矩陣理論-第一講

矩陣理論蘭州大學信息科學與工程學院2004年目的和內(nèi)容矩陣理論是求解多元線性方程組的有力工具；現(xiàn)代工程中的一些問題，如果用矩陣表示，不但形式簡潔，更重要的是具有適合計算機處理的特點。由于計算機的開展和普及，矩陣分析顯得越來越重要；舉例教學目的：掌握主要的概念；能夠看懂相關(guān)文獻，尤其是各種術(shù)語和符號的含義；掌握與泛函分析交叉或相關(guān)的一些內(nèi)容許多領(lǐng)域日益增多的文獻中大量使用泛函分析的術(shù)語、符號sup(*)、inf()、動態(tài)系統(tǒng)的描述電路系統(tǒng)LCR2R1u(t)u(t)iLiC代入(1)代入(2)(1)(2)動態(tài)系統(tǒng)的描述(Continue)寫成矩陣形式：AXBUYCDXU動態(tài)系統(tǒng)的描述(Continue)機械系統(tǒng)的振動my(t)F(t)寫成矩陣形式：AXBU動態(tài)系統(tǒng)的描述(Continue)離散系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)動態(tài)系統(tǒng)的描述(Continue)引入中間變量，化高階差分方程為一階線性差分方程組……

…+……

……

00=0動態(tài)系統(tǒng)的描述(Continue)……

寫成矩陣形式:相關(guān)概念及定義矩陣(Matrix)矩陣是數(shù)域F上的m×n個數(shù)構(gòu)成的數(shù)表：稱為F上m行、n列的矩陣，記為A稱為A的第i行、第j列元素，記為(A)ij

i=1,…,m,j=1,…,n相關(guān)概念及定義〔continue〕數(shù)域F上的一切m行、n列的矩陣的集合，記為：假設(shè)，，那么稱矩陣A與B同型數(shù)域〔Field〕假設(shè)數(shù)集F含有數(shù)1且對四那么運算封閉，那么稱F為數(shù)域映射〔Mapping〕假設(shè)，，假設(shè)存在一個對應關(guān)系〔或?qū)敲?，correspondencerelationshiporcorrespondencerule〕，，有Y中的唯一的一個元素y與之對應，就稱給出了一個從X到Y(jié)的一個映射f，記作：f:X→Y，或y=f(x)映射是函數(shù)概念的推廣，它與函數(shù)、算子、變換表示的是同一個概念特別地，當Y為數(shù)集(實數(shù)集R或復數(shù)集C)時，稱f為定義在集合X上的泛函〔functional〕相關(guān)概念及定義〔continue〕直積集設(shè)A，B是給定的集合，稱為A與B的直積集，簡稱積集、直積舉例：，，那么表示XOY平面上矩形中點的集合表示XOY平面上所有點的集合A×B中的元素被稱為有序?qū)?，即當時，直積集的概念可被推廣到兩個以上給定的集合：記為：相關(guān)概念及定義〔continue〕代數(shù)運算如果通過法那么，，得到唯一的，那么稱為A與B的直積集到C的一個代數(shù)運算：稱c為和經(jīng)運算得出的結(jié)果，記為：集合A對運算封閉：假設(shè)是的一個代數(shù)運算，那么稱集合A對運算封閉N和Z不是數(shù)域Q、R和C都是數(shù)域Q是最小的數(shù)域C是最大的數(shù)域相關(guān)概念及定義〔continue〕在矩陣的定義的根底上，可定義矩陣相等、負矩陣、零矩陣、方陣、單位陣、對角陣、逆矩陣等矩陣相等設(shè)，，假設(shè)那么稱矩陣A與B相等，記為A=B負矩陣對稱-A為A的負矩陣零矩陣元素全為零的矩陣，稱為零矩陣，記為0，i=1,…,m,j=1,…,n相關(guān)概念及定義〔continue〕方陣〔Squarematrix〕行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣，行數(shù)為n的方陣稱為n階方陣。對方陣，又定義了主對角線元素、副對角線元素等概念：稱為主對角線元素稱為副對角線元素對角陣〔diagonalmatrix〕除了主對角線元素以外，其余元素均為0的方陣，稱之為對角陣。單位陣〔Identitymatrix〕主對角線元素全為1的對角陣，稱之為單位陣。簡記為I。N階單位陣記為矩陣運算矩陣加法：設(shè)，稱為矩陣A與B之和。矩陣加法是的代數(shù)運算，性質(zhì)：交換律：A+B=B+A結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)

A+0=0+A=AA+(-A)=(-A)+A=0矩陣減法：設(shè)，稱為矩陣A與B之差。矩陣運算〔Continue〕數(shù)乘矩陣：設(shè)，稱為λ與之積。

推論數(shù)乘矩陣是的一個代數(shù)運算，性質(zhì)：1。2。分配律3。分配律4。結(jié)合律矩陣乘法:設(shè)令矩陣運算〔Continue〕稱為A與B之積(1)A的列數(shù)=B的行數(shù);(2)AB的行數(shù)為A的行數(shù),列數(shù)為B的列數(shù);(3)AB的i行j列元素為A的i行元素與B的j列對應元素之積之和舉例：矩陣運算〔Continue〕

AB≠BA：矩陣乘法不滿足交換律

A≠0；B≠0，但AB=0。

矩陣乘法是的一個代數(shù)運算，它有以下性質(zhì)：

1°(AB)C=A(BC)

結(jié)合律 2°(A+B)C=AC+BC

分配律

A(B+C)=AB+AC

分配律 3°(λA)B=A(λB)=λ(AB)結(jié)合律 4°A是方陣：AI=IA=A矩陣運算(Continue)方陣的冪〔Power) 設(shè)稱

為A的k次冪，并定義因為矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以

又因矩陣乘法不滿足交換律，一般地：

轉(zhuǎn)置矩陣和分塊矩陣轉(zhuǎn)置矩陣〔Transposedmatrix〕可將對矩陣行與列的研究，轉(zhuǎn)化為對其中之一的研究設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，有的教科書上記為易見：轉(zhuǎn)置矩陣具有以下性質(zhì)：可用數(shù)學歸納法推廣至多個矩陣的情形轉(zhuǎn)置矩陣和分塊矩陣分塊矩陣用水平線或垂直線將矩陣分成假設(shè)干個小矩陣，并將A視為以這些小矩陣為元素組成的矩陣，稱之為A的分塊矩陣，其中的每個小矩陣稱為A的子矩陣。一般用表示r行s列的分塊矩陣，Aij為其第i行第j列上的子矩陣分塊矩陣的相等假設(shè)兩個分塊矩陣恢復成普通矩陣是相等，那么稱此兩分塊矩陣相等對、用相同的劃分法分為分塊矩陣，那么矩陣加法、減法和數(shù)乘矩陣的法那么可推廣到分塊矩陣上i=1,…,r,j=1,…,s分塊矩陣的加法、減法、數(shù)乘其中，那么1。2。將的列，的行用相同的劃分法劃分為分塊矩陣，那么矩陣乘法可推廣到分塊矩陣上。分塊矩陣的乘法和轉(zhuǎn)置令其中，那么分塊矩陣的轉(zhuǎn)置欲求分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，只要將其對應行列互換，然后將其中的每個子矩陣轉(zhuǎn)置即可i=1,…,r,j=1,…,s分塊矩陣的乘法和轉(zhuǎn)置那么其轉(zhuǎn)置矩陣為矩陣的秩矩陣的秩矩陣A的k階子式設(shè)，在A中任取k行、k列位于這些行列相交處的元素構(gòu)成的k階行列式稱為矩陣A的一個k階子式假設(shè)，A中非零子式的最高階數(shù)r稱為A的秩，記為：假設(shè)，那么定義F上所有m行n列且秩為r的矩陣的集合記為：假設(shè)，稱A是行滿秩的；否那么稱A是行降秩的，即r<m假設(shè)，稱A是列滿秩的；否那么稱A是列降秩的，即r<n方陣與其行列式的關(guān)系::rankA=n，稱方陣滿秩、非奇異:rankA<n，稱方陣降秩、奇異矩陣的秩(Continue)矩陣的秩的性質(zhì)矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等：初等變換不改變矩陣的秩，那么：滿秩方陣的乘積仍滿秩可經(jīng)有限次初等變換化為且A可表示為其中，、,i=1,…,r,j=1,…,t是F上的初等陣推論：數(shù)域F上的滿秩陣可被分解為F上的初等陣之積可經(jīng)初等行〔列〕變換化為單位陣，而單位陣在同樣的行〔列〕變換下化為逆矩陣和矩陣的逆方陣的逆(Inverse)對，假設(shè)存在同階方陣B，使得AB=BA=I那么稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣，簡稱為A的逆，記為伴隨矩陣(Adjacentmatrix)對，為detA中元素aij的代數(shù)余子式，那么稱為A的伴隨矩陣，detA為方陣A的行列式〔determinate〕伴隨矩陣的性質(zhì)：假設(shè)，那么adjA逆矩陣和矩陣的逆(Continue)逆存在的條件：方陣有逆的充分必要條件為：且滿足此條件時，A有唯一的逆：假設(shè)，那么稱A是滿秩的〔或稱A是非奇異的〕，否那么，稱A是降秩的〔或稱A是奇異的〕逆的性質(zhì)假設(shè)，，那么：：可推廣至有限個滿秩方陣相乘的情形抽象空間線性空間設(shè)，稱X為數(shù)域F〔實數(shù)域R或復數(shù)域C〕上的線性空間，假設(shè)：X是一個加法交換群(或稱阿貝爾群：AbelGroup〕定義了加法+：，稱x+y為x,y的和，且滿足：加法交換律：加法結(jié)合律：零元的存在性：，使得，有相反元素的存在性：，，使得可以證明零元與相反元素在X中都是唯一的定義數(shù)乘×：：，，可確定唯一元素，稱之為數(shù)乘元素的積，且滿足：數(shù)乘結(jié)合率：1x=x,分配律：分配律：假設(shè)F=R：那么X為實線性空間；F=R：那么X為復線性空間零元和相反元素唯一性的證明零元的唯一性：反證法：假設(shè)線性空間X中還存在其它零元，任取其一，例如，那么由對0的定義：又由對的定義：應用交換律比較上兩式，等式右邊應該相等，即，所以零元是唯一的相反元素的唯一性：反證法：假設(shè)線性空間X中還存在其它負元素，任取其一，例如，考察和：應用結(jié)合律：而根據(jù)相反元素的定義:又：，易見：所以線性空間中的相反元素是唯一的線性空間舉例直線R:即具有普通加法和乘法運算的全體實數(shù)集平面XOY平面上所有點的集合，加法即向量加法，滿足平行四邊形法那么；數(shù)乘即數(shù)乘向量，即向量按比例伸長或縮短實n維空間所有n個實數(shù)組的全體[a,b]上的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間C[a,b]加法即函數(shù)的加法，數(shù)乘即數(shù)乘以函數(shù)空間，：此空間中的點為滿足條件的數(shù)列〔或無窮維向量〕：數(shù)列的所有元是p次絕對可和的線性空間舉例〔Continue〕空間的加法:空間的數(shù)乘：，，？即：由Minkowski不等式：

當右邊的兩個級數(shù)收斂時，左邊的級數(shù)也收斂，線性空間的其它概念線性算子設(shè)X與Y是同一數(shù)域F上的線性空間，那么稱映射為線性映射，又稱線性變換、線性算子XYf線性空間的其它概念(Continue)線性泛函線性映射的定義中，假設(shè)Y=F(實數(shù)域Ror復數(shù)域C)，那么稱f為線性泛函XXRCff線性空間的其它概念(Continue)恒等算子：I是線性算子，線性空間X中的任一元素，映射為X中的同一元素零算子：，，〔Y中零元素，非F中0〕零算子是線性算子線性空間的同構(gòu)稱線性算子f為X→Y上的線性同構(gòu)映射：假設(shè)f為一一映射稱同一數(shù)域F上兩線性空間是同構(gòu)的，或稱X同構(gòu)于Y：假設(shè)存在一個從x到y(tǒng)上的一一對應的線性映射。線性空間的其它概念(Continue)同構(gòu)線性空間的性質(zhì)：X同構(gòu)于其本身；〔取恒等映射為同構(gòu)映射即得〕假設(shè)X同構(gòu)于Y，那么Y同構(gòu)于X；〔取X→Y同構(gòu)映射的逆映射，為Y→X的同構(gòu)映射〕假設(shè)X同構(gòu)于Y，Y同構(gòu)于Z，那么X同構(gòu)于Z；〔取X→Y的同構(gòu)映射f與X→Y的同構(gòu)映射g的復合映射為X→Z上的同構(gòu)映射即得〕線性組合：設(shè)，假設(shè)，，使得那么稱x是的線性組合線性空間的其它概念(Continue)線性相關(guān)、線性無關(guān)：設(shè)，如果，且不全為零，使得那么稱向量組是線性相關(guān)的否那么，稱是線性無關(guān)的，換言之，假設(shè)那么稱線性無關(guān)線性空間的維數(shù)〔dimension〕和基〔base〕如果在線性空間X中可找到n個線性無關(guān)的向量，而X中的任意n+1個向量都是線性相關(guān)的，那么稱X的維數(shù)為n，記作：假設(shè)，X中總存在m個線性無關(guān)的向量，那么稱X是無限維的，記作：n維線性空間X中由n個線性無關(guān)的向量組成的向量組，稱為X的一組基線性空間的其它概念(Continue)線性子空間：如果線性空間X的非空子集L按照X中的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成一線性空間，那么稱L為X的線性子空間舉例：假設(shè)，有，那么L是X的線性子空間；X和{0}是X的線性子空間，異于X和{0}的子空間稱為真子空間；spanA〔A的線性包〕：設(shè)A是線性空間X的子集，作所有可能的A中向量的線性組合，其中，且，那么是X的一個線性子空間，稱之為由A張成的子空間〔由A生成的子空間或A的線性包〕，記作spanA設(shè)X是線性子空間，，集合是子空間，當時，是由x生成的一維子空間線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次方程組解的結(jié)構(gòu)解集的幾何特征設(shè)W是F上齊次線性方程組 AX=0所有解的集合，那么W是(或〕的子空間；假設(shè)A由初等行變換和某些列對換化為分塊矩陣其中r<n線性方程組解的結(jié)構(gòu)〔Continue〕那么矩陣的n–r個列向量是W的基稱W為齊次線