第6章 分子對(duì)稱性與群論基礎(chǔ)課件

第6章分子對(duì)稱性與群論基礎(chǔ)

6.1矩陣6.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素6.3對(duì)稱操作的矩陣表示6.4群的定義與性質(zhì)6.5分子點(diǎn)群6.6群表示理論6.7群論應(yīng)用簡(jiǎn)介2023/12/296.1矩陣1矩陣的定義矩陣：由m×n個(gè)數(shù)按一定次序排列成m行n列的表：

稱為第i行第j列的矩陣元當(dāng)m=n時(shí),稱為n階方陣行矩陣:僅由一行元素構(gòu)成的矩陣列矩陣:僅由一行元素構(gòu)成的矩陣2023/12/296.1矩陣2矩陣的運(yùn)算規(guī)則兩個(gè)矩陣相等:若矩陣A=B,則要求它們的所有矩陣元相等,即:

Aij=Biji=1,2,3,…;j=1,2,3,…(2)矩陣的加(減):若兩矩陣A、B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，則它們可相加（減）而乘另一個(gè)矩陣C，規(guī)則：

Cij=Aij±Biji=1,2,3,…;j=1,2,3,…矩陣的加(減)滿足交換律、結(jié)合律：

A±B=B±A；A±B±C=(A±B)±C

2023/12/296.1矩陣(3)數(shù)與矩陣相乘

若kA=C， 則：Cij=kAij

例如：（4）矩陣和矩陣的乘法

n×mm×kn×k2023/12/296.1矩陣其中:[注意]只有前一矩陣的列數(shù)與后一矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能相乘。

2023/12/296.1矩陣矩陣的乘法一般不滿足交換律，但滿足結(jié)合律。即：AB≠BA，ABC=(AB)C=A(BC)(5)轉(zhuǎn)置矩陣若A=[Aij],AT=[Aji]

共軛轉(zhuǎn)置矩陣若A=[Aij],AH=[A*ji]

(6)

零矩陣:全部的矩陣元為0的矩陣

單位矩陣:對(duì)角元素均為1,其余元素均為0的矩陣

2023/12/296.1矩陣(7)逆矩陣若一個(gè)矩陣左乘矩陣A及右乘矩陣A均得到單位矩陣E,則稱這個(gè)矩陣為A的逆矩陣,用A-1表示.即

A-1A=A

A-1=E(8)相似矩陣若矩陣A,B和C之間存在關(guān)系B=CA

C-1

則稱矩陣B與矩陣A相似.通過這樣的關(guān)系把矩陣A變?yōu)榫仃嘊的變換稱為相似變換.(9)矩陣的跡一個(gè)矩陣所有對(duì)角元素之和稱為這個(gè)矩陣的跡,用tr表示.2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素1.幾何意義分子的幾何構(gòu)型可用對(duì)稱圖形來表示。能使一個(gè)圖形復(fù)原的操作稱為對(duì)稱操作，全部對(duì)稱操作的集合構(gòu)成一個(gè)“群”。不改變圖形中任何兩點(diǎn)的距離而能使圖形復(fù)原.對(duì)稱元素對(duì)稱操作的實(shí)現(xiàn)必須借助于一定的幾何實(shí)體，如三重軸、映面等，稱為對(duì)稱元素。對(duì)稱元素與對(duì)稱操作總是互相依存，但并非一一對(duì)應(yīng)。對(duì)稱元素:旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱操作:旋轉(zhuǎn)2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素[實(shí)例]氨分子的幾何構(gòu)型與對(duì)稱性分子呈正三角錐形，N原子位于錐頂。對(duì)稱特點(diǎn)：1個(gè)三重對(duì)稱軸通過錐頂且垂直于底面3個(gè)對(duì)稱面(映面)分別通過三重軸及1個(gè)N-H鍵共有6個(gè)對(duì)稱操作：繞三重軸旋轉(zhuǎn)120°及240°；通過3個(gè)映面的反映；恒等操作在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)，分子中至少有1點(diǎn)是不動(dòng)的，同時(shí)這種對(duì)稱操作不改變分子中任意兩點(diǎn)之間的距離2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素NH3分子的對(duì)稱操作2對(duì)稱操作的分類

統(tǒng)一分類并用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)表示之，其中的映面、象轉(zhuǎn)及反演操作能把右手變?yōu)樽笫?，稱為“非真的”或虛操作。2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素

對(duì)稱元素對(duì)稱操作符號(hào)意義I恒等操作n重軸Cn旋轉(zhuǎn)角度2π/n，n最高的稱為主軸。若有垂直主軸的二重軸，對(duì)應(yīng)的操作表示為C’2。映面σv

代表包含主軸的平面反映σd

代表垂直主軸的平面反映σh

代表包含主軸且平分一對(duì)垂直于主軸的二重軸之間夾角（或兩個(gè)σv之間的夾角）的平面反映象轉(zhuǎn)軸Sn旋轉(zhuǎn)2π/n，繼之對(duì)垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面進(jìn)行反映對(duì)稱中心i相對(duì)于對(duì)稱中心的反演2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素（1）旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作分子中若存在一條軸線，繞此軸旋轉(zhuǎn)一定角度能使分子復(fù)原，就稱此軸為旋轉(zhuǎn)軸,符號(hào)為Cn

.旋轉(zhuǎn)可以實(shí)際進(jìn)行，為真操作；相應(yīng)地，旋轉(zhuǎn)軸也稱為真軸.H2O2中的C2(旋轉(zhuǎn)軸上的橢圓形為C2的圖形符號(hào)。類似地，正三角形、正方形、正六邊形分別是C3、C4和C6的圖形符號(hào)）2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素2）鏡面與反映操作

分子中若存在一個(gè)平面，將分子兩半部互相反映而能使分子復(fù)原，則該平面就是鏡面σ，這種操作就是反映.

2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素試找出分子中的鏡面2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素分子中若存在一點(diǎn),將每個(gè)原子通過這一點(diǎn)引連線并延長(zhǎng)到反方向等距離處而使分子復(fù)原,這一點(diǎn)就是對(duì)稱中心i,這種操作就是反演.（3)對(duì)稱中心與反演操作2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素旋轉(zhuǎn)反映或旋轉(zhuǎn)反演都是復(fù)合操作，相應(yīng)的對(duì)稱元素分別稱為映軸Sn和反軸In.旋轉(zhuǎn)反映(或旋轉(zhuǎn)反演)的兩步操作順序可以反過來.這兩種復(fù)合操作都包含虛操作.相應(yīng)地,Sn和In都是虛軸.對(duì)于Sn，若n等于奇數(shù)，則Cn和與之垂直的σ都獨(dú)立存在；若n等于偶數(shù)，則有Cn/2與Sn共軸，但Cn和與之垂直的σ并不一定獨(dú)立存在.試觀察以下分子模型并比較:

(4)映軸與旋轉(zhuǎn)反映操作反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素(1)重疊型二茂鐵具有S5，所以,C5和與之垂直的σ也都獨(dú)立存在(2)甲烷具有S4，所以,只有C2與S4共軸，但C4和與之垂直的σ并不獨(dú)立存在.2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素

甲烷中的映軸S4與旋轉(zhuǎn)反映操作

注意:C4和與之垂直的σ都不獨(dú)立存在2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素環(huán)辛四烯衍生物中的S4分子中心是S4的圖形符號(hào)2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素旋轉(zhuǎn)是真操作,其它對(duì)稱操作為虛操作.例如,先作二重旋轉(zhuǎn)，再對(duì)垂直于該軸的鏡面作反映，等于對(duì)軸與鏡面的交點(diǎn)作反演.兩個(gè)或多個(gè)對(duì)稱操作的結(jié)果，等效于某個(gè)對(duì)稱操作.2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素3.對(duì)稱操作的“乘法”

NH3分子的全部對(duì)稱操作可記為：連續(xù)的對(duì)稱操作的總結(jié)果等價(jià)于另一單個(gè)操作的效果，適合于“乘法”表示之，例如：對(duì)稱操作的連續(xù)使用一般與次序有關(guān)，如即對(duì)應(yīng)的“乘法”是不可交換的。重排定理：在乘法表中的每一行或每一列元素出現(xiàn)1次且只能出現(xiàn)1次。2023/12/296.2對(duì)稱操作與對(duì)稱元素II

IIIIIINH3（C3V）對(duì)稱操作乘法表

2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示1.矩陣表示任何一個(gè)對(duì)稱操作都可以用矩陣來表示。選定一個(gè)函數(shù)向量，它以一組函數(shù)為分量，經(jīng)對(duì)稱操作作用后，由各分量的變換性質(zhì)來確定其對(duì)應(yīng)矩陣的形式考慮：直角坐標(biāo)系空間向量變換，對(duì)稱操作為A（x，y，z）-------------------（x’，y’，z’）兩組坐標(biāo)存在如下的變換關(guān)系：矩陣形式為：2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示現(xiàn)對(duì)氨分子的對(duì)稱操作做說明。(1)恒等操作對(duì)向量不產(chǎn)生任何影響,對(duì)應(yīng)于單位矩陣(2)旋轉(zhuǎn)操作

n旋轉(zhuǎn)軸可衍生出n-1個(gè)旋轉(zhuǎn)操作,記為存在關(guān)系:滿足可交換性與循環(huán)(周期)性2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示將z軸選定為旋轉(zhuǎn)軸,向量的z分量不受影響.考慮(x,y)變化繞主軸旋轉(zhuǎn)操作示意圖矩陣的一般表示：向量(x,y)的極角α向量(x’,y’)的極角2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示對(duì)于氨分子，n=3，旋轉(zhuǎn)角為120°(3)平面反映共有3種反映操作,即當(dāng)主軸為z軸時(shí),σv不改變向量的z分量.設(shè)反映面的極角為θ,對(duì)于二維向量作用后各相關(guān)的極角如圖所示.

σv對(duì)向量的作用2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示變換關(guān)系:相應(yīng)的矩陣表示:應(yīng)用于氨分子,設(shè)σv與yz平面重合,則極角θa=π/2,的極角分別30°為和150°,相應(yīng)的矩陣表示依次為:2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示垂直于主軸σh的反映面操作,使z改變符號(hào),,而x,y分量不變對(duì)于σd的反映面操作,因其也包含主軸,矩陣表示的一般形式同于,而具體形式取決于它的極角.2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示

(4)象轉(zhuǎn)操作系符合操作,由繞主軸的旋轉(zhuǎn)和σh組合而成,即:相應(yīng)的矩陣表示為:(5)反演使各分量都改變符號(hào),即2023/12/296.3對(duì)稱操作的矩陣表示（6）C2’

其旋轉(zhuǎn)垂直于主軸，設(shè)旋轉(zhuǎn)軸的極角為θ，則：該操作也可看成極角為θ的σv映面操作與對(duì)稱操作σh的乘積：

C2’=σhσv（θ）除了上面的6類對(duì)稱操作外，還有其它一些操作，如旋轉(zhuǎn)軸不為主軸的C3旋轉(zhuǎn)操作，不包含主軸的σ映面操作等。相應(yīng)的表示矩陣要復(fù)雜些，但都可以表示成幾個(gè)簡(jiǎn)單操作的乘積。2023/12/296.4群的定義與性質(zhì)1.群的定義由有限個(gè)或無限個(gè)元素組成的一個(gè)集合G，若滿足下列4個(gè)性質(zhì)，則稱G為群。（1）封閉性群中任意兩個(gè)元素的乘積必為群中的一個(gè)元素，即：若A∈G，B∈G，則AB=C∈G（2）結(jié)合律：三個(gè)群元素相乘有

A（BC）=（AB）C（3）恒等元素群中必有一個(gè)恒等元素，它與群中任一元素相乘，使該元素不變。即IA=AI=A（4）逆元素每個(gè)群必有一個(gè)逆元素，它也是群元素，即

A∈G，A-1∈G 且AA-1=A-1A=12023/12/296.4群的定義與性質(zhì)[舉例]（1）由0和所有的正、負(fù)整數(shù)的集合，對(duì)于數(shù)的加法，構(gòu)成一個(gè)群。其中0為恒等元，正數(shù)n的逆元是-n。（2）所有大于0的實(shí)數(shù)，對(duì)于普通的乘法，構(gòu)成一貫群。其中恒等元是1，逆元是其倒數(shù)。（3）NH3分子的所有對(duì)稱操作的集合，構(gòu)成一個(gè)群，即C3v群，其乘法表前已述及。（4）下列四個(gè)矩陣構(gòu)成一個(gè)群。其中第一個(gè)矩陣為恒等元，每個(gè)矩陣的逆元就是它本身。2023/12/296.4群的定義與性質(zhì)[有關(guān)名字與概念]群的階：指一個(gè)群中元素的個(gè)數(shù)，用h表示。有限群與無限群：指階為有限和無限的群。Abel群：指群中任意兩元素的乘法可以交換的群，即：

AB=

BA，且A，B∈G子群：指群中的一部分元素的集合也滿足群的四個(gè)條件，從而構(gòu)成一個(gè)群，稱之為前一個(gè)群的子群。[例]NH3分子，屬C3v群，由六個(gè)元素構(gòu)成：包含一個(gè)3階子群：3個(gè)2階子群：2023/12/296.4群的定義與性質(zhì)恒等元素I總是單獨(dú)地構(gòu)成一個(gè)1階子群；群的階數(shù)總能被其子群的階數(shù)整除；群G本身也可以認(rèn)為是G的子群。

群元素的乘積可排列成一個(gè)方格表，稱為群的乘法表.每一行都是另一行的重排，每一列也是如此，此即重排定理.2.群的乘法表乘法表一例：G6

EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED2023/12/296.4群的定義與性質(zhì)3共軛類[共軛元素]若存在群元素R(R≠I)使群元素A與B滿足關(guān)系:

R-1AR=B

或

A=RBR-1

則稱Ｂ是Ａ借助于Ｘ所得到的相似變換，Ａ與Ｂ共軛.并稱A與B

屬于同一共軛類,簡(jiǎn)稱共軛元素.[共軛類]在一個(gè)群中,相互共軛的元素的一個(gè)完整集合稱為一個(gè)共軛類,或簡(jiǎn)稱類.2023/12/296.4群的定義與性質(zhì)[劃分方法]對(duì)于群中一個(gè)元素A,做R-1AR,當(dāng)遍及群中所有元素時(shí),即可得出與A同為一類的所有元素.例如,根據(jù)NH3的C3v群之乘法表,可以得到。因此,C3v群中的6個(gè)元素可劃分成三類:2023/12/296.5分子點(diǎn)群對(duì)于分子而言,它的各個(gè)對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群,由于這些對(duì)稱操作至少保持分子的一點(diǎn)不動(dòng),因此稱為點(diǎn)群.1.點(diǎn)群分類下面的分類采用Schonflies符號(hào).序號(hào)點(diǎn)群對(duì)稱特點(diǎn)群元素階1Cn1個(gè)n重對(duì)稱軸n

例2Cnh1個(gè)n重對(duì)稱軸及1個(gè)垂直此軸的對(duì)稱面σh

2n例2023/12/296.5分子點(diǎn)群序號(hào)點(diǎn)群對(duì)稱特點(diǎn)群元素階3Cnv1個(gè)n重對(duì)稱軸及1個(gè)通過此軸的對(duì)稱面σv

2n例4Dn1個(gè)n重對(duì)稱軸(主軸)n個(gè)垂直此軸的二重軸2n

例5Dnh在Dn的基礎(chǔ)上加1個(gè)垂直Cn軸的對(duì)稱面σh4n例2023/12/296.5分子點(diǎn)群序號(hào)點(diǎn)群對(duì)稱特點(diǎn)群元素階6Dnd在Dn的基礎(chǔ)上加1個(gè)垂直Cn軸且垂直于兩個(gè)C2軸夾角的鏡面σd4n例7S2n1個(gè)偶數(shù)重?cái)?shù)的象轉(zhuǎn)軸2n例

含有多高次軸的對(duì)稱元素組合所得的對(duì)稱元素系與正多面體的對(duì)稱性相對(duì)應(yīng).群有T群,O群及I群等.2023/12/296.5分子點(diǎn)群序號(hào)點(diǎn)群對(duì)稱特點(diǎn)群元素階8T4個(gè)C3軸,3個(gè)C2軸

12例Th在T群的基礎(chǔ)上加入垂直于C2的σh24例Td在T群的基礎(chǔ)上加入通過于C2軸且平分兩個(gè)C2的σd,24例2023/12/296.5分子點(diǎn)群序號(hào)點(diǎn)群對(duì)稱特點(diǎn)群元素階9O3個(gè)相互垂直的C4,4個(gè)C3軸24例Oh在O群的基礎(chǔ)上加入垂直于C4的σh48例10I6個(gè)C5，60例Ih6個(gè)C5120例2023/12/296.5分子點(diǎn)群

對(duì)于上面的分子點(diǎn)群分類，可以歸為四類:(1)單軸群:包括Cn、Cnh、Cnv(共同特點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸只有一條）(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd(共同特點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸除了主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸.)(3)立方群：包括Td、Th、Oh、Ih(共同特點(diǎn)是有多條高次(大于二次)旋轉(zhuǎn)軸相交)(4)非真旋軸群：包括Cs、Ci、S4等.(共同特點(diǎn)是只有虛軸(不計(jì)包含在Sn中的Cn/2.此外,i=S2,σ=S1).2023/12/296.5分子點(diǎn)群2分子點(diǎn)群的判別分子線形分子:有多條高階軸分子（正四面體、正八面體…)只有鏡面或?qū)ΨQ中心,或無對(duì)稱性的分子:只有S2n(n為正整數(shù)）分子:有n條C2副軸垂直于主軸:Cn軸(但不是S2n的簡(jiǎn)單結(jié)果)無C2副軸:2023/12/296.6群的表示1群表示的定義對(duì)稱操作作用于一個(gè)向量，衍生了相應(yīng)的矩陣表示。若這種作用遍及點(diǎn)群的每一元素，其結(jié)果是每一對(duì)稱操作對(duì)應(yīng)一矩陣，當(dāng)這些矩陣滿足群的條件時(shí)，稱它們?yōu)槿旱谋硎?，而被作用的向量稱為該表示的基。例如前面以向量(x,y,z)為基,C3v的全部對(duì)稱操作所對(duì)應(yīng)的矩陣構(gòu)成一個(gè)三維表示,滿足點(diǎn)群C3v的乘法表.2023/12/296.6群的表示

每一個(gè)群均存在一個(gè)一維恒等表示，基是標(biāo)量函數(shù)f(r),有時(shí)也可以是含主軸變量的函數(shù).如C3v:A(z)=(z),A=以繞主軸的右手螺旋函數(shù)Rz為基,實(shí)操作使Rz不變,虛操作使Rz改變符號(hào),即右手螺旋Rz的變換性質(zhì)量2023/12/296.6群的表示恒等表示的各類元素(相當(dāng)于一個(gè)一維矩陣)恒等于1;而以Rz為基的一維表示,一半為+1,另一半為-1.一個(gè)群的表示依賴于坐標(biāo)的選擇.群論中把產(chǎn)生一個(gè)表示的坐標(biāo)或函數(shù)集合稱為群的表示的基.空間坐標(biāo)、坐標(biāo)的函數(shù)及其集合都可以作為群的表示的基，在量子化學(xué)中常以原子或分子的電子波函數(shù)作群的表示的基。2.可約表示和不可約表示考察C3v群6個(gè)對(duì)稱操作所對(duì)應(yīng)的三維矩陣，它們都是對(duì)角方塊形式(各包含一個(gè)2×2和1×1的方塊),意味著同時(shí)可被約化為一組一維子矩陣和一組二維子矩陣,它們分別以z和(x,y)為基.連同Rz為基的一維表示,得C3v群的不可約表示2023/12/296.6群的表示操作表示IC3σaσbσc基A1

111111zE(x,y)A2111-1-1-1RzC3v群的不可約表示

一般地,若一個(gè)群的表示Γ中所有元素A,B,C,…的表示矩陣Γ(A),Γ(B),Γ(C),…都可以用某種數(shù)學(xué)手段(矩陣的相似變換)變換成對(duì)角方塊形式,則稱表示Γ是可約的.2023/12/296.6群的表示并說,Γ被約化(分解)成表示Γ1,Γ2,Γ3等之和:[注意]

Γ1(A),Γ1(B),Γ1(C)…的維數(shù)必須相同,Γ2(A),Γ2(B),Γ2(C)…的維數(shù)必須相同等等,但Γ1,Γ2,Γ3…的維數(shù)可以相同,也可以不同.如果一個(gè)表示不可能被分解為較低維表示之和,則稱該表示為不可約表示.2023/12/296.6群的表示3特征標(biāo)和不可約表示的性質(zhì)

在矩陣的約化過程中矩陣元的值在改變，但正方矩陣的跡，即矩陣對(duì)角元之和，在相似變換下不變。這種對(duì)稱操作的矩陣的跡，稱為特征標(biāo)，用符號(hào)χ標(biāo)記，χ(R)是矩陣中操作矩陣R的特征標(biāo)。一個(gè)點(diǎn)群的可約表示可以有很多,但不可約表示的個(gè)數(shù)及維數(shù)是一定的.下面是幾條相關(guān)定理:[定理1]群的不可約表示的數(shù)目等于群中共軛類的數(shù)目.[定理2]群的不可約表示的維數(shù)平方和等于群的階.2023/12/296.6群的表示[定理3]共軛類群元素的特征標(biāo)相同.[定理4]群的不可約表示的特征標(biāo)滿足正交歸一化條件.[定理5]群的不可約表示的基函數(shù)彼此正交.Γ,?！聿豢杉s表示,為多維表示的分量(基函數(shù))指標(biāo).k為歸一化常數(shù).含義:屬于不同不可約表示的基函數(shù)相互正交;屬于同一不同不可約表示的不同分量的基函數(shù)相互正交.2023/12/296.6群的表示特征標(biāo)表：在群論的實(shí)際應(yīng)用中，重要的不是一個(gè)表示的各個(gè)矩陣本身，而是表示中各個(gè)矩陣的特征標(biāo)。將點(diǎn)群的所有不可約表示的特征標(biāo)及相應(yīng)的基列成表，稱為特征標(biāo)表。C3v群的特征標(biāo)表C3v

E2C3

3σvA1111zx2+y2,z2A211-1RzE2-10(x,y)(Rx,Ry)(x2-y2,xy)(xz,yz)2023/12/296.6群的表示

最上一行是對(duì)稱操作，前面的數(shù)字是該對(duì)稱操作的數(shù)目，例如2C3表明有兩個(gè)C3構(gòu)成一個(gè)類，共同占據(jù)一列;最左一列的A1、A2、E是不可約表示的符號(hào)：A、B代表一維不可約表示，換言之，在分塊對(duì)角形式中，它們是一階方陣；E代表二維不可約表示；(T或F代表三維不可約表示；U或G代表四維不可約表示；W或H代表五維不可約表示，等等)2023/12/296.6群的表示可約表示的約化

前已指出，通過矩陣的相似變換可對(duì)可約表示進(jìn)行約化,并可被唯一地約化為一些不可約表示之和:

對(duì)上式兩端同乘以χ(R),對(duì)群元素R求和,并利用定理4,可得:變換過程中矩陣的特征標(biāo)不變，即：2023/12/296.6群的表示[實(shí)例]討論C3v群.

共軛類數(shù)為3,由定理1得知有3個(gè)不可約表示

由由定理2推知,3個(gè)不可約表示的維數(shù)分別為1,1,2.只有如此才能滿足:12+12+22=6

以向量(x,y,z)為基時(shí)C3v群的表示為不可約表示,特征標(biāo)為:

χ(I)=3,χ(C3)=0,χ(σ)=1,根據(jù)的特征標(biāo)表及上式可求出各不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)為:若以代表Γ此不可約表示,上述結(jié)果可寫成:Γ=A1+E再以E2為例,這是一個(gè)可約表示.從中約化出不可約表示A1的過程圖解如下(其余類推):2023/12/296.6群的表示2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道

群論有許多應(yīng)用,如鑒定分子軌道的對(duì)稱性,預(yù)見MO中可能出現(xiàn)的AO,久期方程的簡(jiǎn)化,軌道積分的判別,構(gòu)造雜化軌道,形成對(duì)稱性分子軌道等.現(xiàn)討論對(duì)稱性分子軌道.以NH3分子為例.NH3屬于C3v點(diǎn)群,坐標(biāo)選擇同前:N原子為原點(diǎn),軸為z軸,右手坐標(biāo)系,反映面σa為yz平面,三個(gè)氫原子的球坐標(biāo)角是:其中θ≈128°.三個(gè)氫原子在xy平面的投影如圖所示:2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道考慮成鍵作用,N原子的4個(gè)價(jià)原子軌道:2s,2px,2py,2pz,三個(gè)H原子的軌道(簡(jiǎn)記為a,b,c).將此7個(gè)軌函作為C3v群表示的基向量的分量,將衍生一個(gè)7維的可約表示矩陣.考慮倒只有等價(jià)原子軌道可能在對(duì)稱操作下相互變換,若7個(gè)軌函可按等價(jià)軌道排序,7維表示矩陣就自動(dòng)取對(duì)稱方塊形式,且已部分約化,結(jié)果如下表所示.氨分子的等價(jià)軌道及其特征標(biāo)

I2C33σ

群表示N2s111A12pz111A12px,2py2-10EHa,b,c301A1+E2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道N原子作為中心原子,(px,py,pz)與(x,y,z)向量性質(zhì)相同,故其群分類也相同.3個(gè)H等價(jià)軌道在C3v對(duì)稱操作下對(duì)應(yīng)的矩陣為:根據(jù)其特征標(biāo),可知三個(gè)H1s做基的群表示矩陣可被約化為A1+E.重新組合3個(gè)1s等價(jià)軌道使之成為A1與E兩類不可約表示的基,稱群原子軌道.可由同屬一個(gè)不可約表示的N原子軌道在a,b,c點(diǎn)取值來確定3個(gè)1s等價(jià)軌道在線性組合中的系數(shù).2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道A1表示:對(duì)于N,由于(s)a=(s)a=(s)c,(px)a=(py)b=(pz)c,故有:

E表示:2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道分子軌道的形成:同屬于同一類不可約表示的群原子軌道線性組合成相同表示的分子軌道.對(duì)于氨分子,由3個(gè)不可約表示的群原子軌道[s,pz,1/√3(a+b+c)]線性組合產(chǎn)生3個(gè)A1不可約表示的分子軌道;由兩對(duì)E不可約表示的群原子軌道{[px,py],[1/√2(b-c),1/√6(2a-b-c)]}通過成鍵和反鍵組合,產(chǎn)生兩對(duì)二重簡(jiǎn)并E不可約表示的分子軌道.參照節(jié)面數(shù)增加,軌道能量增加的原則.可排出各分子軌道能量高低次序,得能級(jí)圖.中性氨分子(8個(gè)價(jià)電子)電子組態(tài)為(2a1)2(1e)4(3a1)2.2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道NH3中的成鍵軌道和反鍵軌道(沿三重軸俯視)3a1是含s,pz的孤對(duì)軌道,未畫出2023/12/296.7對(duì)稱性分子軌道2023/12/296.5分子點(diǎn)群Cn

群：只有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn.C2

群

R2R2R1R12023/12/296.5分子點(diǎn)群C3群C3通過分子中心且垂直于熒光屏2023/12/296.5分子點(diǎn)群

Cnh群:

除有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn外，還有與之垂直的一個(gè)鏡面σh.C2h群:N2F2C2h群:反式二氯乙烯

C2垂直于熒光屏,

σh

在熒光屏上2023/12/296.5分子點(diǎn)群C3h群RRR

C3垂直于熒光屏

σh

在熒光屏上2023/12/296.5分子點(diǎn)群除有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn外，還有與之相包含的n個(gè)鏡面σv.

H2O中的C2和兩個(gè)σvCnv

群2023/12/296.5分子點(diǎn)群C2v群：臭氧C2v群：菲C2與兩個(gè)σv的取向參見H2O分子2023/12/296.5分子點(diǎn)群C3v

：CHCl3C3v

：NF32023/12/296.5分子點(diǎn)群C4v群

：BrF5C5v群：Ti(C5H5)C∞v群：N2O2023/12/296.5分子點(diǎn)群Dn群:除主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸(但沒有鏡面).D2群主軸C2垂直于熒光屏2023/12/296.5分子點(diǎn)群D3：這種分子比較少見，其對(duì)稱元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實(shí)例.唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過,通向Co何其相似！三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個(gè)N–N鍵中心穿過通向Co.2023/12/296.5分子點(diǎn)群

Dnh:在Dn基礎(chǔ)上，還有垂直于主軸的鏡面σh.D2h群

：N2O4D2h群：乙烯主軸垂直于熒光屏.σh在熒光屏上.2023/12/296.5分子點(diǎn)群

D3h群

：乙烷重疊型D4h群：XeF4D6h群：苯D

h群：I3-2023/12/296.5分子點(diǎn)群Dnd:在Dn基礎(chǔ)上,增加n個(gè)包含主軸且平分二次副軸夾角的鏡面σd.D2d:

丙二烯2023/12/296.5分子點(diǎn)群D2d:B2Cl42023/12/296.5分子點(diǎn)群D3d:乙烷交錯(cuò)型

D4d：?jiǎn)钨|(zhì)硫2023/12/296.5分子點(diǎn)群D5d

:交錯(cuò)型二茂鐵俯視圖2023/12/296.5分子點(diǎn)群Td

群：屬于該群的分子，對(duì)稱性與正四面體完全相同。CH4P4

（白磷）2023/12/296.5分子點(diǎn)群YX在Td群中,可找到一個(gè)四面體結(jié)構(gòu).例如白磷分子，可對(duì)照以下敘述進(jìn)行操作：從正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的正三角形中點(diǎn)有一條C3穿過,所以共有4條C3,可作出8個(gè)C3對(duì)稱操作。Z從正四面體的每?jī)蓷l相對(duì)的棱中點(diǎn)有一條S4穿過,6條棱對(duì)應(yīng)著3條S4.每個(gè)S