用MATLAB求解非線性優(yōu)化問題

實(shí)驗(yàn)四用MATLAB求解非線性優(yōu)化問題一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私釳atlab的優(yōu)化工具箱，利用Matlab求解非線性優(yōu)化問題。二、相關(guān)知識(shí)非線性優(yōu)化包括相當(dāng)豐富的內(nèi)容，我們這里就Matlab提供的一些函數(shù)來(lái)介紹相關(guān)函數(shù)的用法及其所能解決的問題。非線性一元函數(shù)的最小值Matlab命令為fminbnd()，其使用格式為：X=fminbnd(fun,x1,x2)[X,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2)其中：fun為目標(biāo)函數(shù)，xl,x2為變量得邊界約束，即xlWxWx2,X為返回得滿足fun取得最小值的x的值，而fval則為此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值。exitflag>0表示計(jì)算收斂，exitflag=0表示超過了最大的迭代次數(shù)，exitflag<0表示計(jì)算不收斂，返回值output有3個(gè)分量，其中iterations是優(yōu)化過程中迭代次數(shù)，funcCount是代入函數(shù)值的次數(shù)，algorithm是優(yōu)化所采用的算法。X5+X3+X2-1f(x)= 例1：求函數(shù) ex2+sin(-x)在區(qū)間[-2,2]的最小值和相應(yīng)的x值。解決此問題的Matlab程序?yàn)椋篶learfun='(xA5+xA3+xA2-1)/(exp(xA2)+sin(-x))'ezplot(fun,[-2,2])[X,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-2,2)結(jié)果為：X=0.2176fval=-1.1312exitflag=1output=iterations:13funcCount:13algorithm:'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'無(wú)約束非線性多元變量的優(yōu)化這里我們介紹兩個(gè)命令：fminsearch()和fminunc()，前者適合處理階次低但是間斷點(diǎn)多的函數(shù)，后者則對(duì)于高階連續(xù)的函數(shù)比較有效。命令fminsearch()的格式為：X=fminsearch(fun,X0)[X,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,X0,options)該命令求解目標(biāo)函數(shù)fun的最小值和相應(yīng)的x值，X0為x的初始值，fval為返回的函數(shù)值，exitflag=l表示優(yōu)化結(jié)果收斂，exitflag=0表示超過了最大迭代次數(shù)。返回值output有3個(gè)分量，其中iterations是優(yōu)化過程中迭代次數(shù)，funcCount是代入函數(shù)值的次數(shù)，algorithm是優(yōu)化所采用的算法。Options是一個(gè)結(jié)構(gòu)，里面有控制優(yōu)化過程的各種參數(shù)，參考o(jì)ptimset()命令來(lái)設(shè)置，一般情況下我們不必改動(dòng)它，即使用缺省設(shè)置就可以了。例2：求函數(shù)f(x，y)二sin2x+cosy的最小值以及最小值點(diǎn)。完成該計(jì)算的Matlab程序如下：clearfunl='sin(x)+cos(y)'fun2='sin(x(l))+cos(x(2))'ezmesh(funl)[X,fval]=fminsearch(fun2,[0,0])X=-l.5708 3.l4l6fval=-2.0000其中語(yǔ)句ezmesh()是為了畫出函數(shù)的圖形，注意這里funl和fun2的不同，考慮如果用相同的是否可行。命令fminunc()的格式為：X=fminunc(fun,X0)[X,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,X0,options)命令fminunc()通過計(jì)算尋找多變量目標(biāo)函數(shù)fun的最小值，X0為優(yōu)化的初始值，X為返回的變量的值，grad返回解點(diǎn)的梯度，hessian返回解點(diǎn)的赫森矩陣。其它參數(shù)的意義和命令fminsearch()相同。例3：求函數(shù)/(x1，x2)二exi(2x1+3x+2X1x2+3x2+1)的最小值。Matlab程序?yàn)?0clearfun='exp(x(1))*(2*x(1)人2+3*x(2)人2+2*x(1)*x(2)+3*x(2)+1)';x0=[0,0];options=optimset('largescale','off','display','iter','tolx',1e-8,'tolfun',1e-8);[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0,options)運(yùn)行結(jié)果為：IterationFunc-countf(x)Step-sizeDirectionalderivative1210.2-10280.3694710.134277-0.02033l40.l544l90.459778-0.06964200.l347040.746874-2.28e-0055260.l3296l0.6399l-l.le-0076320.l3296l0.897232-7.32e-009Optimizationterminatedsuccessfully:Currentsearchdirectionisadescentdirection,andmagnitudeofdirectionalderivativeinsearchdirectionlessthan2*options.TolFunx=0.2695-0.5898fval=0.1330exitflag=1output=iterations:6funcCount:33stepsize:1.0000firstorderopt:1.6892e-005algorithm:'medium-scale:Quasi-Newtonlinesearch'grad=1.0e-004*(-0.1689,0.0074)hessian=5.11102.64372.64378.0539本例的程序?qū)?shù)options進(jìn)行了設(shè)置，'largescale','off,關(guān)閉了大規(guī)模方式，'display',用來(lái)控制計(jì)算過程的顯示，'iter'表示顯示優(yōu)化過程的每次計(jì)算結(jié)果，'off表示不顯示所有輸出，’final'僅輸出最后結(jié)果，'tolx'用來(lái)控制輸入變量x的允許誤差精度，本利設(shè)置為le-8,'tolfun'是控制目標(biāo)函數(shù)的允許誤差精度，缺省值是le-4，本例為le-8。有約束非線性多元變量的優(yōu)化由線性規(guī)劃我們看到優(yōu)化要處理各種約束條件，在非線性規(guī)劃中問題就更加復(fù)雜，除了線性規(guī)劃中的那些約束外，還要增加非線性約束。Matlab的命令函數(shù)fmincon()可以處理有約束的非線性多元函數(shù)的優(yōu)化問題。有約束多變量?jī)?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量xl,x2,,xn，滿足在給定的約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)f(x「x2, ,xn)最小。目標(biāo)函數(shù)一般為非線性函數(shù)，約束條件分為線性不等式約束、線性等式約束、變量邊界約束和非線性約束幾部分。除非線性約束外，表示方法與線性規(guī)劃相同。函數(shù)fmincon()的具體格式為：X=fmincon(fun,x0,A,b)X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq,Lb,Ub)X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq,Lb,Ub,nonlcon,options)[X,fval,exitflag,output]=fmincon(fUn,xO,...)[X,fval,exitflag,output,lambda,grad,Hessian]=fmincon(fUn,xO,...)參數(shù)中fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為變量的初始值，x為返回的滿足要求的變量的值。A和b表示線性不等式約束，Aeq，beq表示線性等式約束，Lb和Ub分別為變量的下界和上界約束，nonlcon表示非線性約束條件，options為控制優(yōu)化過程的優(yōu)化參數(shù)向量。返回值fval為目標(biāo)函數(shù)。exitflag>0表示優(yōu)化結(jié)果收斂于解，exitflag=0表示優(yōu)化超過了函數(shù)值的計(jì)算次數(shù)，exitflag<0表示優(yōu)化不收斂。lambda是拉格朗日乘子，顯示那個(gè)約束條件有效。grad表示梯度，hessian表示漢森矩陣。例4:求[X]，X2]，使得目標(biāo)函數(shù)f(X]，J)二3(4叮+2X；+牡"+2X2+1)在約束條件1.5+X1*x-X1-x2<0，-X1*x2<10下取得最小值。我們?cè)O(shè)計(jì)的程序如下:先把目標(biāo)函數(shù)和約束條件分別編寫成獨(dú)立的m文件，注意，這樣的m文件必須用function開頭，并且文件名一定要和函數(shù)名一致。目標(biāo)函數(shù)的文件為:functionf=objfun(x)f=exp(x(l))*(4*x(l)人2+2*x(2)人2+4*x(l)*x(2)+2*x(2)+l);約束條件的文件為:function[c,ceq]=confun(x)c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=[];接著，編寫完成優(yōu)化的程序如下:clearx0=[-11];options=optimset('largescale','off','display','iter');[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],[],[],@confun,options)運(yùn)行結(jié)果為:maxDirectionalIterF-countf(x)constraintStep-sizederivativeProcedure131.83940.510.0486271.85127-0.091971-0.556Hessianmodifiedtwice3110.3001679.3310.174150.5298340.92091-0.9655200.186965-1.5170.5-0.1686240.07290850.33131-0.05187280.0353322-0.033031-0.01428320.02355660.0031841-6.22e-0069360.02355049.032e-00811.76e-010HessianmodifiedOptimizationterminatedsuccessfully:Searchdirectionlessthan2*options.TolXandmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolConActiveConstraints:12x=-9.54741.0474fval=0.0236exitflag=1output=iterations:9funcCount:38stepsize:1algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'firstorderopt:[]cgiterations:[]例5：在上例的基礎(chǔ)上，再加上邊界約束條件，即加上X1工0,x2工0，則我們僅需要修改上面的第三個(gè)程序?yàn)椋篶learx0=[-11];lb=[0,0];ub=[];options=optimset('largescale','off','display','iter');[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],lb,ub,@confun,options)現(xiàn)在得到的結(jié)果為：maxDirectionalIterF-countf(x)constraintStep-sizederivativeProcedure135.00090.513278.50041.355e-0201-0.0004

3118.53.04e-01312.43e-012HessianmodifiedOptimizationterminatedsuccessfully:Searchdirectionlessthan2*options.TolXandmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolConActiveConstraints:13x=01.5000fval=8.5000exitflag=1output=iterations:3funcCount:13stepsize:1algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'firstorderopt:[]cgiterations:[]三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1．將例1中x的范圍改為［-5,5］你將得到怎