福建省漳州市2021屆高三數(shù)學畢業(yè)班適應性測試試題一

福建省漳州市2021屆高三數(shù)學畢業(yè)班適應性測試試題（一）（考試時間：120分鐘；滿分：150分）本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分。第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題。第Ⅰ卷（選擇題60分）一．單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知集合，，下列結論成立的是A． B．C．D．2．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊上一點繞原點順時針旋轉到達點的位置，則A． B． C．D．4．已知為拋物線的焦點，為拋物線上任意一點，點，則的最小值為A． B．C．D．5．原始的蚊香出現(xiàn)在宋代．根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲．”如圖，為某校數(shù)學興趣小組用數(shù)學軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段，做一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，以此類推，當?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最大值為A．B．C．D．6．已知中，，，點是的重心，則A．B．C．D．7．正實數(shù)，，滿足，，，則實數(shù)，，之間的大小關系為A．B．C．D．8．正四面體的體積為，為其中心，正四面體與正四面體關于點對稱，則這兩個正四面體公共部分的體積為A． B． C．D．二．多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．）9．小王于2016年底貸款購置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式，且截止2020年底，他沒有再購買第二套房子.下圖是2017年和2020年小王的家庭收入用于各項支出的比例分配圖：2017年各項支出2020年各項支出根據(jù)以上信息，判斷下列結論中不正確的是A．小王一家2020年用于飲食的支出費用跟2017年相同B．小王一家2020年用于其他方面的支出費用是2017年的3倍C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D．小王一家2020年用于房貸的支出費用比2017年減少了10．已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則下列說法正確的是A． B．C．若，則 D．若，則11．在中，，，分別是角，，的對邊，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，滿足，的面積，則A．B．C．D．12．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．是周期為的奇函數(shù) B．在上為增函數(shù)C．在內(nèi)有21個極值點 D．在上恒成立的充要條件是第Ⅱ卷（非選擇題90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．的展開式中，的系數(shù)為_______．14．定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為_______．15．三棱柱中，，，是等腰直角三角形，，，則異面直線與所成角的余弦值為_______．16．已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，以坐標原點為圓心，為半徑的圓交的一條漸近線于兩點，且線段被的另一條漸近線平分，則的離心率為_______；若的焦距為，為上一點，且，直線交于另一點，則_______．（本題第一空2分，第二空3分）四．解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（本小題滿分10分）在中，，，分別是角，，的對邊，并且.若，，求的面積；求的最大值.18．（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，且，，依次構成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）請從①②③這三個條件選擇一個，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.19．（本小題滿分12分）如圖，圓柱的軸截面是正方形，、分別是上、下底面的圓心，是弧的中點，、分別是與中點.（1）求證：//平面；（2）求銳二面角的余弦值.20．（本小題滿分12分）《中國制造2025》是經(jīng)國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領.制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設制造強國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標準的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率；參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，（3）假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（，）（1）當，討論在上的零點個數(shù)；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（本小題滿分12分）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．在平面直角坐標系中，橢圓：（）的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形．過點且斜率不為的直線與橢圓交于不同的兩點，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為，，直線與直線交于點，試證明，，三點共線；（3）求面積的最大值.

學校:準考證號:姓名:（在此卷上答題無效）工作秘密★啟用前漳州市2021屆高三畢業(yè)班適應性測試（一）數(shù)學參考答案（考試時間：120分鐘；滿分：150分）本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分。第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題。第Ⅰ卷（選擇題60分）一．單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．C2．D3．D4．A5．B6．C7．A8．C【解析】1．集合，，不滿足，則A錯；，則B錯；，則C正確；，則D錯.故選C.2．則，復數(shù)在復平面上對應的點為，故復數(shù)在復平面上對應的點位于第四象限，故選D.3．依題意可知在角的終邊上，所以，故選D．4．點是拋物線內(nèi)的一點，設點在拋物線準線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知，要求的最小值，即求的最小值.當，，三點共線時，取到最小值.故選A.由題意得，恰好有6段圓弧或有段圓弧與直線相交時，才恰有個交點，每段圓弧的圓心角都為，且從第1段圓弧到第段圓弧的半徑長構成等差數(shù)列：，，，當?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最大值為．故選B.6．由題意，以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立坐標系，由于，，則，，故又點是的重心，則，，，故選C7．，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標在同一坐標系中畫出圖象，可得.故選A.8．如圖，點，，，，，分別是邊，，，，，的中點，這兩個正四面體公共部分為多面體．三棱錐是正四面體，其棱長為正四面體棱長的一半，則這兩個正四面體公共部分的體積為.故選C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）9．ACD10．BCD11．ABD12．BD【解析】9．由于小王選擇的是每月還款數(shù)額相同的還貸方式，故可知2020年用于房貸方面的支出費用跟2017年相同，D錯；設一年房貸支出費用為，則可知2017年小王的家庭收入為，2020年小王的家庭收入為，，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，C錯；2017、2020年用于飲食的支出費用分別為，A錯；2017、2020年用于其他方面的支出費用分別是，B對．故選ACD．10．由已知，得.若，則，不滿足，故A錯；由，故B正確；當時，且，則，，所以，故C正確；當時，且，則，，所以，所以，則，故D正確.故選BCD.11．，A正確；已知所以即，D正確；若為銳角三角形，所以，若為直角三角形或鈍角三角形時可類似證明，B正確；，所以，C錯．故選ABD.12．因為的定義域為，，所以是奇函數(shù)，但是，所以不是周期為的函數(shù)，故A錯誤；當時，，，單調(diào)遞增，當時，，，單調(diào)遞增，且在連續(xù)，故在單調(diào)遞增，故B正確；當時，，，令得，，當時，，令得，,因此，在內(nèi)有20個極值點，故C錯誤；當時，，設，所以，令，，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞增.當趨近于時，趨近于，所以，故D正確.故選BD.三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13． 14．15． 16．，【解析】13．展開式的通項為令，則，所以的展開式中，的系數(shù)為故答案為.14．由已知，當時，，不等式等價于又定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以或，解得或則不等式的解集為故答案為.15．因為，，所以，又因為是等腰直角三角形，，，所以，因為，又，所以，所以．又，所以根據(jù)題意可知異面直線與所成角為，根據(jù)余弦定理得，故答案為.16．如圖所示建立平面直角坐標系，設的中點為，則由雙曲線的對稱性知，，所以，所以，可得，，；的焦距為，所以，.設，則，又由，得，所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即．故答案為，.四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．解：（1）因為，，所以，因為，所以， 2分又因為，所以． 3分所以的面積． 5分（2）由（1）可得，所以 8分因為，所以， 9分所以當時，有最大值1． 10分18．解：（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，，，依次構成等差數(shù)列，所以，則， 2分因為，所以，解得 4分由，即，所以，解得 5分所以 6分（2）選① 7分 9分 12分選② 7分（*） 9分可得 11分所以 12分選③ 9分 12分19．解：（1）取的中點為，連接，則////，且 2分所以四邊形為平行四邊形，所以//，又面，面所以//面. 4分（2）面，則，，是圓柱底面的直徑，是弧的中點，所以，為中點，則以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖． 5分設，則，，， 6分，設平面的一個法向量為，則，，取，則，，則 8分，設平面的一個法向量為，則，，解得，取，則，則 10分所以. 11分所以銳二面角的余弦值為. 12分20．解：（1） 2分 3分（2）由題意樣本方差，故，所以， 4分由題意，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.所以//面. 6分（3）所有可能取值為，，，. 7分 9分隨機變量的分布列為0123 11分 12分21．解：（1），，，令，得當，，在單調(diào)遞減當，，在單調(diào)遞增所以是的極小值點同時也是最小值點，即 2分當，即時，在上沒有零點；當，即時，在上只有1個零點； 3分因為，所以只有一個零點，又因為，取，，得當，，在單調(diào)遞增當，，在單調(diào)遞減，所以對，，所以，即所以，所以內(nèi)只有一個零點，所以在上有兩個零點. 5分綜上所述，當時，在上有兩個零點；當時，函數(shù)在上沒有零點；當時，函數(shù)在上有一個零點. 6分方法一：恒成立，即 7分所以構造，所以，在上單調(diào)遞增只需，即恒成立 8分令， 9分當時，，所以在單調(diào)遞減；當時，，所以在單調(diào)遞增，所以，即 11分又，所以. 12分方法二：，有，則當時， 7分令，所以在單調(diào)遞減， 8分注意到，所以.（必要性） 9分下面證明（）令，當，，所以在上單調(diào)遞增當，，所以在上單調(diào)遞減所以，