北京市朝陽2024屆高三5月檢測試題（三）數學試題

北京市朝陽2024屆高三5月檢測試題（三）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種2．設，，則的值為（）A． B．C． D．3．已知復數，（為虛數單位），若為純虛數，則（）A． B．2 C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．5．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．6．已知，則，不可能滿足的關系是（）A． B． C． D．7．已知復數滿足，則的共軛復數是（）A． B． C． D．8．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數為()A．60 B．80 C．90 D．1209．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．10．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內有無數條直線與平行 B．且C．且 D．內的任何直線都與平行11．己知，，，則（）A． B． C． D．12．已知函數，給出下列四個結論：①函數的值域是；②函數為奇函數；③函數在區(qū)間單調遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．14．已知雙曲線C：（）的左、右焦點為，，為雙曲線C上一點，且，若線段與雙曲線C交于另一點A，則的面積為______.15．在一次醫(yī)療救助活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有________種.(用數字作答)16．3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎．甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數，表示被清華、北大等名校錄取的學生人數）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數為61人，預測2019年高考該校考人名校的人數；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數的分布列和期望.參考公式：，參考數據：，，，18．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.19．（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機選取了200人進行調查，當不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如表數據：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數50402010若用表中數據所得頻率代替概率.（1）當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；類是其他市民.現對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？20．（12分）已知函數，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；（2）若當時，不等式恒成立，求證：.21．（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點到直線l距離的最小值；（2）設點是直線l上的動點，是定點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，求證A，Q，B共線；并在時求點P坐標.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數原理計算可得答案．【題目詳解】解：根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【題目點撥】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．2、D【解題分析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導公式求得的值，利用同角三角函數關系式求得的值，進而求得的值，最后利用正切差角公式求得結果.【題目詳解】，，，，，，，，故選：D.【題目點撥】該題考查的是有關三角函數求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，正切倍角公式，同角三角函數關系式，正切差角公式，屬于基礎題目.3、C【解題分析】

把代入，利用復數代數形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【題目詳解】∵，∴，∵為純虛數，∴，解得．故選C．【題目點撥】本題考查復數代數形式的除法運算，考查復數的基本概念，是基礎題．4、D【解題分析】解：根據幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點睛：根據幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據計算它的體積即可．5、D【解題分析】

根據函數定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點撥】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數定義域的求解，屬于基礎題.6、C【解題分析】

根據即可得出，，根據，，即可判斷出結果．【題目詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【題目點撥】本題主要考查指數式和對數式的互化，對數的運算，以及基本不等式：和不等式的應用，屬于中檔題7、B【解題分析】

根據復數的除法運算法則和共軛復數的定義直接求解即可.【題目詳解】由，得，所以．故選：B【題目點撥】本題考查了復數的除法的運算法則，考查了復數的共軛復數的定義，屬于基礎題.8、B【解題分析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數，，即，故表示直線與截距的倍，根據圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數為：.故選：.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9、A【解題分析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！绢}目詳解】函數可化為：，將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。10、B【解題分析】

根據充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】A.內有無數條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內的任何直線都與平行，故，若，則內的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【題目點撥】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的綜合應用能力.11、B【解題分析】

先將三個數通過指數，對數運算變形，再判斷.【題目詳解】因為，，所以，故選：B.【題目點撥】本題主要考查指數、對數的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.12、C【解題分析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結合正弦函數得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【題目詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數，故②錯誤；當時，，單調遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故④正確.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數的綜合運用，涉及到函數的值域、函數單調性、函數奇偶性及函數最值等內容，是一道較為綜合的問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解題分析】

由二次方程有解的條件，結合輔助角公式和正弦函數的值域可求，進而可求，然后結合余弦定理可求，代入，計算可得所求．【題目詳解】解：把看成關于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負的舍去），．故答案為．【題目點撥】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．14、【解題分析】

由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【題目詳解】由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得，所以，，所以點A坐標為，所以.【題目點撥】本題主要考查直線與雙曲線的位置關系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學生的計算能力,難度較難.15、【解題分析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數.【題目詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生，故選派的方法為：.故答案為．【題目點撥】解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．16、【解題分析】

利用排列組合公式進行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【題目詳解】解:3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有：種排法排除特等獎外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是：故答案為：【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率公式的應用,是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【解題分析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關于的線性回歸方程；（2）根據回歸直線方程計算公式，計算可得人數；（3）和被選中的人數分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計算公式，計算出的分布列，并求得數學期望.【題目詳解】（1）由題，所以線性回歸方程為（若第一問求出.）（2）當時，所以預測2019年高考該?？既朊５娜藬导s為117人（3）由題知和被選中的人數分別為2和3，進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數的所有可能取值為0，1，2，，的分布列為012【題目點撥】本小題主要考查平均數有關計算，考查回歸直線方程的計算，考查期望的計算，考查超幾何分布和數據處理能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據已知證明四邊形為矩形，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設二面角的平面角為，，即可求得答案.【題目詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標系，如圖：則：，，，，：，設平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【題目點撥】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、（1）降低（2）【解題分析】

（1）計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率，和不進行處罰時行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據分層抽樣法抽出4人依次排序，計算所求的概率值.【題目詳解】解：（1）當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率為；不進行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應的編號為，類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為，，，，，，，，，，，，共有種前兩位均為類市民排序為，，有種，所以前兩位均為類市民的概率是.【題目點撥】本題主要考查了計算古典概型的概率，屬于中檔題.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用求導數，判斷在區(qū)間上的單調性，然后再證異號，即可證明結論；（2）當時，不等式恒成立，分離參數只需時，恒成立，設（），需，根據（1）中的結論先求出，再構造函數結合導數法，證明即可.【題目詳解】（1），令，則，所以在區(qū)間上是增函數，則，所以在區(qū)間上是增函數.又因為，，所以在區(qū)間上有且僅有一個零點，且.（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，當時，；當時，恒成立，設（），所以.由（1）可知，，使，所以，當時，，當時，，由此在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以.又因為，所以，從而，所以.令，，則，所以在區(qū)間上是增函數，所以，故.【題目點撥】本題考查導數的綜