模型E01 垂線段最短模型（解析版）

垂線段最短模型垂線段最短模型模型講解模型講解【結(jié)論一】如圖，直線外一點(diǎn)A，到直線上的點(diǎn)M的距離最小【結(jié)論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結(jié)論成立：過(guò)A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當(dāng)M、N分別于P、Q重合時(shí)，AM+MN有最小值，即為AQ的長(zhǎng)度。方法點(diǎn)撥一、題型特征：①一定點(diǎn)②動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線③可出現(xiàn)多個(gè)動(dòng)點(diǎn)二、模型本質(zhì)：過(guò)定點(diǎn)作定直線的垂線，垂線段最短。例題演練例題演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC中點(diǎn)，P為AB上的動(dòng)點(diǎn)，將P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P′，連CP′，則線段CP′的最小值為（）A．1.6 B．2.4 C．2 D．2【解答】解：如圖所示，過(guò)P'作P'E⊥AC于E，則∠A＝∠P'ED＝90°，由旋轉(zhuǎn)可得，DP＝P'D，∠PDP'＝90°，∴∠ADP＝∠EP'D，在△DAP和△P'ED中，，∴△DAP≌△P'ED（AAS），∴P'E＝AD＝2，∴當(dāng)AP＝DE＝2時(shí)，DE＝DC，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，此時(shí)CP'＝EP'＝2，∴線段CP′的最小值為2，故選：C．2．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為10，面積是40，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為13．【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴MA＝MC，∵M(jìn)C+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×10＝13．故答案為：13．3．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是點(diǎn)C到AB最短的線段，即CM+MN的最小值就是線段CE的長(zhǎng)度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵?AB?CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝，故答案為．4．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DB'⊥AC交于點(diǎn)B'，過(guò)B'作B'F⊥AB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B與B'關(guān)于AD對(duì)稱，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值為，故答案為．5．如圖，邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF的最小值是2．【解答】解：如圖，連接BF，由旋轉(zhuǎn)可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BF，∴當(dāng)DF⊥BF時(shí)，DF最短，此時(shí)，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2，故答案為2．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C、E、P三點(diǎn)⊙O交AC于F點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為．【解答】解：∵經(jīng)過(guò)P、E、F三點(diǎn)確定⊙O，由圓周角定理可知：⊙O的直徑為EF，連接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，當(dāng)PE⊥BC時(shí)，PE最小，即EF最小，此時(shí)PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案為：4．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持∠EDF＝90°，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：①DE＝DF；②四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E、F位置的改變而發(fā)生變化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上結(jié)論正確的是①③④（只填序號(hào)）．【解答】解：連接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴ED＝DF，故①正確；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②錯(cuò)誤，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正確，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正確．故答案為①③④．1．（2021?東阿縣三模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與寫(xiě)B(tài)、C重合．過(guò)P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連接EF，則EF的最小值等于4.8．【解答】解：連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴A