河南省南陽市淅川縣重點中學2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

-2024學年高二上學期12月考試題數(shù)學一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知，，，若P，A，B，C四點共面，則（

）A．3 B． C．7 D．3．“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線的一個方向向量為(，2)，直線的一個法向量為(m，6)，若，則m＝（

）A． B．3 C．6 D．95．已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．106．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和，若，則（

）A． B． C． D．8．設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，其中在第一象限，則下列正確的是（

）A．的準線為B．的最小值為C．以為直徑的圓與軸相切D．若且，則二、多選題9．已知直線和直線，下列說法正確的是（

）A．當時，B．當時，C．直線過定點，直線過定點D．當平行時，兩直線的距離為10．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則下列選項不正確的是（）A．數(shù)列為遞減數(shù)列 B．C．的最大值為 D．11．已知方程表示的曲線為C，則（

）A．當時，曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓B．當時，曲線C表示雙曲線C．當時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓D．曲線C可能為等軸雙曲線12．在棱長為2的正方體中，，點M為棱上一動點（可與端點重合），則（

）A．當點M與點A重合時，四點共面且B．當點M與點B重合時，C．當點M為棱的中點時，平面D．直線與平面所成角的正弦值存在最小值三、填空題13．如圖，正方形和的邊長都是1，且平面，點、分別在、上移動，若，則線段長度的最小值為.14．已知實數(shù)滿足，則的最大值是．15．點A是圓上的一個動點，點，當點A在圓上運動時，線段的中點P的軌跡方程為.16．設，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為四、解答題17．（1）求過點，且與直線平行的直線的一般式方程；（2）求過點，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線的斜率．18．已知是拋物線：上一點，且到的焦點的距離為．(1)求拋物線的方程及點的坐標；(2)已知直線與拋物線相交于A，B兩點，為坐標原點．求證：．19．已知點是雙曲線上任意一點.(1)求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；(2)已知點，求的最小值.20．已知數(shù)列的通項公式為，在公差為整數(shù)的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.21．如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于？22．已知橢圓的焦距與短軸長相等，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知圓的切線與橢圓相交于兩點，證明：以為直徑的圓必經(jīng)過原點.參考答案1．A【詳解】由題意直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：A.2．C【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得，，共面，設，則，解得．故選：C.3．B【詳解】等價于.若，則方程表示單位圓.若方程表示橢圓，則橢圓方程可化為，則且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.4．A【詳解】，直線的一個方向向量為(，2)，直線的一個法向量為(m，6)，直線的一個方向向量與直線的一個法向量平行，解得,故選:A5．B【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B6．A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A7．D【分析】設圓錐的母線長為，設甲、乙兩個圓錐的展開圖的圓心角分別為、，底面圓半徑分別為、，錐體的高分別為、，求出、、、，利用錐體的體積公式可求得的值.【詳解】設圓錐的母線長為，設甲、乙兩個圓錐的展開圖的圓心角分別為、，底面圓半徑分別為、，錐體的高分別為、，則，，則，由題意可得，解得，由題意可得，則，則，，則，則，所以，，，因此，.故選：D.8．B【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)可得的準線為，即A錯誤；利用拋物線定義由基本不等式可求得B正確；由直線與圓的位置關(guān)系可得以為直徑的圓與軸相交，即C錯誤；由可得。利用向量夾角的坐標表示可求得，即D錯誤.【詳解】對于選項A，由拋物線的焦點可得，所以，即的準線為，故A錯誤；對于B，如下圖所示：設直線的方程為，；聯(lián)立直線與拋物線方程可得，可得；由拋物線定義可得；所以，當且僅當，即時，等號成立；即B正確；對于C，以為直徑的圓的圓心為,此時圓心到軸的距離為，而，所以以為直徑的圓與軸相交，即C錯誤；對于D，易知，由可知點在的垂直平分線上，所以；由即可得，如下圖所示：，所以，同理可得，可得，所以，即D錯誤；故選：B【點睛】方法點睛：在求解夾角問題時可利用平面向量的坐標表示，利用數(shù)量積的符號確定夾角的大小或取值范圍.9．ACD【分析】根據(jù)直線平行和垂直滿足的斜率關(guān)系即可判斷AB，根據(jù)定點的求解可判斷C，根據(jù)平行線間距離公式可判斷D.【詳解】對于，當時，那么直線為，直線為，此時兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項正確；對于，當時，那么直線為，直線為，此時兩直線重合，故B選項錯誤；對于，由直線，整理可得：，故直線過定點，直線：，整理可得：，故直線過定點，故C選項正確；對于，當平行時，兩直線的斜率相等，即，解得：或，當時，兩直線重合，舍去；當時，直線為為，此時兩直線的距離，故D選項正確.故選：ACD.10．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，即可判斷AB，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷C，根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式計算即可判斷D.【詳解】因為，故，，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，故AB錯誤；因為時，，當時，，所以的最小值為，故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABC11．BD【分析】分取值討論，再結(jié)合曲線的定義判斷即可.【詳解】A：當時，，方程為，曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故A錯誤；B：當時，，即曲線C表示雙曲線，故B正確；C：當時，，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故C錯誤；D：若為等軸雙曲線，則或，當時，即，解得，此時曲線C為等軸雙曲線，故D正確；故選：BD12．BD【分析】根據(jù)題意，證得，得到四點共面，且四邊形為等腰梯形，求得梯形的面積，可判定A不正確；證得，設，在直角中，求得，可判定B正確；以為原點，建立空間直角坐標系，結(jié)合，可判定C不正確；設，求得平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由棱長為2的正方體中，，可得點為的中點，且點為的中點，可得，當點和點重合時，可得，所以，所以四點共面，且四邊形為等腰梯形，又由，可得梯形的高為，所以四邊形的面積為，所以A不正確；對于B中，由點為的中點，且點為的中點，可得，當點與點重合時，則異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設，在直角中，，可得，可得，又由，所以，所以B正確；對于C中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為正方體的棱長為，當點為棱的中點時，可得，可得，則，所以與平面不垂直，所以C不正確；對于D中，由C中的空間直角坐標系，設，可得，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設直線與平面所成角為，可得，當時，可得，即直線與平面所成角的正弦值存在最小值，所以D正確.故選：BD.13．/【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用兩點距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】正方形和的邊長都是1，且平面，因為⊥，⊥，所以為平面與平面夾角的平面角，故，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，則，故當時，取的最小值，最小值為.故答案為：14．【分析】表示直線上的點到點與的距離之差，求出點關(guān)于直線的對稱點為，再根據(jù)即可得解.【詳解】表示直線上的點到點與的距離之差，設點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最大值為.

故答案為：.15．【分析】設，利用中點坐標公式可用x，y表示出，再根據(jù)點A在圓上，即可得到答案．【詳解】設，又點，則，所以，，又點A在圓上，則，即，所以線段AB的中點P的軌跡方程為．故答案為：．16．【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理進行、橢圓和雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設，因為兩個曲線在第一象限內(nèi)交于點，所以有，解得，因為，所以由余弦定理可知：，因為，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，所以設，于是有，化簡得：，因為，所以，所以，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用兩種曲線的定義和余弦定理.17．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設出直線方程，利用過點的坐標可得答案；（2）先利用點斜式設出方程，利用截距的關(guān)系求出方程.【詳解】（1）依題意可設所求直線的方程為，將點的坐標代入得，解得，故所求直線的方程為．（2）依題意可設所求直線的方程為．令，得；令，得．依題意可得，解得．18．(1)，或(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線定義有，即得拋物線方程，將點代入求點坐標；（2）令聯(lián)立方程，應用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標表示求，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線定義知：，可得，則，故，所以或.（2）令，聯(lián)立直線與，所以，故，所以，又，則，所以，得證.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式即可化簡求解，（2）根據(jù)點點距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由已知可得，所以雙曲線的漸近線方程為，點到直線，即直線的距離，點到直線，即直線的距離，所以點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為，又在雙曲線上，所以，所以，所以是一個常數(shù)；（2）因為，所以，解得或，所以，當時，的最小值為，所以的最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比中項等知識求得，進而求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）因為，所以，即，因為成等比數(shù)列，所以，設數(shù)列的公差為，所以，解得或（舍去），所以，所以.（2）①，②，由①-②得，求得，即.21．(1)證明見解析(2)存在【分析】（1）證明平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的方向建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：在中，，，，，，所以，又，，，在中，由正弦定理得，，，所以，，，，，平面，平面，所以，平面平面.（2）解：因為，，，在中，由余弦定理可得，，則，因為平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取可得，設，其中，則，由已知可得，整理可得，因為，解得，因此，當點為線段的中點時，直線與平面所成角的正弦值等于.22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用焦距與短軸長即可得，將點計算即可求出橢圓的標準方程；（2）對切線的斜率是否存在進行分類討論，聯(lián)立直線和橢圓方程并由