方程的導(dǎo)出定解條件

《數(shù)學(xué)物理方程》希爾伯特&柯朗合編巨著：《數(shù)學(xué)物理方法》Hilbert的博士宣誓儀式，校長主持：“我莊嚴(yán)的要你回答，宣誓是否能使你用真誠的良心承擔(dān)如下的許諾和保證：你將勇敢的去捍衛(wèi)真正的科學(xué)，將其開拓，為之添彩；既不為厚祿所驅(qū)，也不為虛名所趕，只求上帝真理的神輝普照大地，發(fā)揚(yáng)光大?！盚ilbert：我們必須知道，我們必將知道。1.弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出（達(dá)朗貝爾）§1方程的導(dǎo)出、定解條件*歷史背景：弦的振動(dòng)為何能產(chǎn)生動(dòng)聽的音樂。福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院－江飛:jiangfei0591@163.com*物理模型：給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，其長度為，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)。*理想化假設(shè)（抓住本質(zhì)特征，夠用即可）：還有一種假設(shè)是“缺啥補(bǔ)啥”。１.弦是均勻的，并視為一條曲線，線密度為常數(shù)。２.弦在某平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。３.弦是柔軟的，在形變時(shí)不抵抗彎曲。各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，且弦的伸長變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。均勻、柔軟且在平面內(nèi)小振動(dòng)的弦，點(diǎn)上張力方向與切線方向一致，且張力大小與伸長形變滿足胡克定律。*物理守恒律（轉(zhuǎn)化方程等式）：牛頓第二定律：或沖量定理：教材采用*目標(biāo)函數(shù)：弦上質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移時(shí)刻示意圖（１）取一弦段,它的弧長為考慮到是小振動(dòng)，故可忽略二階小項(xiàng)，即得這樣，可認(rèn)為弦在振動(dòng)過程中并未伸長。由胡克定律知，弦上每點(diǎn)所受的張力大小與時(shí)間無關(guān)。時(shí)刻示意圖下面我們推導(dǎo)弦振動(dòng)方程，先考慮無外力情況：其中（2）設(shè)點(diǎn)處張力為由于弦只在軸的垂直方向作橫振動(dòng)，所以水平方向的合力為零，即方向與該點(diǎn)的切線方向一致。負(fù)號(hào)表示與坐標(biāo)軸方向相反記

由于小振動(dòng)，故即知負(fù)號(hào)表示與坐標(biāo)軸方向相反記

（3）張力在軸方向上的合力為：記

則在時(shí)間段中該合力產(chǎn)生的沖量為：在時(shí)間段內(nèi)弦段的受到的沖量為：（4）另一方面，在時(shí)刻及時(shí)刻弦段的動(dòng)量分別為故在時(shí)間段內(nèi)弦段的動(dòng)量變化為（5）由沖量定理，可得（6）化成微分形式：利用N-L公式，可得由的任意性，知被積函數(shù)必須為零，即其中波速（7）有外力情況：假定有垂直于軸方向的外力存在，并設(shè)其線密度為，它在時(shí)間段內(nèi)的沖量為于是有無外力的弦振動(dòng)方程（1D波動(dòng)方程）：則弦段上的外力為仍有的任意性，知表示單位質(zhì)量在每點(diǎn)處所受的外力

弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。由于弦的運(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系，因此還需要結(jié)合實(shí)際問題附加某些特定條件。進(jìn)一步推廣到高維情況：薄膜振動(dòng)：電磁波、聲波的傳播：2.定解條件偏微分方程（PDE），或稱泛定方程（a）第一類邊界條件（狄利克雷邊界條件）:*初始條件：設(shè)弦在初始時(shí)刻時(shí)的位置和速度為*邊界條件（注意該提法的物理背景）：在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在和兩點(diǎn)，即（b）第二類邊界條件（諾伊曼邊界條件）:設(shè)弦的一端處于自由狀態(tài)，即可以在垂直于軸的直線上自由滑動(dòng)，且未受到垂直方向的外力。由于在邊界右端的張力的垂直方向分量是，于是邊界處應(yīng)有

也可考慮更一般非零情況。*把泛定方程和定解條件結(jié)合起來，就得到了與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的定解問題，比如弦的一端處于固定在伸縮符合胡克定律的彈性支承上，如果支承的初始位置為，那么在端點(diǎn)的

值表示支承的伸長量，于是其中為彈性系數(shù)?？苫癁槠渲?。也可進(jìn)一步考慮一般非零情況。（c）第三類邊界條件（混合邊界條件）*邊界條件與初始條件總稱為定解條件。黑點(diǎn)受到的張力在垂直方向的分量形成對(duì)彈簧的牽引力。注意形狀對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件（以第一類邊界為例）結(jié)合后，其定解問題可以描述為：要在區(qū)域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)，它在區(qū)域中滿足波動(dòng)方程(1.1)；在軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(1.2)；并在邊界和上滿足邊界條件(1.3)。*階：PDE所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。比如3.偏微分方程的分類*線性與非線性：為二階PDE。（1）線性方程：方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)總體來說是線性的。比如（2）非線性方程：（b）完全非線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的方程。比如（a）擬線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)總體來說是線性的方程。比如*齊次性：（b）邊界條件和初始條件也有齊次和非齊次之分。（a）泛定方程的齊次性：以方程為例，函數(shù)與未知函數(shù)無關(guān)（自由項(xiàng)），若該項(xiàng)恒為零，則該方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。4.定解問題適定性概念*定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。如果一個(gè)定解問題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個(gè)問題是適定的。*解的存在性：定解問題的解是否一定存在？*解的唯一性：定解問題的解是否只有一個(gè)？*解的穩(wěn)定性：當(dāng)定解