工程制圖-第三章點(diǎn)-直線、平面

第三章點(diǎn)、直線、平面的投影本章教學(xué)目的與要求

1、掌握點(diǎn)的投影規(guī)律；

熟悉點(diǎn)的投影與該點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系；（重點(diǎn)）

熟悉兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)；（難點(diǎn)）

2、熟練掌握各種空間位置直線的投影特征；（重點(diǎn)）*掌握一般位置直線求實(shí)長(zhǎng)（直角三角形法）；（難點(diǎn)）

熟練掌握直線上的點(diǎn)和直線的關(guān)系；

熟練掌握兩直線的相對(duì)位置：平行、相交、交叉；（難點(diǎn)）

3、熟悉平面的投影表示法和各種位置平面的投影特征；（重點(diǎn)）

熟練掌握平面上如何取點(diǎn)和線；（重點(diǎn)）

熟練掌握直線與平面、兩平面相對(duì)位置：平行、相交下一頁(yè)2024/1/21機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌任何立體都可以看作是點(diǎn)的集合。點(diǎn)是基本幾何要素，研究點(diǎn)的投影性質(zhì)和規(guī)律是掌握其他幾何要素投影的基礎(chǔ)。如左圖所示，過(guò)空間點(diǎn)A向投影面作投射線（即垂線），A點(diǎn)在投影面上的投影為a。反之，若已知投影a，不能唯一確定點(diǎn)A的空間位置。確定一個(gè)空間點(diǎn)至少需要兩個(gè)投影。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄第一節(jié)點(diǎn)的投影2024/1/22機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

V面投影，標(biāo)記a′稱正面投影A

點(diǎn)

與ox軸交點(diǎn)ax

H面投影，標(biāo)記a，稱正面投影分析：ox⊥Aa、ox⊥a′ax、ox⊥aax投影平面展開連線得aa′

⊥ox

Aa′=aax

a′ax

=Aa上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄1．點(diǎn)的兩面投影2024/1/23機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，反映該點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即aax＝A

a′、a′ax＝Aa。

點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/24機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.三投影面體系的建立

A

（空間點(diǎn)）到W面投影，標(biāo)記a“,稱側(cè)面投影得a‘a(chǎn)“

⊥oz展開W、HOY軸一分為二OYh、OYw點(diǎn)三面投影動(dòng)畫演示上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影點(diǎn)三面投影展開動(dòng)畫演示2024/1/25機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（1）點(diǎn)的投影連線⊥相應(yīng)的投影軸。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ

（2）空間點(diǎn)到投影面的距離=該點(diǎn)在另外兩投影面的投影到相應(yīng)投影軸的距離。az

a″=a

ax=Aa′(寬y相等）作圖要求：作圖線用細(xì)實(shí)線，點(diǎn)用黑點(diǎn)標(biāo)出。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2.點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律：2024/1/26機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：由于已知點(diǎn)A的正面投影和水平投影，則A點(diǎn)的空間位置可以確定，因此可作出其側(cè)面投影。作圖：過(guò)a作OYH的垂線與45o輔助線相交，過(guò)交點(diǎn)作OYW的垂線與過(guò)a′的水平線相交，交點(diǎn)即為

a″。a′aYwYhxoa″z上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例一】已知點(diǎn)A的正面投影a′和水平投影a，求A的側(cè)面投影a″。

思考：點(diǎn)A到哪個(gè)投影面距離近動(dòng)畫演示2024/1/27機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.點(diǎn)A（xA、yA、zA）的投影與坐標(biāo)關(guān)系：

xA＝aZ

a′＝aYHa＝a″A（點(diǎn)到W面的距離）

yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（點(diǎn)到V面的距離）

zA＝aX

a′＝aYW

a″＝aA（點(diǎn)到H面的距離）

點(diǎn)的投影坐標(biāo)表示：a′（x,o,z)、a″（o,y,z)、a（x,y,o)三、點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系下一頁(yè)上一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/28機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌投影面上點(diǎn)的投影特性：1）點(diǎn)的一個(gè)投影與空間點(diǎn)本身重合；2）點(diǎn)的另兩個(gè)投影在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上；投影軸上的點(diǎn)的投影特性：1）點(diǎn)的兩個(gè)投影與空間點(diǎn)本身重合；2）點(diǎn)的另一個(gè)投影在原點(diǎn)；2.特殊位置點(diǎn)：下一頁(yè)上一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/29機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：由于yA＝0，則點(diǎn)A在V面上，而zB＝0，點(diǎn)B在H面上，又由于yC=0，

zC=0，點(diǎn)COX軸上。作圖：（見下圖）YwxoYHza′aa″bb′b″c′c(c″)上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例二】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（20，0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)（30，10，0）；點(diǎn)C的坐標(biāo)（15，0，0），求作各點(diǎn)的三面投影圖。2024/1/210機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.空間方位的約定：x坐標(biāo)增大的方向?yàn)橄蜃蟮姆较?/p>

；y坐標(biāo)增大的方向?yàn)橄蚯暗姆较?；z坐標(biāo)增大的方向?yàn)橄蛏系姆较?.點(diǎn)的相對(duì)位置的判別：x坐標(biāo)→判別左右的方向；y坐標(biāo)→判別前后的方向z坐標(biāo)→判別前后的方向上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置動(dòng)畫演示2024/1/211機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例三】已知點(diǎn)A的三面投影，并知B點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊5mm,下邊10mm，后邊5mm，求B點(diǎn)的三面投影zxywyhoa′a″ab′b″b上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/212機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌當(dāng)兩點(diǎn)的某兩個(gè)坐標(biāo)相同時(shí)，該兩點(diǎn)將處于同一投射線上，因而在由相同兩坐標(biāo)確定的投影面上具有重合的投影，則這兩投影稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)要判別可見性：由兩點(diǎn)不同的坐標(biāo)的大小判別，坐標(biāo)大的可見，反之不可見。不可見點(diǎn)加括號(hào)。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄四、重影點(diǎn)重影點(diǎn)動(dòng)畫演示2024/1/213機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄第二節(jié)直線的投影一、概述一般位置直線（∠投影面，不反映實(shí)長(zhǎng)）1.直線的分類投影面平行線（∥投影面、反映實(shí)長(zhǎng)）特殊位置直線投影面垂直線（⊥投影面、積聚為一點(diǎn)）2.直線的投影特性

:直線的投影一般仍為直線（特殊為點(diǎn)）；直線的投影可連接線段兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影來(lái)確定；直線的投影有類似性、真實(shí)性、積聚性等三個(gè)特性2024/1/214機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌與水平投影面的傾角用α表示正面投影面的傾角用β表示側(cè)面投影面的傾角用γ表示

上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄退回總目錄3.直線與投影面夾角的約定2024/1/215機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1．投影面平行線：(∥一個(gè)投影面而，∠另外兩個(gè)投影面)正平線(∥V面；∠H、W面）水平線(∥H面；∠V、W面）側(cè)平線(∥W面；∠V、H面）正平線動(dòng)畫演示上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄二、特殊位置直線水平線動(dòng)畫演示側(cè)平線動(dòng)畫演示2024/1/216機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄正平線、水平線和側(cè)平線投影圖及投影特性

（1）a′b′反映實(shí)長(zhǎng)，

反映角α、γ。（2）ab∥OX，

a″b″∥OZ均小于實(shí)長(zhǎng)。（1）a″b″反映實(shí)長(zhǎng)，反映角α、β

（2）a′b′∥OZ

ab∥OYW均小于實(shí)長(zhǎng)投影特性投影圖

正平線（AB∥V面）

水平線（AB∥H面）（1）ab反映實(shí)長(zhǎng)，反映角β、γ。（2）a′b′∥OX

a″b″∥OYH均小于實(shí)長(zhǎng)。側(cè)平線（AB∥W面）名稱2024/1/217機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌投影面平行線的投影特性如下：1）∥投影面上的投影，反映實(shí)長(zhǎng)；夾角分別反映直線對(duì)另兩投影面的真實(shí)傾角。2）另外兩個(gè)投影面上的投影∥相應(yīng)的投影軸，長(zhǎng)度縮短。投影面平行線實(shí)例動(dòng)畫下一頁(yè)上一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/218機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌(⊥一個(gè)投影面而，∥另外兩個(gè)投影面)正垂線(⊥V面；∥H、W面）鉛垂線(⊥H面；∥V、W面）側(cè)垂線(⊥W面；∥V、H面）正垂線鉛垂線側(cè)垂線上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2．投影面垂直線2024/1/219機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄正垂線（AB⊥V面）鉛垂線（AB⊥H面）側(cè)垂線（AB⊥W面）（1）ab積聚為一點(diǎn)（2）a′b′⊥OX，

a″b″⊥OYW，

a′b′、a″b″均反映實(shí)長(zhǎng)。1）a″b″積聚為一點(diǎn)2）a′b′⊥OZ，

ab⊥OYH，ab、

a′b′均反映實(shí)長(zhǎng)1）a′b′積聚為一點(diǎn)2）

ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映實(shí)長(zhǎng)名稱投影圖投影特性正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線的投影及投影特性2024/1/220機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌投影面垂直線的投影特性如下：（1）⊥投影面上的投影，積聚成一點(diǎn)。（2）另外兩個(gè)投影面上的投影，⊥相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。下一頁(yè)上一頁(yè)回章節(jié)目錄投影面垂直線實(shí)例動(dòng)畫2024/1/221機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（與三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線）1.一般位置直線的投影特性為：（1）三個(gè)投影都與投影軸傾斜，長(zhǎng)度都小于實(shí)長(zhǎng)；（2）與投影軸的夾角都不反映直線對(duì)投影面的傾角。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄三、一般位置直線一般位置直線動(dòng)畫演示2024/1/222機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄

*2.直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角（1）求AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)水平投影面的傾角α（2）求AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)正投影面的傾角β（3）求AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)側(cè)投影面的傾角γ2024/1/223機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

|zA-zB

|AB1．求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB||zA-zB|2024/1/224機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2．求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角

角|yA-yB|a

Xab

bAB

a

b

|yA-yB||yA-yB|AB

|yA-yB|

2024/1/225機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌3．求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

2024/1/226機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌規(guī)律：用一般位置線的一個(gè)投影及對(duì)該面的坐標(biāo)差為二直角邊求作其實(shí)長(zhǎng)和傾角的方法俗稱為直角三角形法。aa兩解30°aa兩解上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例四】：已知線段的實(shí)長(zhǎng)AB,求它的水平投影ab。

（思考：已知β=30°，求它的水平投影ab）2024/1/227機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.從屬性：點(diǎn)在線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影上，反之,點(diǎn)的各個(gè)投影在線的同面投影上,則該點(diǎn)一定在直線上。

利用這一特性可在線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在線上。

2.定比性：點(diǎn)分線段長(zhǎng)度比等于其投影分線段投影長(zhǎng)度之比。(定比定則AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″利用這一特性在不作出側(cè)面投影的情況下，在線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在線上。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄五、直線上的點(diǎn)（線上找點(diǎn)）直線上點(diǎn)的投影動(dòng)畫2024/1/228機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌cc

[例題五]已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點(diǎn)C的投影c、c

。2024/1/229機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌[例題六]已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。cc

cabc2024/1/230機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄（變化：已知m、m′判斷點(diǎn)M是否在AB上）思考：不求側(cè)面投影，用定比性來(lái)判斷點(diǎn)M是不是直線AB上的點(diǎn)。

2024/1/231機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌空間兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行、相交（亦稱共面直線）交叉（亦稱異面直線）

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則三個(gè)面同面投影必定互相平行。反之，若直線同面投影都（三面）互相平行，則兩直線在空間必定互相平行。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄五、兩直線的相對(duì)位置兩直線平行動(dòng)畫2024/1/232機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例七】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對(duì)位置（如下圖

）AB、CD平行上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄注意：1)對(duì)于一般位置直線，有兩組同面投影相互平行，即可判斷空間兩直線相互平行。2)若直線為投影面的平行線，則要根據(jù)直線所平行的投影面上投影是否平行來(lái)斷定它們?cè)诳臻g是否平行。(即畫出第三面投影判斷)2024/1/233機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例八】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對(duì)位置（如下圖

）AB、CD交叉上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄1″(2″)1′2′2024/1/234機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌注意：1)對(duì)兩一般位置線，若兩組同面投影都相交，且兩投影交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則空間兩直線相交。2)若兩直線有一直線為投影面平行面時(shí)，則兩組同面投影中必須包括直線所平行的投影面上的投影。(即畫出第三面投影判斷)上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2．相交兩直線：

空間兩直線若相交，它們的同面投影必定相交，且交點(diǎn)必定符合點(diǎn)的投影規(guī)律。相交兩直線動(dòng)畫2024/1/235機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌c″d″a″b″1′1′d′c′1′ZyHyw方法二：定比定則（如右下圖）上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例九】判斷兩直線AB、CD的相對(duì)位置方法一：求第三投影2024/1/236機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（1）交叉兩直線在同一投影面上的交點(diǎn)為對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)，可從另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原則來(lái)判別它們的可見性。

重影點(diǎn)重影點(diǎn)ⅡⅠ上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄3．交叉兩直線：

既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。2024/1/237機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（2）交叉兩直線的投影可能會(huì)有一組或二組是互相平行，但決不會(huì)三組同面投影都互相平行，（3）交叉兩直線的投影也可能是相交的，但各個(gè)投影的交點(diǎn)一定不符合同一點(diǎn)的投影規(guī)律。1″(2″)1′2′上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2024/1/238機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌e′f′f上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十】已知直線AB、CD的兩面投影和點(diǎn)E的水平投影e，求作直線EF與CD平行，并與AB相交于點(diǎn)F。2024/1/239機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌空間垂直相交的兩直線，若其中一直線為投影面平行線，則兩直線在該投影面上的投影互相垂直。也稱為直角投影定理。反之，相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直線為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。

此投影特性也適用于交叉垂直的兩直線。如上圖當(dāng)CB直線不動(dòng)，水平線AB平行上移時(shí)，ab與cb仍互相垂直。

上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄四、一邊平行于投影面的直角投影

（直角投影定理）2024/1/240機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌[例十一]過(guò)點(diǎn)C作線段CD與線段AB垂直相交。思考：上題改為求點(diǎn)C到線段AB的距離，如何作圖。

回章節(jié)目錄下一頁(yè)上一頁(yè)d′d2024/1/241機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：直線AB是鉛垂線，CD是一般位置直線，所以它們的公垂線是一條水平線，則公垂線的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,側(cè)面投影平行OX軸。作圖：由直線AB的水平投影ab向cd作垂線交于k，由此求出k′；由k′向a′b′作垂線交于e′，e′k′和ek即為公垂線EK的兩投影，且ek=EK為兩交叉直線AB、CD的距離。

k′e′k(e)上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十二】求AB、CD兩直線的公垂線

2024/1/242機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌一、平面的表示法1．用幾何元素表示平面由初等幾何學(xué)可知，下列幾何元素組都可以決定平面在空間的位置。1）不在同一直線上的三點(diǎn)；2）一直線和該直線外一點(diǎn)；3）相交兩直線；4）平行兩直線；5）任意平面圖形。(五種可相互轉(zhuǎn)化)上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄第三節(jié)平面的投影2024/1/243機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分類：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）

特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）

一般位置平面（∠三個(gè)投影面）約定：平面與投影面H、V、W的兩面角，分別用α、β、γ表示。1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）鉛垂面（⊥H面，∠V、W面）分類正垂面（⊥V面，∠H、W面）側(cè)垂面（⊥W面，∠H、V面）上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄二、平面對(duì)投影面的各種相對(duì)位置2024/1/244機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（1）⊥投影面上的投影，積聚成直線；（積聚性）積聚性投影與投影軸夾角，分別反映面對(duì)另兩投影面的傾角。（2）在另外兩投影面上的投影均為類似形。（類似性）

鉛垂面動(dòng)畫上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄以鉛垂面為例分析其投影特性為：注：類似形的投影特性：邊數(shù)不變，各頂點(diǎn)符合投影規(guī)律；原來(lái)邊平行，仍平行；成比例，仍成比例；直線邊對(duì)應(yīng)直線邊，曲線邊對(duì)應(yīng)曲線邊。鉛垂面的投影圖2024/1/245機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄正垂面的投影正垂面投影圖正垂面投影動(dòng)畫2024/1/246機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌側(cè)垂面的投影上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄側(cè)垂面投影圖側(cè)垂面投影動(dòng)畫投影面垂直面投影實(shí)例動(dòng)畫2024/1/247機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌水平面（∥H面，⊥V、W面）分類正平面（∥V面，⊥H、W面）側(cè)平面（∥W面，⊥H、V面）上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄2．投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）以水平面為例分析其投影特性為：（1）在平行的投影面上的投影，反映實(shí)形。（實(shí)形性）（2）在另外兩投影面上的投影，積聚成直線，（積聚性）

分別平行于相應(yīng)的投影軸。2024/1/248機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌水平面投影圖上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄水平面的投影

2024/1/249機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌正平面的投影上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄正平面投影圖2024/1/250機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄側(cè)平面的投影側(cè)平面投影圖投影面平行面投影實(shí)例動(dòng)畫2024/1/251機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌一般位置面的三個(gè)投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均為類似形。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄3．一般位置平面（∠三個(gè)投影面）

其投影特性為：三個(gè)投影均是類似形，而且面積比實(shí)際小；投影圖上不直接反映平面對(duì)投影面的傾角。一般位置平面投影實(shí)例動(dòng)畫2024/1/252機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1．幾何條件：（1）若點(diǎn)位于面內(nèi)直線上，則點(diǎn)在該面內(nèi)。（2）直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，線必在該平面內(nèi)（3）線過(guò)面上一點(diǎn)且平行面內(nèi)另一直線，則線在該面內(nèi)。2．求取方法：①求點(diǎn)，先找線；②作線，先找點(diǎn)。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄三、平面上取點(diǎn)和線

2024/1/253機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌①一般位置面上作水平線（用水平面與△ABC相交，交線無(wú)數(shù)條)(條件：過(guò)A點(diǎn)作水平線屬于△ABC）②一般位置面上作正平線

（用水平面與△ABC相交，交線無(wú)數(shù)條）（條件：作正平線距V面25mm）

*③作含直線的垂直面或平行面（跡線表示）

1′1323′2′上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄3．面上取線

2024/1/254機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：判別點(diǎn)是否在面上和求平面上點(diǎn)的投影，利用點(diǎn)在面上，點(diǎn)定在面內(nèi)一條線上這一投影特性。作圖：注意：判斷點(diǎn)是否在面內(nèi)，不能只看點(diǎn)的投影是否在面的投影輪廓線內(nèi)，一定要用幾何條件和投影特性來(lái)判斷。

1′12′n′2上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十三】判別點(diǎn)M是否在面△ABC內(nèi)，并作出△ABC面上點(diǎn)N的正投影。2024/1/255機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：由于水平線的正面投影投影平行OX軸，故可先求AD的正面投影，而正平線的水平投影平行OX軸，故可先求CE的水平投影。作圖：e′ed′d上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十四】已知△ABC平面的兩面投影，作出平面上水平線AD和正平線CE的兩面投影。2024/1/256機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：已知A、B、C三點(diǎn)的正投影和水平投影，面的空間位置已確定，E、D兩點(diǎn)應(yīng)在△ABC面上，故利用點(diǎn)在面上的原理作出點(diǎn)的投影即可。作圖：d′e′121′2′上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十五】完成平面圖形ABCDE的正面投影。2024/1/257機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌第五節(jié)直線與平面及兩平面的相對(duì)位置

（平行、相交、垂直相交）上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄一、平行問題1．直線與平面平行幾何條件：若線平行某面內(nèi)一直線，則線與該面平行

兩平行線各組同面投影均平行（利用它來(lái)解題）2024/1/258機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌幾何條件：（1）一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)地平行，則這兩個(gè)平面互相平行。

(兩一般位置面相互平行)（2）兩特殊位置面相互平行，有積聚性的那組同面投影平行

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2．平面與平面平行2024/1/259機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十六】判斷AB與△CDE是否平行。（不平行）g′f′fg上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄分析：在正投影面內(nèi)作e′f′∥a′b′，檢驗(yàn)ef

與ab是否平行。2024/1/260機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：在△CDE面內(nèi)作水平線EF，過(guò)k點(diǎn)作ef∥

ab，過(guò)k′點(diǎn)作e′f′∥a′b′。b′a′abf′f上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄【例十七】試過(guò)點(diǎn)K作水平線AB平行于△CDE平面。2024/1/261機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十八】試判斷兩平面是否平行。（平行）g′gh′hm′mn′n上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄分析：在兩平面內(nèi)分別作水平線、正平線，檢驗(yàn)是否相互平行。2024/1/262機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌線與面、面與面不平行，一定相交。線與面的交點(diǎn)是線與面的共有點(diǎn)；面與面的交線是兩面的共有線。求取方法：交點(diǎn)的一個(gè)投影位于面或線有積聚性的投影交點(diǎn)，另一投影用線上點(diǎn)的投影特性求得。上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄二、相交問題（只研究面或線為特殊位置時(shí)的交點(diǎn)）線與面相交動(dòng)畫面與面相交動(dòng)畫2024/1/263機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（1）線與特殊位置面相交（交點(diǎn)是共有點(diǎn)）（求交點(diǎn)并判別可見性）判別可見性方法：目測(cè)法、重影點(diǎn)法可見性判別：k′b′是可見的，應(yīng)畫成粗實(shí)線；a′k′在

e′f′g′h′內(nèi)的部分不可見的，畫成虛線。kk′1′(2′)1(2)上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄1．直線與平面相交2024/1/264機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：AB是正垂線，其正面投影有積聚性，交點(diǎn)K是直線AB上的一個(gè)點(diǎn)，所以K點(diǎn)的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交點(diǎn)K也在三角形平面上，故可利用平面上取點(diǎn)的方法，作出交點(diǎn)K的水平投影k。(k′)m′mk1(2)2′(1′)(2)1ⅠⅡ上一頁(yè)下一頁(yè)回章節(jié)目錄（2）投影面垂直線與一般位置平面相交2024/1/265機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌求交線的方法：求出交線上任意兩點(diǎn)連接而得，也可求出其中一點(diǎn)，然后由交線的方向確定。交線是可見與不可見的分界線。（1）兩特殊位置平面相交

【例十九】求鉛垂面△ABC與鉛垂面△DEF的交線MN，并判別正面投影的可見性。分析：這兩三角形都是鉛垂面，所以交線為鉛垂線，且交線的水平投影積聚為一點(diǎn)，