=/FCB=^0°,AC=BC\

?,.△ACgACBF,?：AG=CF.

：2&GN力附80°,，GA〃BC,

??.△CDES^GAE、

???I)C=DE,,??AG=AE,?：AECF.

②W想:一年

由珈N頌三NICE

乂??"DBE=/DEB=/AEF,

，4AEF=4ACE.

乂"EAF=/CAE,

?:△AEF^△ACEy?-——.

乂；?AE=CR?：—-—.

不妨設(shè)AF=m,。尸二1,則了、

整理得〃"〃T-0,

可得0號(hào)(不合題意的值已舍去),

15.[2021浙江寧波]【證明體驗(yàn)】

⑴如圖⑴，49為△4比?的角平分線，ZADC^O。，點(diǎn)E在加上,AE=AC.求證:況■平分NA9A

【思考探究】

⑵如圖(2),在⑴的條件下，尸為四上一點(diǎn)，連接FC交于點(diǎn)G.若FB=FC,〃G=2,CD2求BD的長(zhǎng).

【拓展延伸】

⑶如圖(3),在四邊形ABCD中,對(duì)角線芯平分N為以NBCA2NDCA,點(diǎn)、￡在ACk,Z.EDC=Z.ABC.若

及7=5,CD^,y/5,AD=2A&求的長(zhǎng).

⑴證明：：平分N的，

"EAD=/CAD.

乂?.'AE=AC,AD=AD,

.：△必四△，為"

.：NW=NW=60",

.：NEDB=18Q°-NADE-NADC領(lǐng)；

.：ZBDE=LADE,即DE平分4ADB.

(2)'.'FB=FC,

；./EBD=2GCD.

又；4BDE=NGDC4Q°,

二△EBM△GCD、

:7\￡4四

:.DE=DC率.

又DGN,

⑶如圖,在48上取一點(diǎn)F,使得AF=AD,連接CF.

:FC平分N氏仞

."FAC=/DAC.

又VAC=ACf

；?XAF-DC、

，CF=CD、Z.ACF=Z.ACD,/AFC=4ADC.

???/ACF+/BCF:/ACB"ACD、

???/DCE=NBCF.

乂?；/EDC=/FBC,

???4DCES4BCE

?：-------，4CED二』CFB.

丁a'巧，CF=CD必用

???CEa.

VAAED=\^S°-NCED=W0-/Bg/AFC=/ADC、/EAD==/DAC

?：△必ZS△用C

.1

一?

.'.AC=AAEy

416

33

16.[2021淮北烈山區(qū)一模]在△/a'中，1年犯點(diǎn)D在〃1邊上,△血應(yīng)s△力陽(yáng)連接BD,CE.

(1)如圖(1),4D,￡三點(diǎn)在同一條直線上.

"港AD=2,BC3,求加?的長(zhǎng)；

證：出=46?CD.

⑵如圖(2),若N陰060°,〃，也A'分別是AC,BD,您的中點(diǎn),求——的值.

圖⑴圖⑵

⑴①；△ADES^ABC,

.：/ACB=/AED.

又:NBDC=NADE,

.：△/龐s△幽.：△妣、

設(shè)AB=AC=x,則CD=AC-AD=x」2,

.:工、二產(chǎn)1an(負(fù)值己舍去),

-2.3

."加1-VTU.

②i正明：：?△初8"△｛陽(yáng)

.：2DAE2BAC,-----------.

:?AB=AC,

.：AD=A￡.?.△ABg/XACE,

；.CE=BD,2ABD=』ECD.

又：2ADB=/CDE,

.,.△ABM4ECD,；.———,

.,.CS=AB'CD.

(2)如圖,連接AN.

"AB=AC,N胡C=60°,

.：△4笈是等邊三角形，

?：AC=BC.

丁點(diǎn)。是”的中點(diǎn)，

.?.AC=2AD,BDLAC,

"ADB書Q".

由（1）知，AJZ?^AJ6X；

"ABM=NACN,BD=CE.

：加N分別是BD,四的中點(diǎn),

；邱如以C.\

；.BM=CN.

乂".'AB=AC,NABM=NAC\；

△力身陷［G；?".聆4A；/BAM=/CAN,

,△4郵是等邊三角形，

/.MN=AM.

設(shè)ADa,fl!|AC=ABBC2“，(tMg,

???以印1)4,

.：4g/2當(dāng)a,MN當(dāng)a、

,—J7

4'

17.［2021遼寧大連］如圖，已知AB=BD,AE=EF,AABD=AAEF.

(1)找出與/跋相等的角并證明；

⑵求證：/毋加N4S;

⑥)AF=kDF,NEDF+NMDF=\8Q°,求一的值.

(1)NBAE=NDBF.

證明：?.NDBF+NABFNABD,ZABD=NAEF,

/.NDBF+NABF=NAEF.

又；/AEF=NBAE+/ABF.

"BAE=NDBF.

⑵證明：如圖（1）,連接/。交跖于點(diǎn)G.

圖⑴

；AB=BD,AE=EF,

.：4BAD=4BDA,

又?../ABD=/AEF,

??.△ABMAAEF,

???/BDG=/AFB.

又：,/BGD=4AGF、

二△〃6Z^△力防

又：/AGB=/FGD,

??.△AGBS^FGD,???/BAD=/BFD.

又：/BAD=/BDG=/AFB、

???4BFD:/AFB.

⑶如圖(2),作點(diǎn)〃關(guān)于直線分'的對(duì)稱點(diǎn)D',則點(diǎn)〃'在力。上,且D'1；二DF.

圖⑵

連接MD',DD\過(guò)點(diǎn)￡作陰〃M'交〃'于點(diǎn)H,

則用7垂直平分DD',4EHF=/MD'RD'J仁DM.

又二.MF=MF,

.：△〃'.，榜△。明

?：/EHF=/MD'F=/MDF.

又???/EDF5/MDFA彼°,/EHA+NEHF工800,

???/EDF=/EHA.

乂7/EFD=/AFB=/EAH、EF=AEy

,：△￡應(yīng)匕△￡：［〃

.\DF=AH.

：-----------------,D'F=DF,

.：——-------_-----1.

VAF=kDFy.：—二k,

?*----=k~\.

18.[2020四川成都]在矩形4及⑦的⑦邊上取一點(diǎn)￡將△旌?沿班?翻折，使點(diǎn)C恰好落在4〃邊上點(diǎn)F處.

(1)如圖(1),若BCCBA,求/頌的度數(shù)；

⑵如圖(2),當(dāng)4戶5,且AF-FD=10時(shí),求比的長(zhǎng)；

⑶如圖(3),延長(zhǎng)硒與N49廠的平分線交于點(diǎn)M,9交A9于點(diǎn)N,當(dāng)八日切論叨時(shí),求——的值.

解：(D由折疊的性質(zhì)得BC=BF、4EBF=2EBC.

；BCCBA,.：BF=BCWBA,

.：sinN?W—卷

.：N4沖，0°.

了四邊形4次力是矩形，〃比；

"OBF=2AFBM3Q：

.：N碗冬斯=15

(2)由題意可知話=NC=90°.

:ZAFB+ND限里)°=/DEF+2DFE,

，NAFB=2DEF.

又；NBAF=NFDE畛Q°,

.,.△ABF-ADFE,

.：—--,.：AB?DE=AF>DF,即5。廬］0,

；.DEA；.EF=CE與aa.

在Rt△〃匹尸中，D&7-2^/32-22-V5,

嗎之書、

V5

.\BC=AD=AF+DF=Q-^.

⑶如圖,過(guò)點(diǎn)”作柘J_始于點(diǎn)G.

?：2AN+FD、

???哈3嚴(yán)颯.

：?BM平分乙ABF,4BAN二4BGN^O°,

???AN=GN.

???/BAF=/NGFW°,

4AFB=4GFN,

???△ABFs^GNF、

.：—二—§即AB=2NG=2AN.

設(shè)4V二a則/廬2a設(shè)BOBFCb、則NF=b,

??.AF=a+b.

在RlZV仍產(chǎn)中，由力4切尸=8吃得4-，（4"產(chǎn)-4片

整理，得5a42HH3Z/R,

解得a穹力或劉二-b（舍去），

,—?_J

25

19.[2021合肥包河區(qū)三模]在正方形ABCD中,點(diǎn)￡是對(duì)角線力C上一點(diǎn),連接班'并延長(zhǎng)交?于點(diǎn)、鼠過(guò)點(diǎn)￡作

EF//BC,交切于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)廣作FGLBM,垂足為點(diǎn)H,交4〃于點(diǎn)G,連接EG,BF,CH.

⑴如圖(1),若點(diǎn)E為然的中點(diǎn),有EF=kHF,則k=_j2_.

⑵如圖(2),若EF±yF,求——的值；

(3)求證:血協(xié)：

圖⑴圖⑵

⑴施

⑵如圖，延長(zhǎng)4交力4于點(diǎn)此

易得四邊形ANFD,BM；(:為矩形,

，BN=CF.

丁在Rt△仔r中，ZECF450,

???EF=CK

，BN=EF.

???/BNE=/FHEW°,4NEB二NHEF,

；./NBE=/HFE、

，:cos/NBE=cosNHFEy

：?/HEF+/HFE馮Q°,NGFD+/HFE卻｝°,

???4HEF=/GFD.

丁NBEFA8?！鉟HERZOT/-1800-4GFD、

"BEF:/CFH、

???XHFCsRFEB、

4

⑶證明：由⑵可知，ZNEB二4HEF二4GFD,△力加為等腰直角三角形，

???AN;NE.

在矩形4Ai硬中，4g第

??,NE=DF.

在△八胡和△加石中，

(N=Z=90°,

lz=Z,

?,?△田噲,心

，DG=BN=CF=EF,

又'."EF//DG,Z/>=90°,

.:四邊形"3%為矩形,

.\GELEF.

20.[2021湖北宜昌]如圖,在矩形ABCD中,￡是邊A?上一點(diǎn),BE=BC,EF1CD,垂足為F.將四邊形CBEF繞點(diǎn)、C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)＜?(0-)，得到四邊形口?'￡竽'.8'夕所在的直線分別交直線比1于點(diǎn)G,交直線4〃于點(diǎn)月交

⑦于點(diǎn)K.￡'/，'所在的直線分別交直線僅7于點(diǎn)H,交直線4〃于點(diǎn)Q,連接6/'交⑦于點(diǎn)0.

(1)如圖(1),求證：四邊形班凡?是正方形.

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)0和點(diǎn)〃重合時(shí).

觥證:*如

葬OKA,Cg,求線段"的長(zhǎng).

⑶如圖(3),若BM〃F'B'交⑦于點(diǎn)M,tanNG],求一―的值.

2A,

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)證明：「四邊形4?(力是矩形,

；.NB=NBCD馮0°.

；EFLCD,二/EFC的,

.:四邊形的T是矩形.

乂;EB=BC,

.：矩形以7?。是正方形.

(2)①I正明：：2必"http://=//〃=90",

"KGC+NH的/CDF'+NH的，

"KGC=/CDF\

又?:B，C=CF，,4GB'C=-0°,

.?.△CGB04CDF',

；*CG=CD.

②設(shè)正方形尸'的邊長(zhǎng)為a.

；B'E'"CF’,.?.△B'KO^CO,

:?在RtZXb'AT中，B'K+B'C=C七

.：(1)：有苔

,6V5

一〃—.

5

VKE*//CF\.\/\DKEf^^DCF\

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