用坐標(biāo)法巧解摩擦角問題

用坐標(biāo)法巧解摩擦角問題陜西省寶雞石油中學(xué)袁亞林（721002）在近年的全國物理奧賽中，經(jīng)?？疾橐恍┡c摩擦角相關(guān)的問題。由于摩擦力的特殊性，使得對這一類競賽題的分析和解答過程變得非常的復(fù)雜，例如第二十屆全國復(fù)賽試題中（例一題），在其標(biāo)準(zhǔn)解答中，不僅利用了物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件，共點(diǎn)力的平衡條件，而且還利用了非共點(diǎn)力的平衡條件，共建立了十五個(gè)方程，二十三個(gè)等式。為了使解決此類摩擦角問題的方法更加簡單和程序化，作者根據(jù)摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系，向大家介紹一種新的解法——“坐標(biāo)法”，例一、（第二十屆全國復(fù)賽試題）有一半徑為R的圓柱體A,靜止在水平地面上，并與豎直墻面接觸?，F(xiàn)另一質(zhì)量與A相同，半徑為r的較細(xì)圓柱體B用手扶著圓柱體A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖示，然后放手。已知圓柱體A與地面的靜摩擦系數(shù)為0.20,兩圓柱體之間的靜摩擦系數(shù)為0.30。若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱體B與墻面間的靜摩擦系數(shù)和圓柱體B的半徑r的值各應(yīng)滿足什么條件？A TA解：設(shè)A、B與墻面間的靜摩擦系數(shù)分別為卩［和卩3，接觸點(diǎn)分別為C、D；A、B之間的靜摩擦系數(shù)為卩2，接觸點(diǎn)為E。

對圓柱體A,由于重力G與地面對圓柱體A的全反力F相交于C,根據(jù)三A1力會(huì)交原理，所以B對A的全反力F必過C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第三定律，A對B的2全反力F'一定過圓柱體B的頂點(diǎn)H。如圖甲所示：2、以圓柱體B為研究對象，由于重力G與F'相交于圓柱體B的頂點(diǎn)H，B2所以墻面對B的全反力F—定過H點(diǎn)。如圖乙所示：3由圖乙可知，全反角①=45O3又?/tan①<卩33卩>13、如圖乙所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：2H、(0，r);C、{—(R—r)，—J(R+r)2-(R一r)2—R}直線CH的斜率為：=R+r)2—(R—r)2+R+rCH R—r又?/tan又?/tan①=21KCHR—r

1yp=2(R+r)則F的直線斜率:12(r-r)2(r-r)K=tan①=11K~CP2(R-r)i(R+r)+(R+.■(R+r)2-(R-r)2^2(2)比較（1）、（2）兩式可得：R>r>0.29R例二、一梯子長為L斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為9，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為卩，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為卩，不計(jì)梯子的重力,

12求：重為G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對象，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系：A耳B地面對梯子的全反力F的直線方程：A耳B地面對梯子的全反力F的直線方程：y=－tan①1y=－tan①1(x—Lcos0)1)豎直墻面對梯子的全反力F的直線方程:2y二tan①x+Lsin0 (2)2梯子AB的直線方程：y=—tan0(x—Lcos0) (3)當(dāng)人達(dá)最高時(shí)，梯子將要滑動(dòng)，此時(shí)有：tan①=卩tan①=卩代入上式1122由(1)、(2)兩式可得F與F的交點(diǎn)P坐標(biāo)為:12L(cos0-卩sin0)x= iP1+卩卩12代入(3)式得人達(dá)到的最大高度為：卩Ltan0y=— (sin0+卩cos0)1+卩卩212TOC\o"1-5"\h\z卩Lsin0‘sin0+卩cos0、二一1 (2)1+卩卩 COS012令h=Lsin0則：h / ° 、y=i (tan0+卩)1+卩卩212tan0+卩t= 2h1+卩卩21討論：(1)當(dāng)tan0>一時(shí)，y>h,說明人可到達(dá)梯子的頂端，即:y=Lsin0。p, max1也就是說，梯子的傾角大于某一臨界角0時(shí)(tan0=—)，梯子會(huì)處于自鎖狀0 0p1態(tài)。這種情況在實(shí)際中正是人們所希望的，因此人們通常把梯子放得陡一些，使

得人無論爬到梯子的任何位置，梯子都將因自鎖而不至滑倒，而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)p越大，臨界角0就會(huì)越小，梯子會(huì)更容易實(shí)現(xiàn)自鎖狀態(tài)。(2)、當(dāng)tan0<1時(shí),<h，說明人不能到達(dá)梯子的頂端，即：y二+卩？hLl max11+LL21如果此題考慮到梯子的重力，則上述結(jié)果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計(jì)算公式，也可計(jì)算出人沿梯子上升的最大高度。小結(jié)：由于摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系，所以在解決此類有關(guān)全反力及摩擦角的問題時(shí)，應(yīng)首選“坐標(biāo)法”，這樣可避免解繁瑣的三角形，使解題的目的性更加明確，從而達(dá)到事半功倍的效果。作者郵箱：E-mail:yuanyalin-46@163.com(R+r)2—(R—r)2+R+r解得：r>0.29R (1)、以A、B兩個(gè)圓柱體組成的系統(tǒng)為研究對象，由于墻面對B的全反力F與系統(tǒng)的重力G相交