高考數(shù)學(xué) 7.5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(四十四)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·珠海模擬)在空間中,l,m,n,a,b表示直線,α表示平面,則下列命題正確的是()A.若l∥α,m⊥l,則m⊥α B.若l⊥m,m⊥n,則m∥nC.若a⊥α,a⊥b,則b∥α D.若l⊥α,l∥a,則a⊥α【解析】選D.對(duì)于A,m與α位置關(guān)系不確定,故A錯(cuò),對(duì)于B,當(dāng)l與m,m與n為異面垂直時(shí),m與n可能異面或相交,故B錯(cuò),對(duì)于C,也可能b?α,故C錯(cuò),對(duì)于D,由線面垂直的定義可知正確.2.若m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是()A.若m?β,α⊥β,則m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥βC.若m⊥β,m∥α,則α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,則β⊥γ【解析】選C.兩平面垂直并不能得到一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都與另一平面垂直,故A為假命題;以三棱柱的側(cè)面和側(cè)棱為例知B為假命題;若α⊥γ,α⊥β,則β與γ相交,或β∥γ,故D為假命題;若m∥α,則α中必存在直線l與m平行,又m⊥β,所以l⊥β,故α⊥β,故選C.3.已知平面α與平面β相交,直線m⊥α,則()A.β內(nèi)必存在直線與m平行,且存在直線與m垂直B.β內(nèi)不一定存在直線與m平行,不一定存在直線與m垂直C.β內(nèi)不一定存在直線與m平行,但必存在直線與m垂直D.β內(nèi)必存在直線與m平行,不一定存在直線與m垂直【解析】選C.如圖,在平面β內(nèi)的直線若與α,β的交線a平行,則有m與之垂直.但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線,只有當(dāng)α⊥β時(shí)才存在.【誤區(qū)警示】本題易由于空間想象不全,漏掉情況而誤選.4.如圖,在正四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】選D.因BC∥DF,DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易證BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以結(jié)論B,C均成立;點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心,不在中位線DE上,故結(jié)論D不成立.【加固訓(xùn)練】如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是()A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC【解析】選D.在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,從而平面ABC⊥平面ADC.5.(2015·西安模擬)已知在正三棱錐S-ABC中,E是側(cè)棱SC的中點(diǎn),且SA⊥BE,則SB與底面ABC所成角的余弦值為()A.12B.23C.2【解題提示】根據(jù)條件可找到SB在平面ABC上的射影,進(jìn)而找到線面角,求解.【解析】選D.如圖所示,在正三棱錐S-ABC中,作SO⊥平面ABC,連接AO,則O是△ABC的中心,BC?平面ABC,所以SO⊥BC,AO⊥BC,AO∩SO=O,由此可得BC⊥平面SAO,所以SA⊥BC.又SA⊥BE,BE∩BC=B,所以SA⊥平面SBC,故正三棱錐S-ABC的各側(cè)面全等且均是等腰直角三角形.連接OB,則∠SBO為SB與底面ABC所成的角.設(shè)SA=a,則AB=2a,BO=63a,所以cos∠SBO=63.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖所示,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列命題中正確的是(填序號(hào)).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E為AC中點(diǎn),知AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,從而AC⊥平面BDE,故③正確.答案:③【誤區(qū)警示】本題易由于只憑主觀觀察而不進(jìn)行嚴(yán)格推理論證而誤選.7.(2015·天津模擬)已知不同直線m,n與不同平面α,β,給出下列三個(gè)命題:①若m∥α,n∥α,則m∥n;②若m∥α,n⊥α,則n⊥m;③若m⊥α,m∥β,則α⊥β.其中真命題的個(gè)數(shù)是個(gè).【解析】①平行于同一平面的兩直線不一定平行,所以①錯(cuò)誤.②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知②正確.③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判斷定理可知③正確,所以真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).答案:28.(2015·成都模擬)設(shè)P是60°的二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn),PA⊥α,PB⊥β,A,B分別為垂足,PA=2,PB=4,則AB的長(zhǎng)是.【解析】如圖所示,PA與PB確定平面γ,設(shè)平面γ與l交于點(diǎn)E,則BE⊥l,AE⊥l,所以∠BEA即為二面角的平面角,所以∠BEA=60°,從而∠BPA=120°,在△BAP中,由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠BPA=4+16+8=28.所以AB=27.答案:27三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·唐山模擬)如圖所示,△ABC和△BCE是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=23,(1)證明:DE⊥BC.(2)求三棱錐D-ABE的體積.【解析】(1)取BC的中點(diǎn)為F,連接AF,EF,BD,因?yàn)椤鰾CE是正三角形,所以EF⊥BC,又平面ABC⊥平面BCE,且交線為BC,所以EF⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,所以BC⊥平面DAFE,又DE?平面DAFE,故DE⊥BC.(2)由(1)知EF∥AD,所以有VD-ABE=VE-DAB=VF-DAB=VD-ABF,而S△ABF=12BF·AF=3所以VD-ABF=13S△ABF·即VD-ABE=1.10.(2015·廣州模擬)如圖,已知E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)O,PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn).(1)求證:平面PAC⊥平面NEF.(2)若PC∥平面MEF,試求PM∶MA的值.(3)當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí),求二面角M-EF-N的余弦值.【解析】(1)連接BD,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD,又因?yàn)锽D⊥AC,AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,又因?yàn)镋,F分別是BC,CD的中點(diǎn),所以EF∥BD,所以EF⊥平面PAC,又EF?平面NEF,所以平面PAC⊥平面NEF.(2)連接OM,因?yàn)镻C∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,所以PC∥OM,所以PMPA=OCAC=14(3)因?yàn)镋F⊥平面PAC,OM?平面PAC,所以EF⊥OM,在等腰三角形NEF中,點(diǎn)O為EF的中點(diǎn),所以NO⊥EF,所以∠MON為所求二面角M-EF-N的平面角,因?yàn)辄c(diǎn)M是PA的中點(diǎn),所以AM=NC=2,所以在矩形MNCA中,可求得MN=AC=42,NO=6,MO=22,在△MON中,由余弦定理可求得cos∠MON=MO2+O所以二面角M-EF-N的余弦值為-3333【加固訓(xùn)練】(2015·太原模擬)在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中,AC=8.現(xiàn)沿對(duì)角線BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值為925(1)求證:平面ABD⊥平面CBD.(2)若M是AB的中點(diǎn),求三棱錐A-MCD的體積.【解析】(1)在菱形ABCD中,記AC,BD的交點(diǎn)為O,AD=5,OA=4,所以O(shè)D=3,翻折后變成三棱錐A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×925=32,在△所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO?平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.(2)因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以A,B到平面MCD的距離相等,所以VA-MCD=VB-MCD=1216S△BCD·(20分鐘40分)1.(5分)(2015·杭州模擬)已知l,m為不同的直線,α,β為不同的平面,如果l?α,且m?β,那么下列命題中不正確的是()A.“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件B.“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥β”的必要不充分條件C.“m∥α”是“l(fā)∥m”的充要條件D.“l(fā)⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要條件【解析】選C.對(duì)于A中命題由“l(fā)⊥β”可得“α⊥β”,但反之不一定,故A中命題正確;對(duì)于B中命題,“l(fā)⊥m”不一定有“l(fā)⊥β”,但反之成立,故B中命題正確;對(duì)于C中命題,因?yàn)閙∥α?l∥m或l與m為異面直線,所以“m∥α”l∥m,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D中命題,“l(fā)⊥m”“α⊥β”,反之亦然,故D中命題正確.【加固訓(xùn)練】(2015·太原模擬)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,則下列命題中不正確的是()A.若m∥n,m⊥α,則n⊥αB.若m⊥α,m?β,則α⊥βC.若m⊥β,m⊥α,則α∥βD.若m∥α,α∩β=n,則m∥n【解析】選D.選項(xiàng)A是線面垂直的性質(zhì)定理;選項(xiàng)B是兩個(gè)平面垂直的判定定理;選項(xiàng)C是兩個(gè)平面平行的判定方法之一;選項(xiàng)D中,若m∥α,α∩β=n,則只能得到m,n沒(méi)有公共點(diǎn),于是m∥n或m,n異面.2.(5分)(2014·沈陽(yáng)模擬)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng),給出下列命題:①三棱錐A-D1PC的體積不變;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是.【解題提示】根據(jù)題設(shè)條件逐個(gè)驗(yàn)證命題的真?zhèn)?從而作出判斷.【解析】連接BD交AC于O,連接DC1交D1C于O1,連接OO1,則OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,動(dòng)點(diǎn)P到平面AD1C的距離不變,所以三棱錐P-AD1C的體積不變.又VP-AD1C=因?yàn)槠矫鍭1C1B∥平面AD1C,A1P?平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正確.由于當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí),DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正確;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1?平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正確.答案:①②④3.(5分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=時(shí),CF⊥平面B1DF.【解析】由題意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,設(shè)AF=x,則A1F=3a-x.由Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D,得ACA1即2a3a-x=整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a4.(12分)(2015·日照模擬)在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥側(cè)面BB1C1C,已知BC=1,∠BCC1=π3(1)求證C1B⊥平面ABC.(2)設(shè)E是CC1的中點(diǎn),求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小.【解析】(1)因?yàn)锽C=1,∠BCC1=π3,CC1=2,所以BC1=3,BC2+BC12=CC12,所以BC1⊥BC.因?yàn)锳B⊥側(cè)面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C,所以BC1(2)由AB⊥側(cè)面BB1C1C,AB?平面ABC1,得平面BCC1B1⊥平面ABC1,過(guò)E作BC1的垂線交BC1于F,則EF⊥平面ABC1.連接AF,則∠EAF為所求的角.因?yàn)锽C⊥BC1,EF⊥BC1,所以BC∥EF.因?yàn)镋為C1C的中點(diǎn),所以F為C1B的中點(diǎn),EF=12.又因?yàn)锳E=AB2+BE2=AB25.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.(1)求證:平面DAF⊥平面CBF.(2)求直線AB與平面CBF所成角的大小.(3)當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角D-FE-B的大小為60°.【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以CB⊥平面ABEF.因?yàn)锳F?平面ABEF,所以AF⊥CB,又因?yàn)锳B為圓O的直徑,所以AF⊥BF,所以AF⊥平面CBF.因?yàn)锳F?平面ADF,所以平面DAF⊥平面CBF.(2)根據(jù)(1)的證明,有AF⊥平面CBF,所以FB為AB在平面CBF上的射影,所以∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角,因?yàn)锳B∥EF,所以四邊形ABEF為等腰梯形,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB,交A