江蘇省句容高級中學2024屆高三模擬考試（一）數(shù)學試題理試卷

江蘇省句容高級中學2024屆高三模擬考試（一）數(shù)學試題理試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．2．如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎設施投資額逐年增加；B．2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.3．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．64．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．5．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加6．在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.87．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調遞減，設，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．310．雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．12．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)的圖象關于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____．14．的二項展開式中，含項的系數(shù)為__________．15．已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為_______．16．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則的面積為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知橢圓，點，點滿足（其中為坐標原點），點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為，若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.19．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)記為的前項和．若，求．20．（12分）設函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明:當時，.21．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意，分析即得解【題目詳解】由題意，故，故選：D【題目點撥】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.2、D【解題分析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【題目詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.【題目點撥】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預測的方法，屬于基礎題.3、C【解題分析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進而求得.【題目詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.4、C【解題分析】

設，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導數(shù)知識求的最小值．【題目詳解】設，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【題目點撥】本題考查導數(shù)的應用，考查用導數(shù)求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．5、D【解題分析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【題目詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題.6、B【解題分析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.7、B【解題分析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調性判斷即可；【題目詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調，故排除C；故選：B【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.8、A【解題分析】

根據(jù)圖象關于軸對稱可知關于對稱，從而得到在上單調遞增且；再根據(jù)自變量的大小關系得到函數(shù)值的大小關系.【題目詳解】為偶函數(shù)圖象關于軸對稱圖象關于對稱時，單調遞減時，單調遞增又且，即本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調性比較函數(shù)值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調性，通過自變量的大小關系求得結果.9、A【解題分析】

直接將兩邊同時乘以求出復數(shù)，再求其模即可.【題目詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【題目點撥】考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.10、A【解題分析】

根據(jù)題意得到，化簡得到，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意知：焦點到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【題目點撥】本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉化能力.11、D【解題分析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可．12、C【解題分析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【題目詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【題目點撥】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4038.【解題分析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關于點對稱，則，,即，得解．【題目詳解】由知：得函數(shù)的圖象關于點對稱又函數(shù)的圖象關于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關于點對稱則故，即本題正確結果：【題目點撥】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．14、【解題分析】

寫出二項展開式的通項，然后取的指數(shù)為求得的值，則項的系數(shù)可求得.【題目詳解】，由，可得.含項的系數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.15、【解題分析】

判斷的奇偶性和單調性，原不等式轉化為，運用單調性，可得到所求解集．【題目詳解】令，易知函數(shù)為奇函數(shù)，在R上單調遞增，，即，∴∴，即x＞故答案為：【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結果.【題目詳解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【題目點撥】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，考查計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.18、（1）（2）是，【解題分析】

（1）設,根據(jù)條件可求出的坐標，再利用在橢圓上，代入橢圓方程求出即可;（2）設運用勾股定理和點滿足橢圓方程，求出，,再利用焦半徑公式表示出,進而求出周長為定值．【題目詳解】(1)設,因為,即則,即,因為均在上,代入得,解得,所以橢圓的方程為;(2)由(1)得,作出示意圖,設切點為,則,同理即,所以,又,則的周長,所以周長為定值.【題目點撥】標準方程的求解,橢圓中的定值問題,考查焦半徑公式的運用,考查邏輯推理能力和運算求解能力,難度較難.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解題分析】

（1）先設數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結果.【題目詳解】（1）設數(shù)列的公比為，，，或.（2）時，，解得；時，，無正整數(shù)解；綜上所述.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎題型.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解題分析】

(Ⅰ)求導得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調遞減，在上單調遞增，，設，證明函數(shù)單調遞減，故，得到證明.【題目詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點，設零點為，故，即，在上單調遞減，在上單調遞增，故，設，則，設，則，單調遞減，，故恒成立，故單調遞減.，故當時，.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導數(shù)證明不等式，轉化為函數(shù)的最值是解題的關鍵.21、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和．試題解析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1