2020高考 高中數(shù)學(xué)完整講義-隨機(jī)變量及其分布列 塊二幾類典型的隨機(jī)分布3

二項(xiàng)分布

"t哪昨知識(shí)內(nèi)容

1.離散型隨機(jī)變量及其分布列

⑴離散型隨機(jī)變量

如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)

果的不同而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母

X,y,…表示.

如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量.

⑵離散型隨機(jī)變量的分布列

將離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值者與該取值對(duì)應(yīng)的概率p,(i=l,2,...,〃)列表表示:

X兀2X,…

PPlP1PiPn

我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.

2.幾類典型的隨機(jī)分布

(1)兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的分布列為

其中0<p<l,q=\-p,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布.

二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率

為80%,隨機(jī)變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則X的分布列滿足二點(diǎn)分布.

兩點(diǎn)分布又稱0-1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分

布又稱為伯努利分布.

⑵超幾何分布

一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取〃件(〃WN),

這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為

P(X=m)=":M(0WW/,/為n和M中較小的一個(gè)).

CN

我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,

M,〃的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N,M和〃，就可以根據(jù)公式求出X

取不同值時(shí)的概率尸(X=w),從而列出X的分布列.

⑶二項(xiàng)分布

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果A及入，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同

的條件下，重復(fù)地做"次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)椤ù为?dú)

立重復(fù)試驗(yàn).〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生《次的概率為

尺(/)=C：//(1一(%=0,1,2,…，〃).

2.二項(xiàng)分布

若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為q=l-p,那么在〃次獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生％次的概率是P(X=Q=C，q"",其中&=0,1,2,.于

是得到X的分布列

X01kn

Pc"7"CPZ"-1CPW"C：P%。

由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式

(<7+P)"=C；典"+C,p'q-'+…+C：p/+…C：p%>

各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃，p的二項(xiàng)分布，

記作X~B(n,p).

二項(xiàng)分布的均值與方差:

若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為”和p的二項(xiàng)分布，則

E(X)=np,D(x)=npq(夕=1一p).

(4)正態(tài)分布

1.概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來(lái)越大時(shí)，

直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變

量X,則這條曲線稱為X的概率密度曲線.

曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1,而隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)

數(shù)。，匕之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.

2.正態(tài)分布

⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起

的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微

小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似

服從正態(tài)分布.

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱正態(tài)變量.

1"一〃1

正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=——ek,xeR,其中〃，b是參

V2n-er

數(shù)，且。>0,-oo<〃<+oo.

式中的參數(shù)〃和b分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為〃、標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)

分布通常記作N(〃，CT2).

正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.

⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

⑶重要結(jié)論:

①正態(tài)變量在區(qū)間(〃-b,〃+er),(〃-2cr,M+2cr),(〃-3cr,〃+3cr)內(nèi)，取值的概率分

另U是68.3%,95.4%,99.7%.

②正態(tài)變量在(Y?，+8)內(nèi)的取值的概率為1,在區(qū)間(〃-3cr,〃+3b)之外的取值的概率

是0.3%,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=〃三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3b原

則.

⑷若J~，〃)，f{x}為其概率密度函數(shù)，則稱尸(x)=P?Wx)=f'f(t)dt為概率分布

函數(shù)，特別的，子~N(O,F),稱°(幻=匚看力力為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

CT

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.

分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.

3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是百，々，…，乙，這些

值對(duì)應(yīng)的概率是Pi,p2,....p??則E(x)=X|P|+x2P2+…+x,,P“，叫做這個(gè)離散型隨

機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.

2.離散型隨機(jī)變量的方差

一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是再，々，…，％,這些值對(duì)應(yīng)的

概率是Pi，P2，…，pn,則￡>(X)=(X|-￡(X)1P1+仇2-￡僅)獷2+…+K,—E第加“叫

做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.

離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散

程度).

Q(X)的算術(shù)平方根而與叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨

機(jī)變量波動(dòng)大小的量.

3.X為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則E(aX+8)=aE(X)+h,O(aX+b)=a2￡>(x)；

4.典型分布的期望與方差：

⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p,在〃次二

點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為少.

⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃和p的二項(xiàng)分布，則E(X)=〃0,

D(x)=npq(q=l-p).

⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,〃的超幾何分布，

則E(XT，

4.事件的獨(dú)立性

如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即P(B|4)=尸(B),

這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件A,8相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

如果事件A,A,相互獨(dú)立，那么這〃個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)

生的概率的積，即p(an4rl…nA,)=p(A)x尸(&)x…XP(A,),并且上式中任意多個(gè)事

件A-換成其對(duì)立事件后等式仍成立.

5.條件概率

對(duì)于任何兩個(gè)事件A和8,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率叫做條件概

率，用符號(hào)“P（8|A）”來(lái)表示.把由事件A與8的交（或積），記做O=AnB（或。=AB）.

mte典例分析

二項(xiàng)分布的概率計(jì)算

【例1】已知隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布，g~3（4,g）,則P?=2）等于-

【例2】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)

束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為白，則甲以3:1的比分獲勝的概率為（）

【例3】某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是:，他投球I。次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的

概率.（用數(shù)值表示）

【例4】某人參加一次考試，4道題中解對(duì)3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4,

則他能及格的概率為（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)）

【例5】接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80,現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有

3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.（精確到0.01）

【例6】從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件,

求恰好抽到兩次次品的概率（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）.

【例7】一臺(tái)X型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為0.8000,有四臺(tái)這種型

號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多有2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概

率是（)

A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728

【例8】設(shè)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若已知事件A至少發(fā)生一

次的概率等于竺，求事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率.

【例9】我艦用魚雷打擊來(lái)犯的敵艦，至少有2枚魚雷擊中敵艦時(shí)，敵艦才被擊沉.如

果每枚魚雷的命中率都是0.6,當(dāng)我艦上的8個(gè)魚雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射1

枚魚雷后，求敵艦被擊沉的概率（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）.

【例10】某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2

件，求次品數(shù)J的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【例11】某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的

創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是L若某人

2

獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)

元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助.求：

⑴該公司的資助總額為零的概率；

⑵該公司的資助總額超過(guò)15萬(wàn)元的概率.

【例12】某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買.根據(jù)以往資料統(tǒng)

計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性

付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元；若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)250元.

⑴求3位購(gòu)買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；

⑵求3位位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元的概率.

【例13】某萬(wàn)國(guó)家具城進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)1000元，便可獲得獎(jiǎng)券

一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金2()0元.某

顧客消費(fèi)了3400元，得到3張獎(jiǎng)券.

⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金200元的概率;

⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金200元的概率.

【例14】某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的

成活率分別為之和且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中：

65

⑴至少有1株成活的概率；

⑵兩種大樹各成活1株的概率.

【例15】一個(gè)口袋中裝有〃個(gè)紅球（心5且”eN*）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)

球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).

⑴試用〃表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p;

⑵若〃=5,求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；

⑶記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P.當(dāng)〃取多少時(shí)，P最

大？

【例16】袋子A和8中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是

從8中摸出一個(gè)紅球的概率為p.

3

⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率;

②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為求隨機(jī)變量J的分布.

⑵若4,B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1:2,將A,B中的球裝在一起后，從中摸出一

個(gè)紅球的概率是:，求P的值.

【例17】設(shè)飛機(jī)4有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，飛機(jī)8有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)

沒(méi)有故障，就能夠安全飛行，現(xiàn)設(shè)各個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率p是，的函數(shù)

P=\-e-\其中，為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間，2為正的常數(shù)，試討論飛機(jī)

A與飛機(jī)8哪一個(gè)安全？（這里不考慮其它故障）.

【例18】假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是1-P,且各發(fā)動(dòng)機(jī)互不影

響.如果至少50%的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以順利地飛行?問(wèn)對(duì)于多大

的尸而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？

【例19】一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交

通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是

3

⑴設(shè)？為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求J的分布列；

⑵設(shè)〃為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求〃的分布列；

⑶求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

【例20】一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲5次，正面向上恰為1次的可能性不為0,而且與正

面向上恰為2次的概率相同.令既約分?jǐn)?shù)-為硬幣在5次拋擲中有3次正面向上

j

的概率，求i+j.

【例21】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位）

（1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；

⑵5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；

（3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率;

【例22】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層可以?？?若該電梯在

底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為1,求至

3

少有兩位乘客在20層下的概率.

【例23】10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第"次才取得

Z（kW〃）次紅球的概率.

【例24】某車間為保證設(shè)備正常工作，要配備適量的維修工.設(shè)各臺(tái)設(shè)備發(fā)生的故障是

相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0。.試求：

⑴若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；

⑵若由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率，

并進(jìn)行比較說(shuō)明哪種效率高.

【例25】A,8是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).每個(gè)試驗(yàn)組由

4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效.若在一個(gè)

試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為

甲類組?設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為2,服用B有效的概率為L(zhǎng).觀

32

察3個(gè)試驗(yàn)組，求至少有1個(gè)甲類組的概率.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）

【例26】已知甲投籃的命中率是0.9,乙投籃的命中率是0.8,兩人每次投籃都不受影響,

求投籃3次甲勝乙的概率.（保留兩位有效數(shù)字）

【例27】若甲、乙投籃的命中率都是p=0.5,求投籃〃次甲勝乙的概率.（weN,〃2l）

【例28】省工商局于某年3月份，對(duì)全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯

示，某種剛進(jìn)入市場(chǎng)的x飲料的合格率為80%,現(xiàn)有甲，乙，丙3人聚會(huì)，選

用6瓶x飲料，并限定每人喝2瓶，求：

⑴甲喝2瓶合格的x飲料的概率；

⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x飲料的概率（精確到0.01）.

【例29】在一次考試中出了六道是非題，正確的記7”號(hào)，不正確的記“X”號(hào).若某考生

隨手記上六個(gè)符號(hào)，試求：⑴全部是正確的概率；

⑵正確解答不少于4道的概率；

⑶至少答對(duì)2道題的概率.

【例30】某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)強(qiáng)，當(dāng)

一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí)，校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為0.6.

現(xiàn)在校、系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出了三種方案：⑴雙方各出3人；⑵雙方各

出5人；⑶雙方各出7人.三種方案中場(chǎng)次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問(wèn)：

對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪一種方案最有利？

二項(xiàng)分布的期望與方差

【例31】已知X~8(10,0.8),求E(X)與。(X).

【例32】已知X~B(〃，p),E(X)=8,D(X)=1.6,則〃與p的值分別為()

A.10和0.8B.20和0.4C.10和0.2D.100和0.8

【例33】已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為6,0.4的二項(xiàng)分布，則它的期望E(X)=,

方差。(X)=.

【例34】已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E?=2.4,。⑹=1.44,則二項(xiàng)分布的參數(shù)

〃，p的值分別為.

【例35】一盒子內(nèi)裝有10個(gè)乒乓球，其中3個(gè)舊的，7個(gè)新的，每次取一球，取后放回,

取4次，則取到新球的個(gè)數(shù)的期望值是.

【例36】同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上

的次數(shù)為J，則J的數(shù)學(xué)期望是（）

A.20B.25C.30D.40

【例37】某服務(wù)部門有〃個(gè)服務(wù)對(duì)象，每個(gè)服務(wù)對(duì)象是否需要服務(wù)是獨(dú)立的，若每個(gè)服

務(wù)對(duì)象一天中需要服務(wù)的可能性是p,則該部門一天中平均需要服務(wù)的對(duì)象個(gè)

數(shù)是（）

A.叩（1-p）B.npC.nD.p（l-p）

【例38】一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含

紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.（用數(shù)字作答）

【例39】同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上

的次數(shù)為則4的數(shù)學(xué)期望是（）

A.20B.25C.3()D.40

【例40】某批數(shù)量較大的商品的次品率是5%,從中任意地連續(xù)取出10件，X為所含次

品的個(gè)數(shù)，求E(X).

【例41】甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是L2,_L.

352

⑴現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率；

⑵用J表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量。的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

【例42】拋擲兩個(gè)骰子，當(dāng)至少有一個(gè)2點(diǎn)或3點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功.

⑴求一次試驗(yàn)中成功的概率；

⑵求在4次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望與方差.

【例43】某尋呼臺(tái)共有客戶3000人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)

間來(lái)領(lǐng)取.假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4%.問(wèn)：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客

都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮

品？

【例44】某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能

力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn),參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知

參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)

目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.

⑴任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；

⑵任選3名下崗人員，記J為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求4的分布和期望.

【例45】設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為05,購(gòu)買乙種商品的概率

為0.6,且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是

相互獨(dú)立的.記自表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買甲,乙兩種商品中的一

種的人數(shù)，求J的分布及期望.

【例46】某班級(jí)有〃人，設(shè)一年365天中，恰有班上的機(jī)（機(jī)個(gè)人過(guò)生日的天數(shù)

為X,求X的期望值以及至少有兩人過(guò)生日的天數(shù)的期望值.

【例47】購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)。元，若投保人在購(gòu)買

保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000

人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)

至少支付賠償金1（）000元的概率為1-O.999104.

⑴求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p;

⑵設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望

不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）.

【例48】某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢）.若安檢不合

格，則必須進(jìn)行整改.若整改后復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢

是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5,整改后安

檢合格的概率是0.8,計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）.

⑴恰好有兩家煤礦必須整改的概率;

⑵平均有多少家煤礦必須整改；

⑶至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

【例49】設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若

一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)

元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)

元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？（精確到（）001）

【例50】在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引

爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈，第一次命中

只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概

率都是2.

3

⑴求油罐被引爆的概率；

⑵如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為求J的分布列及

【例