空間及其直線方程

第六節(jié)一、空間直線的一般方程空間直線及其方程第七章二、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角五、雜例1整理課件定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程2整理課件方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程3整理課件直線的點(diǎn)向式〔對(duì)稱式〕方程令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程4整理課件例1用點(diǎn)向式方程及參數(shù)方程表示直線解在直線上任取一點(diǎn)取解得點(diǎn)坐標(biāo)5整理課件因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對(duì)稱式方程參數(shù)方程解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.6整理課件定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角.〔銳角〕兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角7整理課件兩直線的位置關(guān)系：//直線直線例如，8整理課件例2.求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為9整理課件定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角10整理課件直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：//11整理課件解:取平面的法向量那么直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面12整理課件解:設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程五、雜例13整理課件例5求直線

與平面2x+y+z-6=0解所給直線的參數(shù)方程為x=2+t,y=3+t,z=4+2t,

代入平面方程中，得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.

解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直線的參數(shù)方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=1,y=2,z=2.

的交點(diǎn).14整理課件解先作一過點(diǎn)A且與已知直線垂直的平面再求直線與該平面的交點(diǎn)N,令15整理課件代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為所求直線方程為16整理課件有時(shí)用平面束的方程解題比較方便。設(shè)直線L由方程組所確定，其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.

我們建立三元一次方程：

其中

為任意常數(shù).17整理課件因?yàn)锳1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例，

所以對(duì)于任何一個(gè)

值，方程(13)的系數(shù)：

不全為零，假設(shè)一點(diǎn)在直線L上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足方程(a),因而從而方程(13)表示一個(gè)平面，也滿足方程(b)，故方程(b)表示通過直線L的平面，值，方程(b)表示通過直線L并且對(duì)于不同的的不同的平面.18整理課件反之，通過直線L的任何平面(除(a)中第二個(gè)平面外)都包含在方程(b)所表示的一族平面內(nèi).通過定直線的所有平面的全體稱為平面束，而方程(b)就作為通過直線L的平面束的方程。19整理課件例7求直線

在平面x+y+z=0上的投影直線的方程.

其中

為待定常數(shù).解過直線

的平面束的方程為

即

20整理課件由此得

代入得與所給平面垂直的平面(稱為投影平面)的方程為所以投影直線的方程為

即這平面與平面x+y+z=0垂直的條件是

即21整理課件1.空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

22整理課件直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:23整理課件平面

:L⊥

L//

夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:24整理課件作業(yè)P3354，5，7，9,1525整理課件解：相交,求此直線方程

.的方向向量為過A點(diǎn)及面的法向量為那么所求直線的方向向量方法1利用叉積.所以一直線過點(diǎn)且垂直于直線又和直線備用題26整理課件設(shè)所求